análisis de la compacidad de formas poliédricas obtenidas por

XVI CONGRESO INTERNACIONAL
DE INGENIERÍA GRÁFICA
ANÁLISIS DE LA COMPACIDAD DE FORMAS POLIÉDRICAS
OBTENIDAS POR TRUNCAMIENTO DE OTRAS QUE POSEAN
ESFERA INSCRITA
SUÁREZ GONZÁLEZ, Jesús; ÁLVAREZ GÓMEZ, José Manuel; VEGA MENÉNDEZ,
Javier; GANCEDO LAMADRID, Enrique.
Universidad de Oviedo. Área de Expresión Gráfica en la Ingeniería. Departamento de Construcción e Ingeniería de
Fabricación. Campus de Viesques – Gijón - ASTURIAS
Correo electrónico: suarezg@uniovi.es
RESUMEN
Los estudios llevados a cabo hasta la fecha, en esta Universidad, acerca de la compacidad o
esfericidad de las formas poliédricas que se pueden obtener mediante la metodología de
truncamiento de los vértices y biselamiento de las aristas de un poliedro regular, han llevado
siempre a una conclusión que relaciona los poliedros de máxima compacidad con planos de
truncamiento y biselamiento tangentes a la esfera inscrita en el sólido regular de partida.
Con la finalidad de indagar en las características de los poliedros de máxima compacidad, se ha
decidido llevar a cabo un estudio de la compacidad de las formas poliédricas que se pueden
obtener mediante el truncamiento de los vértices de otra forma poliédrica cualquiera, regular o
no, con la única exigencia de que tenga una esfera inscrita.
Los resultados obtenidos permiten afirmar que la forma poliédrica más compacta que se puede
obtener a partir de otra que posea esfera inscrita, por truncamiento de sus vértices, se obtiene
siempre para truncamientos tangentes a la esfera inscrita en el poliedro de partida.
Palabras clave: compacidad, truncamiento, poliedro, esfera inscrita.
ABSTRACT
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Key words: to write an English version of the “palabras clave”.
1. Introducción
En anteriores trabajos [1] se han llevado a cabo varios estudios dirigidos a evaluar
de alguna manera la esfericidad de una forma poliédrica o, lo que es lo mismo, a
investigar en que medida una forma poliédrica cualquiera se aproxima a la forma
esférica. La finalidad que se perseguía era la de poder comparar unas formas
poliédricas con otras para tratar de averiguar cuales son las que presentan una mayor
esfericidad.
Partiendo de la base de que una forma poliédrica cualquiera será tanto mas
esférica cuanto mayor volumen encierre con una misma superficie, el procedimiento
empleado para medir la esfericidad ha sido el de definir un parámetro que relacione la
superficie con el volumen del poliedro en cuestión. A este parámetro se le ha
denominado compacidad y queda definido mediante la expresión
K=
S
V 2/3
Posteriormente se ha considerado la metodología de truncamiento de los vértices
de un poliedro regular para obtener nuevas formas poliédricas de mayor esfericidad,
con lo cual ha sido posible averiguar cuales son los poliedros mas compactos que se
pueden obtener truncando los vértices de un octaedro o de un icosaedro. Este estudio
ha permitido llegar a la conclusión de que las formas poliédricas mas compactas que
se pueden obtener mediante este procedimiento son las únicas que presenta la
peculiaridad de tener una única esfera inscrita, tangente a todas y cada una de las caras
del poliedro [2].
Finalmente, se ha añadido la posibilidad de biselar las aristas, para generar así
poliedros mediante truncamiento y biselamiento de un sólido platónico. El resultado
obtenido es que las formas poliédricas más esféricas que se pueden obtener son las
únicas que presentan una única esfera inscrita [3] [4], de forma similar al caso anterior.
Estos resultados se pueden exponer, también, de una manera mas interesante,
indicando que los sólidos de mayor compacidad se obtienen cuando los planos de
truncamiento y biselamiento son tangentes a la esfera inscrita en el poliedro de
partida.
Estas conclusiones han inducido a formular una hipótesis de trabajo y es que,
probablemente, en cualquier poliedro con esfera inscrita (sea o no regular), el plano de
truncamiento que da lugar a la forma poliédrica más compacta sea aquel que es
tangente a dicha esfera.
El objeto del presente trabajo es verificar si esta hipótesis es cierta.
2. Compacidad de formas poliédricas obtenidas por truncamiento de los
vértices de poliedros con esfera inscrita
Tomando como punto de partida un poliedro convexo cualquiera es posible
obtener nuevas formas poliédricas mediante el truncamiento de uno de sus vértices. Se
va a analizar a continuación, como varía la compacidad de la forma poliédrica
resultante en función de la situación del plano de truncamiento. Para ello se seguirán
unos criterios, que se citan seguidamente, con la finalidad de delimitar con claridad las
características del poliedro de partida así como la situación del plano de truncamiento
sobre el poliedro.
El plano de truncamiento se elegirá de forma que sea perpendicular a la recta que
une el vértice a truncar con el centro de la esfera inscrita en el poliedro de partida. Se
ha elegido este tipo de truncamiento para mantener un criterio similar al elegido en
estudios anteriores para el estudio de la compacidad de formas poliédricas derivadas
de las formas platónicas por truncamiento de sus vértices, en donde se han
considerado siempre planos perpendiculares al eje de rotación que pasa por el vértice a
truncar
Figura 1
El intervalo de variación de la distancia x se va a considerar, en principio, desde el
valor 0 (correspondiente a un plano que pasa por el centro de la esfera inscrita) hasta
el valor D (equivalente a un truncamiento nulo).
Se va suponer, por otra parte que el plano de truncamiento afecta únicamente a un
solo vértice poliédrico a lo largo del intervalo de variación de la distancia x.
En la figura (
Figura 1) se muestra un fragmento de una forma poliédrica con esfera inscrita a la
que se ha aplicado un truncamiento sobre uno de sus vértices según los criterios
mencionados.
Aparecen representados: uno de sus vértices (V), la esfera inscrita y las aristas que
concurren en el vértice considerado. Se ha exagerado la situación del vértice con la
finalidad de facilitar la interpretación del dibujo. También aparecen representados dos
planos. Uno de ellos es el plano de truncamiento, perpendicular a la recta que une el
vértice con el centro de la esfera inscrita, y el otro es un plano paralelo que pasa por el
centro de la esfera inscrita y que se ha tomado como referencia para la representación.
En otra figura (Figura 2) se ha dibujado una sección del poliedro a lo largo de un
plano que pasa por el vértice a truncar y por el centro de la esfera inscrita, y es
perpendicular a una de las caras que concurren en el vértice considerado.
V
hx
h
x
D
d
rx
r
T
rd
Figura 2
La situación del plano de truncamiento se va a determinar midiendo a que
distancia se encuentra dicho plano del centro de la esfera inscrita.
El efecto que produce la operación de truncamiento de un vértice es equivalente a
eliminar un fragmento de forma piramidal del poliedro de partida. A partir de ahora se
hará referencia con frecuencia a esta pirámide ya que el calculo de su superficie y
volumen será imprescindible para llevar a cabo el cálculo de la compacidad de la
forma poliédrica resultante.
3. Obtención de la función compacidad
Antes de proceder al cálculo es conveniente disponer del valor de las razones
trigonométricas del ángulo α. Estas se pueden calcular a partir de la figura (Figura 2)
senα =
r
D
cos α =
habiendo hecho
D2 − r 2
c
=
D
D
tgα =
r
D2 − r2
=
r
c
D2 − r2 = c
Volviendo al fragmento piramidal eliminado, este presenta las particularidades
siguientes que se mencionan a continuación.
Los triángulos que forman las caras laterales tienen todos la misma altura. Esto se
puede verificar centrando la atención en el caso concreto de la pirámide que tiene su
base situada en el plano de truncamiento que contiene los puntos de tangencia de la
esfera inscrita con las caras que concurren en el vértice. En este caso se observa que
las alturas de los triángulos que forman las caras laterales de la pirámide se
corresponden con la distancia que hay desde el vértice hasta los puntos de tangencia
con la esfera. Estas distancias son iguales. Por ello, para cualquier otro plano de
truncamiento paralelo el mencionado, se verifica que las alturas de los triángulos que
forman las caras de la pirámide también son iguales.
Su base es siempre un polígono circunscrito a una circunferencia. Esta
circunstancia también se puede comprobar centrando la atención en el caso del plano
de truncamiento que pasa por los puntos de tangencia de las caras de la pirámide con
la esfera inscrita en el poliedro de partida. En este caso los puntos de tangencia están
situados sobre una circunferencia. Por ello, para cualquier otro plano paralelo al
mencionado, al ser las bases de las pirámides homotéticas unas de otras, se sigue
verificando que existe una circunferencia inscrita en el polígono que forma la base de
la pirámide.
La altura de esta pirámide dependerá de la distancia a que se efectúe el
truncamiento del poliedro. Para calcular todos los datos de la misma, se partirá del
valor que adquieren cuando se considera que su base esté situada en el plano que pasa
por el centro de la esfera inscrita en el poliedro de partida. Se van a emplear las
siguientes denominaciones:
PD = perímetro de la base de la pirámide cuando se considera que la misma esta
situada en el plano que pasa por el centro de la esfera inscrita en el poliedro de partida.
rD = radio de la circunferencia inscrita en la base de la pirámide cuando se
considera que su altura es D. Se puede expresar como:
rD =
r
Dr
=
cos α
c
hD = altura de los triángulos que forman las caras laterales de la pirámide de altura
D. Toma el siguiente valor:
D
D2
hd =
=
cos α
k
Si en vez de considerar una pirámide de altura D, se considera una altura dada por
la situación del plano de truncamiento a una distancia x del centro de la esfera inscrita
en el poliedro de partida, los parámetros anteriores tomarán valores proporcionales a
la altura de la misma (D - x):
D−x
Dr D − x r ( D − x )
Px = Pd
rx =
=
D
c D
c
D 2 D − x D( D − x )
hx =
=
c
D
c
A partir de estos valores ya es posible calcular la superficie y el volumen del
poliedro truncado. La superficie del poliedro truncado es la superficie del poliedro
origen menos la superficie lateral de la pirámide más la superficie de la base de la
pirámide:
S = S 0 − (1 / 2) Px h x + (1 / 2) Px rx =
= S 0 − (1 / 2) PD
S = S 0 − PD
D − x D( D − x )
D − x r( D − x)
+ (1 / 2) PD
D
c
D
c
( D − x) 2 ( D − r)
2cD
(Ecuación 1)
Y el volumen del poliedro truncado es el volumen del poliedro de partida menos
el volumen del fragmento piramidal eliminado como consecuencia del truncamiento:
V = V0 − (1 / 3)(1 / 2) Px rx ( D − x ) =
= V0 − (1 / 3)(1 / 2) PD
V = V0 − (1 / 6) PD
D − x r( D − x)
( D − x)
D
c
r( D − x) 3
cD
(Ecuación 2)
Como ya son conocidos la superficie y el volumen, se puede calcular la
compacidad del poliedro truncado:
K=
S
V 2/3
( D − x) 2 ( D − r)
S 0 − PD
2cD
=
2/3

r( D − x) 3 
V0 − (1 / 6) PD

cD


4. Estudio de las características de la función compacidad
Se desea hacer un estudio, en líneas generales, sobre la forma de la gráfica de la
función compacidad, con la finalidad de analizar su variación con la distancia de
truncamiento y, en particular, comprobar en que punto alcanza la compacidad su valor
mínimo.
Observando el valor que toma la primera derivada de la función se va a
comprobar si la función es creciente o decreciente y en que intervalo. El valor de la
primera derivada de la función, teniendo en cuenta las expresiones que siguen
dS
D−r
= PD
( D − x)
dx
cD
dV 1
r
= PD ( D − x ) 2
dx 2
cD
ofrece el siguiente resultado, después de simplificar
dK
=
dx
PD
1
1


( D − x ) ( D − r )V − S ( D − x ) r 
3
cD


5/3
V
Si se tiene en cuenta que se puede expresar el volumen del poliedro de partida en
función de su superficie y del radio de la esfera inscrita como:
V0 = (1 / 3) S 0 r
se tiene el siguiente resultado:
dK
=
dx
PD
1
( D − x )V ( x − r )
cD
V 5/3
Puesto que siempre se cumple D≥x, el valor de la derivada de la función depende
únicamente del valor de x - r. Es decir, la función será creciente para x>r, decreciente
para x<r, y presenta dos puntos de tangente horizontal: en x = r y en x =D.
De este primer análisis parece deducirse que la función presenta un mínimo en x
= r y un máximo relativo en x = D. Para verificar si esto es así, es preciso averiguar
qué valor toma la segunda derivada de la función compacidad.
El valor de la segunda derivada de la función, después de simplificar, se puede
expresar como:
d 2 S 2 4 dS dV 2
d 2V 10  dV 
V
V
SV
−
−
+ S

d 2 K dx 2
3 dx dx 3
9  dx 
dx 2
=
dx 2
V 8/3
2
(Ecuación 3)
Si se tienen cuenta los valores de S y V, calculados con anterioridad (Ecuaciones
1 y 2), se pueden calcular sus derivadas con respecto a x.
dS
D−r
= PD
( D − x)
dx
cD
d 2S
D−r
= − PD
2
cD
dx
dV 1
r
= PD
( D − x) 2
dx 2
cD
d 2V
r
= − PD
( D − x)
2
cD
dx
Particularizando el valor de estas expresiones para x = r y sustituyendo estos
resultados en la expresión que da el valor de la segunda derivada de la función
compacidad (Ecuación 3), se obtiene, después de simplificar:
d K 
 2  =
 dx  x = r
2
PD
4
D−r
2

2 ( D − r)
2
V
SVr
P
+
−
+


D
cD 
3
c2D2

V 8/3
2 
5
r  Sr − V 
3 
 18
Si se tiene en cuenta que se trata de calcular el valor de la segunda derivada para x
= r, en este punto se verifica que todas las caras del poliedro truncado son tangentes a
la esfera inscrita en el poliedro de partida, por tanto se verifica:
V = (1 / 3) Sr
Sustituyendo este valor en la expresión de la derivada, resulta:
 d 2K 
 2  =
 dx  x = r
PD
4
D−r 2
2 (D − r) 1
V + PD
rV
cD
c2D2 6
>0
V 8/3
puesto que D - r es mayor que cero
Lo cual indica que el valor encontrado x = r es, tal como se sospechaba, un
mínimo relativo de la función compacidad.
Con relación al otro resultado x = D, si calculan las segundas derivadas de las
funciones superficie y volumen particularizadas para este valor y se sustituyen en la
expresión de la segunda derivada de la función compacidad (Ecuación 3) se obtiene:
 d 2K 
 2 
=
dx

 x=D
− PD
D−r 2
V0
cD
<0
V 8/3
Lo que demuestra que x = D representa, tal como era de prever, un máximo
relativo de la función compacidad.
5. Representación de la función compacidad
Las conclusiones obtenidas en cuanto a la forma de la gráfica son, en resumen:
•
La función tiene pendiente negativa para valores x < r.
•
Presenta un mínimo en el punto x = r
•
Tiene pendiente positiva para x > r
•
Presenta un punto de tangente horizontal para x = D
Figura 3
Con estos datos se puede aproximar cual será el aspecto que, en líneas generales,
presentará la función compacidad. En la figura (Figura 3) se muestra la forma de la
gráfica. Hay que precisar que no se puede extender la forma de la gráfica hasta el
punto x=0 puesto que puede darse la circunstancia de que en el intervalo (0,r) el plano
de truncamiento intercepte a más de un vértice del poliedro en cuyo caso, la función
obtenida deja de tener validez.
El resultado obtenido indica, en definitiva, que el poliedro más compacto se
genera cuando el plano de truncamiento es tangente a la esfera inscrita en el poliedro
de partida, con lo que queda demostrada la validez de la hipótesis planteada
inicialmente.
6. Conclusiones
La conclusión a la que se ha llegado es que si se parte de una forma poliédrica
cualquiera con esfera inscrita y se trunca uno de sus vértices por un plano
perpendicular a la recta que une el vértice a truncar con el centro de la esfera inscrita,
la forma poliédrica más compacta se obtiene cuando el plano de truncamiento es
tangente a dicha esfera.
Esta conclusión encaja perfectamente con los resultados obtenidos en estudios
anteriores relativos al truncamiento de los vértices de las formas platónicas y confirma
la hipótesis que entonces se había planteado en cuanto a la situación del plano de
truncamiento que da lugar a la obtención de la forma poliédrica más compacta.
Por otra parte, se ha averiguado cual es el aspecto que, en líneas generales,
presenta siempre la gráfica de la función compacidad. El resultado alcanzado es
totalmente coherente con las formas de las gráficas de la función compacidad
obtenidas con anterioridad para el truncamiento de formas platónicas.
Referencias
[1] Alvarez Gómez, J.M. y Gancedo Lamadrid, E. “Compacidad de los poliedros convexos,
regulares y arquimedianos”. Ponencia presentada al VIII Congreso Internacional de Expresión
Gráfica en la Ingeniería, Jaén. (Junio, 1996)
[2] Alvarez Gómez, J.M. y Gancedo Lamadrid, E. “Curvas de compacidad de los poliedros
arquimedianos en función de las distancias de truncamiento”. Ponencia presentada al VIII
Congreso Internacional de Expresión Gráfica en la Ingeniería, Jaén. (Junio, 1996)
[3]Alvarez Gómez, J.M.; Suárez González, J.; y Gancedo Lamadrid, E. “Superficie de
compacidad de los sólidos arquimedianos obtenidos truncando y biselando el hexaedro
regular”. Ponencia presentada al IX Congreso Internacional de Expresión Gráfica en la
Ingeniería, Bilbao (Junio, 1997).
[4]Alvarez Gómez, J.M., Suárez González, J. y Gancedo Lamadrid, E. “Superficie de
compacidad de los sólidos arquimedianos que se obtienen mediante truncamiento y
biselamiento del icosaedro regular”. Ponencia presentada al X Congreso Internacional de
Expresión Gráfica en la Ingeniería, Málaga (Junio, 1998)