Regla de Tres. - Universidad de Antioquia

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL 11
TALLER Nº 7 PROPORCIONALIDAD REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA
RESEÑA HISTÓRICA:
BEREMIZ, el matemático del libro El hombre que Calculaba, decía que podía explicar con las
medidas del rostro de una mujer si era hermosa o no. Decía: puedo explicar esa relación curiosa
de un modo elemental y simple:
Dada una magnitud AB (en este caso representada por un segmento de recta), podemos dividirlo
por la mitad, o en dos partes desiguales. La división en dos partes desiguales puede hacerse de
una infinidad de maneras diferentes. Entre estas divisiones de AB en partes desiguales, ¿habrá
alguna preferible a todas las otras?
Consideremos el segmento AB dividido en dos partes desiguales:
Admitamos que esas partes desiguales admiten la siguiente relación:
“El segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la parte menor”. La proporción es
la siguiente:
Segmentototal Partemayor
=
Aproximadamente igual a 1.618
Partemayor
Partemenor
Esta notable división se llama división áurea o división en media y extrema razón.
En el rostro femenino considerado “matemáticamente Hermoso”, la línea C a la altura de los ojos
divide a la longitud total de AB, en media y extrema razón, siendo AB la longitud del rostro.
Hasta hoy no se consiguió descubrir la razón de ser o el porque de esa belleza. Los matemáticos
que llevaran hasta muy lejos sus estudios y observaciones, exponen varios y curiosos ejemplos
que constituyen elocuentes demostraciones para el principio de esa división, que los romanos
llamaban “divina proporción”.
El titulo en la primera página de una obra divide, en general, la medida total de la página en media
y extrema razón. Lo mismo sucede con la línea de los ojos, que divide, en las personas bien
proporcionadas, la medida total del rostro en media y extrema razón. Se observa también en las
partes en que las falanges dividen los dedos de la mano. La división en media y extrema razón se
puede hallar también en la música, el pintura, en la escultura y en la arquitectura.
TEORÍA
RAZON:
La razón entre dos cantidades a y b es el cociente indicado entre ellas y la representamos por:
a
b
Antes de comparar dos cantidades debemos expresarlas en la misma unidad de medida.
PROPORCION:
Una proporción es una igualdad de dos razones.
La proporción
a c
4 1
= se lee “a es a b como c es a d”, por ejemplo: = se lee “ 4 es a 8 como
b d
8 2
1 es a 2”.
a y d se llaman extremos de la proporción.
b y c se llaman medios de la proporción.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES:
En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
a c
3 6
= ⇒ a ⋅ d = b ⋅ c ; ejemplo: = ⇒ 3 ⋅ 4 = 2 ⋅ 6 .
b d
2 4
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES:
Consideremos dos magnitudes A y B así:
A: Es el área en m2 de un piso para embaldosar.
B: Es el numero de obreros necesarios para embaldosar el piso en un día.
Si duplicamos el área del piso, se duplicará el número de obreros necesarios para embaldosarlo.
DEFINICON: Dos magnitudes se llaman DIRECTAMENTE PROPORCIONALES, cuando están
relacionadas de un modo que al duplicar, triplicar etc., una de ellas, la otra también se duplica, se
triplica, etc. Por lo tanto en el ejemplo anterior A y B son magnitudes directamente proporcionales.
En el ejemplo: Si tenemos a1 m2 de piso para embaldosar y necesitamos b1 obreros y si a a2 m2 de
piso le corresponden b2 obreros para embaldosarlos, entonces se tiene la proporción:
a1 b1
=
a 2 b2
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES:
Un vehículo, con velocidad constante, recorre una distancia determinada en t horas, si duplicamos
la velocidad, recorrerá la misma distancia en la mitad del tiempo.
DEFINICION: Dos magnitudes se llaman INVERSMENTE PROPORCIONALES, si al multiplicar
una de ellas por n, la cantidad correspondiente de la otra queda dividida por n.
En el ejemplo anterior, si con una velocidad constante V1 recorre una distancia d en t1 horas y con
otra velocidad constante V2 se demora t2 horas, tenemos que: V1t1 = V2t2, de donde:
V1 t 2
( La velocidad es inversamente proporcional al tiempo)
=
V2 t1
BIBLIOGRAFÍA:
•
•
•
•
Malba Tahan: El hombre que Calculaba. Panamericana Editorial. Bogotá. 1994.
Chica, Jaime. Del Valle, Jesús. Y otros. Matemáticas (Colección Camino a la Universidad).
Editorial Universidad de Antioquia. 1992.
Uribe, Julio: Matemáticas Básicas operativas. Susaeta ediciones. 1990.
Guarín, Hugo; Londoño, Nelson y otros. Matemática moderna estructurada. Libro 2.
Editorial Norma. Bogotá.
GLOSARIO: Razón. Proporción, Medios, Extremos, Proporción directa, Proporción inversa,
segmento áureo, Media y extrema razón.
REGLA DE TRES SIMPLE
1. Cuál es el precio de 340 Kg de café a 178
dólares 85 kilos
A.
B.
C.
D.
$145
$268
$712
$44,5
2. Sabiendo que 162 litros de vino cuestan
324 dólares,¿cuál es el valor de 285 litros de
la misma calidad?.
A.
B.
C.
D.
$144,2
$420
$285
$570
3. Para hacer una obra, 28 obreros han
empleado 45 días. ¿Cuántos días emplearán
para hacer otra obra semejante a la anterior
15 obreros?
A.
B.
C.
D.
84
45
63
110
4. Dos individuos arriendan una finca.
El
primero ocupa los 5/11 de la finca y paga
$6.000 bolívares de alquiler al año. ¿Cuánto
paga de alquiler el segundo?
A.
B.
C.
D.
7.200 Bs
5.000 BS
2.700 Bs
2.600 Bs
5. Una casa es de dos hermanos. La parte
del primero, que es los 5/13 de la casa, está
avaluada en 15.300 bolívares. Hallar el valor
de la parte del otro hermano.
A.
B.
C.
D.
29.380
25.300
24.480
9.562,5
6. Un grupo de obreros emplea 14 días,
trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta
obra. Si hubieran trabajado una hora menos
al día, ¿En cuántos días habrán terminado la
obra?
A.
B.
C.
D.
12.25 D
16
D
18
D
11.5 D
7. Nueve hombres pueden hacer una obra en
5 días. ¿Cuántos hombres más harían falta
para hacer la obra en un día? ¿Cuántos
hombres menos para hacerla en 15 días?
A.
B.
C.
D.
2.25 y 27
45 y 3
36 y 6
45 y 6
8. Ganando $3.15 en cada metro de tela,
¿Cuántos metros se han vendido si la
ganancia ha sido $945?
A.
B.
C.
D.
300 m
645 m
315 m
945 m
9. Un obrero tarda 12 53 días en hacer 7/12 de
una obra. ¿Cuánto tiempo necesitará para
poder terminar la obra?
A.
B.
C.
D.
18 D
3 D
9 D
12 D
10. A la velocidad de 30 Km por hora, un
automóvil emplea 8 14 horas en ir de una
ciudad a otra. ¿Cuánto tiempo menos se
hubiera tardado si la velocidad hubiera sido
el triple?
A. 24,7
B. 5 12
C. 11/4
D. 15/4
11. Dos piezas de paño de la misma calidad
cuestan, un $450 y otra $300. si la primera
tiene 15M más que la segunda, ¿Cuál es la
longitud de cada pieza?
A.
B.
C.
D.
45m
55m
25m
30m
y 30m
y 5 m
y 10m
y 15m
12. Una fuente da 120 decalitros de agua en
10 minutos. ¿Cuántos litros más dará en
12 121 minutos?
A.
250
B.
350
C. 1.200
D.
145
13. Una guarnición de 1.300 hombres tiene
víveres para 4 meses. Si se quiere que los
víveres duren 10 días mas, ¿cuántos
hombres habrá que rebajar de la guarnición?
A. 1.200
B.
100
C. 1.400
D. 1.250
14. Un ganadero compra 1.140 reses con la
condición de recibir 13 por cada 12 que
compre. ¿Cuántas reses debe recibir?
A.
B.
C.
D.
1.235
1.400
1.350
1.150
15. Al vender cierto número de caballos por
$4.500 gano $6 en cada $100. ¿Cuánto me
costaron los caballos?
A. 4.230
B. 3.450
C. 1.350
D. 4.350
16. Al vender cierto número de caballos por
$960 pierdo $8 en cada $100. ¿Cuánto me
costaron los caballos?
A.
B.
C.
D.
$1.130
$1.036.80
$1.450
$2.450
17. Dos números están es la relación de 5 a
3. Si el mayor es 655, ¿Cuál es el menor?
A.
B.
C.
D.
325
225
393
232
18. Dos números están en relación de 19 a
17. Si el menor es 289 ¿Cuál es el mayor?
A.
B.
C.
D.
289
323
232
982
19. Se han empleado 8 días para cavar una
zanja. Si la dificultad de otro terreno guarda
con la dificultad del anterior la relación de 4 a
3, ¿Cuántos días llevaría cavar una zanja
igual en el nuevo terreno?
A. 6
B. 10 23
C. 1 12
D. d.
12 34
20. Un grupo de 15 hombres se compromete
a terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de
9 días sólo han hecho los 3/7 de la obra;
¿con cuantos hombres tendrán que ser
reforzados para terminar la obra en el tiempo
fijado?
A. 24
B. 23
C. 19
D. 21
REGLA DE TRES COMPUESTA
1. Una guarnición de 500 hombres tienen
víveres para 20 días a razón de 3 raciones
diarias. ¿Cuántas raciones diarias tomara
cada hombre si se quiere que los víveres
duren 5 días más?
A. 1/5
B. 3 52
C. 3 54
D. 2 52
2. Ocho hombres han cavado en 20 días una
zanja de 50 m de largo, 4m de ancho y 2 m
de profundidad. ¿En cuanto tiempo hubieran
cavado la zanja 6 hombres menos?
A.
B.
C.
D.
5 días
5/4 días
50 días
80 días
3. Una calle de 50 metros de largo y 8 metros
de ancho se halla pavimentada con 20.000
adoquines. ¿Cuántos adoquines serán
necesarios para pavimentar otra calle del
doble de largo y cuyo ancho es los ¾ del
ancho interior?
A.
B.
C.
D.
45.000
19.200
3.750
30.000
4. Diez hombres, trabajando en la
construcción de un puente, hacen 3/5 de la
obra en 8 días. Si se retiran 8 hombres,
¿Cuánto tiempo emplearan los restantes
para terminar la obra?
A. 16
B. 26 23
C. 60
D. 5 13
5. Dos hombres han cobrado 350 bolivares
por un trabajo realizado por los dos. El
primero trabajó durante 20 días a razón de 9
horas diarias y recibió 150 bolívares.
¿Cuántos días a razón de 6 horas diarias,
trabajó el segundo?
A.
B.
C.
D.
19 días
40 días
45 días
35 días
6. 2 gallinas ponen dos huevos en dos días;
10 gallinas. ¿Cuántos huevos ponen 10
días?
A.
B.
C.
D.
2 huevos
10 huevos
100 huevos
50 huevos
7. Se emplean 14 hombres en hacer 45 m de
una obra, trabajando durante 20 días.
¿Cuánto tiempo empleará la mitad de esos
hombres en hacer 16 m de la misma obra,
habiendo en esta obra triple dificultad que en
la anterior?
A. 20
B. 38 13
C. 45
D. 42 23
8. ocho niños se comen 8 biscochos en 8
minutos. ¿Cuántos niños son necesarios
para comerse 2 biscochos en 2 minutos?
A.
B.
C.
D.
2 niños
4 niños
8 niños
6 niños
9. 15 hombres han sembrado en 20 días un
terreno de 50 km de largo por 15 km de
ancho. ¿En cuanto tiempo hubieran
sembrado el mismo terreno 6 hombres
menos?
A. 33
B. 32
C. 33 13
D. 31
10. Un parqueadero de 300 m de largo y 160
m de ancho se halla pavimentado con 35.000
adoquines. ¿Cuántos adoquines serán
necesarios para pavimentar otra calle del
doble de largo y cuyo ancho es la mitad del
ancho anterior?
A.
B.
C.
D.
35.000
2.500
32.140
8.430
11. 12 hombres han sembrado en 15 días un
terreno de 30 km de largo por 15 km de
ancho. ¿En cuanto tiempo hubieran
sembrado otro terreno de 22 km de largo por
11 km. De ancho 4 hombres menos?
A.
B.
C.
D.
14.5
9
12.1
8.3
12. Tres hombres han cobrado $ 15.300 por
un trabajo hecho por los tres, trabajando
durante 23 días. ¿Cuánto cobrarán 5
hombres por hacer el trabajo en 15 días?
A.
B.
C.
D.
16.630,4
15.480,3
10.421
7.594,5
13. Una guarnición de 700 hombres tienen
víveres para 30 días a razón de 3 raciones
diarias. ¿Cuántas raciones diarias deberá
tomar una guarnición de 400 hombres si se
quiere que los víveres duren 5 días más?
A.
B.
C.
D.
3.5
4.5
7
6
A.
B.
C.
D.
14. Un automóvil invierte 8 horas para
recorrer una distancia de 240 km a una
velocidad de 30 km/h. ¿Cuánto tiempo se
gastará para recorrer una distancia de 420
km, a una velocidad de 14 km/h?
A.
B.
C.
D.
17. Dos hombres han gastado $ 780 en un
negocio hecho por ambos. El primero invirtió
$350 y trabajó durante 23 días a razón de 9
horas. ¿Cuántos días a razón de 6 horas
diarias, trabajó el segundo?
7.5 horas
15 horas
12 horas
30 horas
18
42.4
35
24.7
18. Un grupo de 9 hombres se comprometen
a terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de
11 días sólo han hecho la mitad de la obra.
¿Cuántos hombres tendrán que ser
reforzados para terminar la obra en el tiempo
fijado?
A.
B.
C.
D.
18
24
33
19
3
15. Una piscina se gasta 340m de agua
para llenarla en un tiempo de 3 horas,
utilizando
4
mangueras.
¿Cuántas
mangueras se necesitan para llenar la mitad
de la piscina con 2 horas?
A.
B.
C.
D.
3
18
16
9
16. 8 hombres, trabajando en la construcción
de un puente hacen 5/8 de la obra en 12
días. Si se añaden 3 hombres más. ¿Cuánto
tiempo empleará la nueva cantidad de
hombres para terminar la obra?
A.
B.
C.
D.
5.2
3½
7.7
8.4
19. Un grupo de 9 hombres se
comprometieron a terminar en 14 días cierta
obra. Al cabo de 11 días sólo han hecho la
mitad de la obra. Si se agregan 5 hombres
más para terminar la obra, en cuanto tiempo
lo harán?
A.
B.
C.
D.
4
5
9
7
20. Siete hombres han cavado en 20 días
una zanja de 30m de largo y 2 de
profundidad. ¿En cuanto tiempo hubieran
cavado otra zanja de 20x3x3, 2 hombres
menos?
A.
B.
C.
D.
21
15
9
36