Parte 4: Precios de equilibrio y carteras óptimas

Parte IV
PRECIOS DE
EQUILIBRIO Y
CARTERAS ÓPTIMAS
87
Capítulo 9
Sistema Financiero con
Incertidumbre
9.1
Introducción
El objeto de este capítulo es analizar un modelo general en una economía con
estructura secuencial donde la actividad económica se divide en dos tipos de
mercados, un mercado spot de consumo contingente y un mercado de futuros
(forward) donde se negocian activos …nancieros.
En este capítulo para simpli…car consideraremos modelos de dos periodos.
Esta simpli…cación permite darle una mayor tractabilidad al modelo y mantiene
los elementos básicos de modelos más complejos. Éstos están dados por la primitivas en la economía, preferencias y dotación de recursos. Las preferencias de
los individuos re‡ejan simultaneamente dos cosas: el grado de impaciencia entre
consumo presente y consumo futuro, así como su actitud frente a volatilidad en
el consumo medida en la aversión al riesgo. Las caracterísiticas básicas del ‡ujo
de rentas es que no se distribuyen uniformemente entre los distintos estados.
En ausencia de mercados de intercambio, el consumo de los individuos ‡uctúa
entre los distintos estados de la naturaleza, de forma que cuanto más averso al
riesgo sean los individuos mayor será la pérdida de bienestar asociada a la no
existencia de mercados de seguros.
Sin embargo, la existencia de mercados …nancieros va a permitir a los agentes
intercambiar contratos …nancieros, que no son otra cosa que participaciones
sobre una fracción de la renta de un determinado individuo. El intercambio de
contratos …nancieros va a permitir cambiar el patrón de ingresos entre estados,
de forma que es posible aumentar el consumo entre contingencias y disminuir la
incertidumbre de forma total o parcial.
El capítulo se inicia analizando un modelo de equilibrio general con incertidumbre con una estructura de mercado Arrow-Debreu. Para cada estado existe
un derecho que promete pagar una unidad de renta en un determinado estado
de la naturaleza. El intercambio de estos derechos permite obtener precios de
equilibrio que son el valor esperado presente de una unidad de ingreso en un
determinado estado. Si no existen impedimentos al intercambio la asignación
resultante en la economía es e…ciente en el sentido de Pareto.
A continuación se analiza la contrapartida secuencial propuesta por Radner,
89
90
CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE
en la cual los individuos intercambian de forma secuencial en cada estado de la
naturaleza bonos contingentes. Los bonos contingentes permiten transferir una
unidad de renta en un determinado estado de la naturaleza. La principal diferencia es que en cada momento del tiempo no abren todos los mercados, sino un
subconjunto de ellos. Tanto las asignaciones como los precios de equilibrio son
equivalentes en ambas economías. La noción de equilibrio secuencial propuesta
por Radner es un caso particular de una economía …nanciera, donde el conjunto
de contratos …nancieros que se intercambian es mucho más rico. Un contrato
…nanciero es un derecho compuesto que permite percibir una determinada cantidad de renta en distintos estados de la naturaleza. Los activos …nancieros deben
valorarse de forma apropiada para que no existan oportunidades de arbitraje.
Existe una oportunidad de realizar arbitraje cuando los invididuos pueden adquirir una cartera de activos que de un rendimiento positivo sin ningún coste.
La ausencia de arbitraje implica que el precio de cada activo es igual al valor
descontado de los dividendos futuros. Este resultado es muy general y es básico
en toda la teoría de las …nanzas.
9.2
Característica básicas de la economía
La forma más sencilla de introducir tiempo e incertidumbre de forma simultanea
es utilizar economías con dos periodos (t = 0; 1) donde S son los posibles estados
de la naturaleza en el periodo 1:
De…nición (Estado de la Naturaleza): Un estado de la naturaleza es la
descripción de un cierto resultado de la incertidumbre.
La descripción es lo su…cientemente precisa como para distingir cada estado
como mutuamente excluyente. Denotamos a S como el conjunto de estados
posibles de la naturaleza, y s 2 S; es un elemento del conjunto. Los estados
pueden denotarse de la siguiente forma s = 1; :::; S; donde a veces puede resultar
conveniente, especialmente en una economía con dos periodos, incluir el periodo
t = 0 como un estado adicional s = 0; de forma que el conjunto total de estados
está denotado por S +1: Supondremos que tan sólo existe un bien de consumo en
cada estado de la naturaleza y el número de consumidores totales en la economía
es I:
Los individuos tienen preferencias de…nidas sobre planes contingentes de
consumo.
De…nición (Plan contingente): Un plan de consumo contingente es una
especi…cación sobre en número de unidades a consumir en cada estado de la
naturaleza.
Suponga que el número de estados de la naturaleza es S = 5; veamos un
ejemplo de plan contingente de consumo.
Plan de consumo contingente
s=1 s=2 s=3 s=4 s=5
c(s)
2
3
4
0
8
c0 (s)
3
2
5
1
7
De…nición (Plan consumo cierto): Un plan de consumo es cierto si
el número de unidades de consumo no varía en los diferentes estados de la
naturaleza.
9.2. CARACTERÍSTICA BÁSICAS DE LA ECONOMÍA
91
Estamos analizando el caso en el cual no hay incertidumbre que es el que
hemos analizado en los capítulos anteriores. Las preferencias de los individuos
están de…nidas sobre el espacio de loterias RS ; y pueden representarse mediante
una función de utilidad esperada. De forma que si:
X
X
¢
¡
ci % (ci )0 ,
¼i u(ci ) ¸
¼i u (ci )0
S
S
Las preferencias por de…nición son ex-ante: la evolución de consumo como una
variable aleatoria se evalúa antes de la resolución de la incertidumbre. Las
propiedades de las preferencias ya ha sido analizada detalladamente en los capítulos anteriores, a pesar de ello es importante recordar la dos propiedades
básicas que debemos tener en cuenta. En primer lugar la tasa de impaciencia
que viene determinada por el factor subjetivo de descuento. En segundo lugar
por la propiedade de aversión al riesgo que expresa la idea de que los individuos
pre…eren el valor esperado de un consumo cierto a un consumo aleatorio. El caso más sencillo de funciones de utilidad que consideramos son las aditivamente
separables:
£
¤
U i (ci0 ; ci (s)) = ui (ci0 ) + ¯i E0 ui (ci (s))
donde ui (¢) es una función creciente, continuamente diferenciable (u0 > 0 y
u00 < 0) y estricamente cóncava. Donde ¯i 2 (0; 1) denota el factor subjetivo de
descuento del individuo i
Las dotaciones de recursos son contingentes en los estados de la naturaleza,
por lo tanto los individuos reciben un vector contingente de dotaciones mutuamente excluyentes. !i denota la dotación inicial de recursos del individuo i en
cada estado de la naturaleza. Formalmente:
! i = (!i (1); :::; !i (S))
La dotación agregada de recursos en cada estado de la naturaleza está dada
por:
XI
!i (S) = W S
8s
i=1
Estamos interesados en analizar las propiedades cualitativas de las asignaciones resultantes de utilizar diferentes estructuras de mercado asociadas a una
economía de intercambio. Particularmente analizaremos tres tipos de estructuras de mercado:
1. Mercados contingentes (Arrow-Debreu).
2. Mercados secuenciales (Radner).
3. Mercados …nancieros
Cuando los agentes participan en el mercado venden bienes (contratos) obteniendo un ingreso y compran bienes (contratos) realizando un gasto. El intercambio de bienes en los mercados está basado en la idea de que los individuos
pueden intercambiar bienes sujeto a una restricción presupuestaria que impide
que el gasto total realizado en la compra de bienes exceda el nivel de ingresos.
La restricción de recursos debe cumplirse siempre, con independencia de cual
sea la estructura de mercado.
CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE
92
9.3
Estructura Arrow-Debreu
Suponemos una estructura de mercados Arrow-Debreu en el momento, t: Todos
los mercados posibles abren antes de la resolución de la incertidumbre, de forma
que cada bien de consumo contingente tiene un precio p(s);que representa el
precio del bien de consumo en el estado s: Los agentes …rman contratos contingentes de compra o venta condicionados a la realización de los estados de la
naturaleza. A pesar de que las entregas son contingentes los pagos no lo son y
se realizan todos en el momento inicial. Para que esta estructura de mercado
funcione es necesario que todos los agentes sean capaces de reconocer en que
estado de la naturaleza se encuentran. En t = 0 los individuos intercambian
contratos contingentes.
De…nición (contrato de contingente): Un contrato contingente para
cada estado s es un acuerdo entre agentes para recibir una determinada cantidad
física de un bien si sólo si un determinado estado de la naturaleza s ocurre. Su
precio de intercambio en el periodo inicial p(s), se mide en unidades de cuenta
en t = 0:
Un contrato contingente puede interpretarse como una variable aleatoria.
Los individuos pagan un precio por comprar estos planes. Por ejemplo, un plan
de consumo contingente podría tomar la siguiente forma:
El individuo 1 entregará x cantidad del bien de consumo si ocurre el
estado de la naturaleza s; por el cual el individuo 2 paga y unidades
de bien numerario.
Si existe un conjunto completo de contratos contingentes (s = 0; 1; :::; S)
en el periodo 0; cada agente i puede vender su dotación inicial de recursos,
!i = (! i (1); :::; !i (S)) obteniendo un ingreso (medido en unidades del bien de
consumo en t = 0):
pi0 !i0 + p(1)! i (1) + ::: + p(S)!i (S);
8i
Con este ingreso, puede comprar en los mercados contingentes contratos de
consumo contingente satisfaciendose la restricción presupuestaria de recursos:
XS
s=0
£
¤
p(s) ci (s) ¡ ! i (s)
0;
8i
A partir del problema que soluciona cada consumidor y la estructura de
mercado seleccionada podemos de…nir el concepto de equilibrio Arrow-Debreu.
De…nición (Arrow-Debreu): Un equilibrio Arrow-Debreu con mercados
contingentes es una asignación de contratos de consumo contingentes para cada
individuo, x = fci0 ; fci (s)gSs=1 gIi=1 ; un vector de precios fp0 ; fp(s)gSs=1 g tal que:
1. El individuo i elige x de solucionar:
£
¤
max ui (c0 ) + ¯i E0 ui (c(s))
x
s:a:
XS
s=0
£
¤
p(s) ci (s) ¡ !i (s)
ci0 ; ci (s) ¸ 0;
8s
0
9.3. ESTRUCTURA ARROW-DEBREU
93
2. Los mercados contingentes se vacian,
X
X
ci0
! i0 ;
i
X
i
X
ci (s)
i
!i (s);
i
8s
Un equilibrio Arrow-Debreu con mercados contingentes es un equilibrio competitivo donde los individuos actúan de forma precio-aceptante, es decir cada
agente puede comprar y vender cualquier cantidad en los mercados contingentes
sin afectar el precio. Si las preferencias de los agentes son monótonas entonces
todos los precios son positivos de forma que no existen en equilibrio contratos
gratuitos. La ausencia de contratos gratuitos que permitan transferir riqueza
entre estados de forma ilimitada elimina la posibilidad de realizar arbitraje por
parte de los agentes.
Propiedades del Equilibrio
Las asignaciones resultantes del equilibrio A-D satisfacen los teoremas del
bienestar. La e…ciencia de la asignación de equilibrio implica una asignación
e…ciente del riesgo.
Proposición: Si los mercados contingentes son completos (s = 0; 1; :::; S)
y los individuos tienen probabilidades objetivas, es decir F i (s) = F j (s); para
8i 6= j:, entonces la asignación e…ciente implica diversi…cación perfecta del riesgo, por lo tanto los individuos pueden asegurarse perfectamente respecto a la
incertidumbre idiosincrática y consumir lo mismo en cada estado de la naturaleza:
El problema del consumidor i es:
max u(c0 ) + ¯ i
x
s:a:
S
X
¼ s u(c(s))
s=1
XS
s=0
£
¤
p(s) ci (s) ¡ ! i (s)
0
Las condiciones de primer orden de este problema
[ci0 ]
[ci (s)]
[ci (s0 )]
u0 (ci0 ) ¡ p0 ¸ = 0
¯¼ s u (c(s)) ¡ p(s)¸ = 0
¯¼s0 u0 (c(s0 )) ¡ p(s0 )¸ = 0
0
Arreglando términos obtenemos:
p(s)
¼ s u0 (ci (s))
=
¼s0 u0 (ci (s0 ))
p(s0 )
y,
u0 (ci0 )
p0
=
¼s u0 (ci (s))
p(s)
Como todos los individuos pagan los mismo precios, entonces para i 6= j;
debe cumplirse:
u0 (ci (s))
u0 (cj (s))
=
u0 (ci (s0 ))
u0 (cj (s0 ))
94
CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE
Si las probabilidades de cada individuo son las mismas, y no existe incertidumbre agregada los individuos pueden asegurarse perfectamente frente al riesgo
idiosincrático, por lo tanto el consumo de cada individuo será el mismo en cada
estado de la naturaleza:
8s
ci (s) = c;
Para demostrar que en equilibrio los consumos son constantes en cada estado
de la naturaleza procedemos a analizar el siguiente ejemplo.
9.3.1
Ejemplo 1: Probabilidades Objetivas
Consideramos una sencilla economía de intercambio con dos individuos I = 2;
dos periodos t = 0; 1; y dos estados de la naturaleza, S = 2; donde ¼ denota la
probabilidad objetiva de ocurrencia del estado 1 y 1 ¡ ¼ es la probabilidad del
ocurrencia del estado 2. Suponemos que todos los individuos en la economía
tienen la misma distribución de probabilidades. Si la función de utilidad es
u(¢) = ln ci (s); utilizando las condiciones de primer orden podemos demostrar
que bajo ciertas circunstancias el consumo contingente es constante en cada
estado de la naturaleza, de forma que los contratos que …rman los individuos
permiten diversi…car riesgo de forma perfecta.
¼c1 (2)
p(s)
¼c2 (2)
=
=
(1 ¡ ¼)c1 (1)
p(s0 )
(1 ¡ ¼)c2 (1)
A partir de las condiciones de factibilidad en los mercados contingentes podemos de…nir las siguientes funciones de consumo:
c2 (s) = Ws ¡ c1 (s);
8s
Sustituyendo esta expresión en las condiciones de primer orden obtenemos:
c1 (2)
W 2 ¡ c1 (2)
=
c1 (1)
W 1 ¡ c1 (1)
Aislando términos obtenemos:
c1 (2)
W
= 2
c1 (1)
W1
Si no existe incertidumbre agregada, W s = W s0 = W para 8s: Entonces el
consumo del indivividuo i es constante en cada estado de la naturaleza. Esto
también se cumple para funciones de utilidad más generales. Si existe incertidumbre agregada, el consumo contingente óptimo entre estados es proporcional
al ratio de recursos entre estados. Es importante destacar, como demostraremos
a continuación, que la cantidad …nal de consumo depende de la distribución de
la renta entre estados así como de la distribución de probabilidades. Los individuos más ricos son aquellos que tienen una mayor dotación de recursos en
aquellos estados que son más probables. Suponemos que no existe incertidumbre agregada, entonces para calcular los precios de los contratos contingentes
p(s) es necesario derivar las funciones de consumo contingente del individuo i :
£ i i
¤
p0 ! 0 + p(1)!i (1) + p(2)!i (2)
1
i
b
c0 =
1+¯
p0
9.3. ESTRUCTURA ARROW-DEBREU
95
£
¤
¯¼ pi0 !i0 + p(1)! i (1) + p(2)! i (2)
c (1) =
b
1+¯
p(1)
£ i i
¤
¯(1 ¡ ¼) p0 !0 + p(1)! i (1) + p(2)!i (2)
i
c (2) =
b
1+¯
p(2)
i
Nótese que las funciones logarítmicas o de tipo Cobb-Douglas asignan fracciones …jas de renta a cada bien. Como tenemos tres mercados, para hallar los
precios relativos basta con tener dos mercados en equilibrio. Si normalizamos el
precio del consumo en el primer periodo a p0 = 1; es directo calcular los precios
relativos para los mercados contingentes, para ello basta con encontrar el vector
de precios que vacia los mercados de contratos contingentes:
"
#
X
i
i
c (s) ¡ ! (s)
b
0;
8s
i
que están dados por:
p(1) = ¯¼
p(2) = ¯(1 ¡ ¼)
Por lo tanto el ratio de precios contingentes, es
p(1)
¼
=
p(2)
(1 ¡ ¼)
Los precios relativos en cada estado de la naturaleza es igual al ratio de probabilidades subjetivas. Si sustituimos los precios relativos en las funciones de
consumo contingentes, podemos comprobar que existe “diversi…cación perfecta
del riesgo”, es decir que cada consumidor consumirá lo mismo en cada estado
de la naturaleza.
ci0 =
¡
¢¤
1 £ i
!0 + ¯ ¼! i (1) + (1 ¡ ¼)! i (2)
1+¯
¡
¢¤
¯ £ i
!0 + ¯ ¼!i (1) + (1 ¡ ¼)! i (2)
1+¯
¡
¢¤
¯ £ i
!0 + ¯ ¼!i (1) + (1 ¡ ¼)! i (2)
ci (2) =
1+¯
ci (1) =
A continuación se analiza un sencillo ejemplo que presupone la existencia de
incertidumbre agregada.
Una economía tiene incertidumbre agregada cuando la dotación de recursos
varía de un estado a otro, por lo tanto no existen contratos que permiten a
los individuos asegurarse frente a este tipo de incontingencias, es decir en unos
determinados estados de la naturaleza hay más recursos que en otros estados.
Si la dotacion de recursos es, !1 = (1; 0); !2 = (1; 1); esto signi…ca que en el
estado 1, hay más recursos que en el estado 2, por lo tanto cualquiera que sea
el tipo de contrato que …rmen los individuos debe cumplirse que en equilibrio:
c1 (1) + c2 (1)
c1 (2) + c2 (2)
2
1
96
CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE
por lo tanto en el estado 1 el consumo agregado es mayor. Si suponemos que la
distribución de probabilidades subjetivas es la misma para todos los individuos,
entonces podemos utilizar la formula del apartado anterior para derterminar los
precios relativos:
p(1)
1 ¼
=
p(2)
21¡¼
p(1)
p(2)
¼
es decir, p(1)
p(2) < 1¡¼ ; por lo tanto ¼ < 1¡¼ : Si ¼ = 1=2; esto signi…ca que
p(1) < p(2): El precio del consumo contingente es mayor en el estado en el cual
el consumo es escaso. Esto signi…ca que el precio del activo es mayor cuando
está negativamente correlacionado con el rendimiento de mercado. En este caso
negativamente correlacionado con la dotación de recursos del segundo periodo.
Esto implica que comprar consumo en el segundo estado de la naturaleza es más
caro.
Los consumos de cada individuo en los estados de la naturaleza son:
¸
p(1)
c1 (1) = ¼ 1 + 0 ¢
=¼
p(2)
¸
p(1)
¼
c1 (2) = (1 ¡ ¼)
=
p(2)
2
2
c (1) = 2 ¡ ¼
c2 (2) = 2 ¡ ¼
El individuo 1, no puede asegurarse perfectamente y consume más en el estado
donde hay una mayor dotación de bienes. El individuo 2 tiene la misma cantidad
de recursos, por lo tanto asegurando al otro individuo podrá consumir más que
su dotación de recursos con certidumbre.
9.3.2
Ejemplo 2: Probabilidades Subjetivas
Supongamos que la incertidumbre es idiosincrática pero la distribución de probabilidades es subjetiva para cada individuo. Obtenemos las mismas condiciones de primer orden que en el caso anterior corregida por las probabilidades
subjetivas:
¼i u0 (ci (1))
p(1)
=
(1 ¡ ¼ i )u0 (ci (2))
p(2)
Como todos los individuos pagan los mismo precios, entonces para i 6= j;
debe cumplirse:
¼i u0 (ci (1))
¼j u0 (cj (1))
=
(1 ¡ ¼i )u0 (ci (2))
(1 ¡ ¼j )u0 (cj (2))
Esto implica que los individuos no van a asegurarse perfectamente, pues no
asignan la misma probabilidad a cada estado de la naturaleza. Por ejemplo si
¼i < ¼j ; el individuo i asigna más peso al estado 2 que al estado 1; por lo tanto
el consumo de equilibrio es mayor en el estado que consideran más favorable.
Si la función de utilidad es u(¢) = ln c(s); los precios de equilibrio obtenidos
utilizando las funciones de demanda del caso anterior son:
p(1)
¼ 1 ! 1 (1) + ¼2 !2 (1)
=
p(2)
(1 ¡ ¼1 )! 1 (1) + (1 ¡ ¼2 )!2 (1)
9.4. ESTRUCTURA SECUENCIAL DE MERCADO
97
Si la distribución inicial de riqueza es !1 = (0; 1); ! 2 = (1; 0); entonces los
precios de equilibrio están dados por la siguiente expresión:
¼2
p(1)
=
p(2)
(1 ¡ ¼1 )
En este caso la no coincidencia en la percepción de los estados de la naturaleza impide que los individuos se aseguren totalmente respecto a la existencia
de incertidumbre idiosincrática.
9.4
Estructura Secuencial de Mercado
La estructura A-D es poco realista, pues impone que todos los mercados están
abiertos en t = 0: Normalmente los mercados no tienen esta estructura sino
que abren y cierran de forma secuencial, ello permite que en cada momento del
tiempo no se tenga que transferir recursos entre todos los nodos del árbol de
incertidumbre, tan sólo entre alguno de ellos. A continuación analizaremos la
determinación de precios de equilibrio en economías de intercambio con estructuras de mercado secuenciales. Esta formulación secuencial fue propuesta por
Radner. Como observaremos las asignaciones del modelo A-D con una estructura completa de contratos contingentes también son alcanzables mediante una
estructura completa de bonos contingentes.
De…nición (bono contingente): Un bono contingente es un activo …nanciero que permite trnasferir una unidad del bien de consumo en el estado s,
y su precio de intercambio en cada momento del tiempo es qt (s), se mide en
unidades de cuenta del bien numerario del estado s:
Al igual que en la sección anterior consideramos una economía sencilla con
dos periodos donde los individuos consumen en ambos periodos. En el periodo
inicial no hay incertidumbre, mientras que en el segundo sí. La existencia de
una estructura secuencial de mercados contingentes se plasma en la siguiente
de…nición de equilibrio.
De…nición (Equilibrio Secuencial): Un equilibrio secuencial con incertidumbre es una asignación para cada individuo, x = fci0 ; fci (s); bi (s)gSs=1 gIi=1 ;
un vector de precios fq(s)gSs=1 tal que:
1. El individuo i elige x de solucionar:
£
¤
max ui (c0 ) + ¯ i E0 ui (c(s))
x
s:a:
ci0 +
X
q(s)bi (s) = ! i0
s
i
i
c (s) = ! (s) + bi (s);
ci0 ; ci (s)
¸0
8s
2. Los mercados contingentes se vacian,
X
X
ci0
! i0 ;
i
X
i
ci (s)
i
X
i
!i (s);
8s
98
CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE
X
bi (s) = 0;
s
8s
Algunas de estas ecuaciones merecen una mención especial. La primera
restricción presupuestaria indica que la compra de bonos contingentes conjuntamente con la renta del primer periodo deben igualar a la dotación inicial de
recursos de cada individuo. Es importante destacar que no hay ninguna restricción en el signo de bi (s); de forma que los individuos puede vender de forma
ilimitada en corto bi (s) < 0 al precio de mercado q(s): La única restricción a
la venta es que gasto en bonos contingentes nunca debe superar a los ingresos.
En la restricción presupuestaria del periodo 1, hemos normalizado el precio del
bien de consumo contingente, de forma que todo está medido en unidades de
dicho bien.
Veamos un sencillo ejemplo, supongamos que sólo hay dos estados de la naturaleza, s = 2 y las probabilidades son subjetivas. El problema del consumidor
de tipo i es:
£
¤
max
u(ci0 ) + ¯ ¼u(ci (1)) + (1 ¡ ¼)u(ci (2))
i
ffc0 ;ci (s);bi (s)gg
ci0 + q(1)bi (1) + q(1)bi (1) = ! i0
s:a:
ci (1) = !i (1) + bi (1);
ci (2) = !i (2) + bi (2);
s=1
s=2
Las condiciones de primer orden de este problema
[ci0 ]
[ci (1)]
[ci (2)]
[bi (1)]
[bi (1)]
u0 (ci0 ) ¡ p0 ¸ = 0
¯¼u (c (1)) ¡ p(1)¸ = 0
¯(1 ¡ ¼)u0 (ci (2)) ¡ p(2)¸ = 0
¡¸q(1) + ¹ = 0
¡¸q(2) + ¹ = 0
0
i
Reordenando términos obtenemos que la relación marginal de sustitución en
cada estado de la naturaleza es igual al ratio de probabilidades:
(1 ¡ ¼)
u0 (ci (1))
=
u0 (ci (2))
¼
también obtenemos dos ecuaciones intertemporales,
u0 (ci0 ) =
u0 (ci0 ) =
¼¯ 0 i
u (c (1))
q(1)
(1 ¡ ¼)¯ 0 i
u (c (2))
q(2)
Para dos individuos distintos, i 6= j; obtenemos al igual que con la estructura
de mercados completos,
u0 (ci (1))
u0 (cj (1))
=
u0 (ci (2))
u0 (cj (2))
9.4. ESTRUCTURA SECUENCIAL DE MERCADO
99
Si no existe incertidumbre agregada, entonces en equilibrio obtenemos las mismas asignaciones que en la sección anterior, es decir:
ci (1) = ci (2)
cj (1) = cj (2)
Los precios relativos de los activos son equivalentes a los obtenidos con la anterior formulacion:
q(1) = ¯¼
q(2) = ¯(1 ¡ ¼)
y el ratio de precios relativos sigue siendo el ratio de probabilidades.
En algunos casos puede ser interesante obviar el consumo del periodo inicial,
bajo este supuesto el problema del consumidor i puede reescribirse de la siguiente
forma:
£
¤
max E0 ui (c(s))
X
s:a:
q(s)bi (s) = 0
s
i
i
c (s) = ! (s) + bi (s);
8s
ci0 ; ci (s) ¸ 0
Si la función de utilidad es u(ci (s)) = ln ci (s); las condiciones de primer
orden del problema del consumidor implican:
[ci (1)]
[ci (2)]
[bi (1)]
[bi (1)]
¼=ci (1) ¡ p(1)¸(1) = 0
(1 ¡ ¼)=ci (2) ¡ p(2)¸(2) = 0
¡q(1)¹ + ¸(1) = 0
¡q(2)¹ + ¸(1) = 0
Combinando ambas expresiones obtenemos:
¼ci (2)
q(1)
=
i
(1 ¡ ¼)c (1)
q(2)
Calculemos la demanda de bonos contingentes para cada estado de la naturaleza:
bi (1) = ¡
q(2) i
b (2)
q(1)
sustituyendo en la restricción presupuestaria del consumo contingente en el estado 1 se obtiene la siguiente expresión:
ci (1) = ! i (1) ¡
q(2) i
b (2):
q(1)
Sustituyendo en la condición de primer orden:
¸
¤
q(2) £ i
q(2) i
i
i
¼ ! (2) + b (2) = (1 ¡ ¼) ! (1) ¡
b (2)
q(1)
q(1)
CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE
100
Simpli…cando obtenemos:
bbi (1) = ¼ q(2) !i (2) ¡ (1 ¡ ¼)!i (1)
q(1)
bbi (2) = (1 ¡ ¼) q(1) !i (1) ¡ ¼!i (2)
q(2)
Para obtener el precio de equilibrio es necesario acudir al mercado de bonos
contingentes para cada estado:
bb1 (1) + b
b2 (1) = 0
Sustituyendo las demandas de bonos en el mercado podemos derivar los
precios de equilibrio:
¼
q(2) 1
q(2) 2
! (2) ¡ (1 ¡ ¼)!1 (1) + ¼
! (2) ¡ (1 ¡ ¼)!2 (1) = 0
q(1)
q(1)
Los precios de equilibrio son:
¼ W2
q(1)
=
q(2)
1 ¡ ¼ W1
Si no existe incertidumbre agregada, las demandas de bonos contingentes del
inviduo i vienen dadas por las siguientes expresiones:
£
¤
bbi (1) = (1 ¡ ¼) !i (1) + !i (2)
£
¤
bbi (2) = ¼ !i (1) + !i (2)
Sustituyendo las demandas de activos en las restricción presupuestaria se
obtiene la demanda de consumo para cada estado de la naturaleza:
ci (1) = ¼!i (1) + (1 ¡ ¼)! i (2)
ci (2) = ¼!i (1) + (1 ¡ ¼)! i (2)
9.5
Mercados de Activos
Un contrato o bono contingente es una promesa de pago de una determinada
cantidad de renta en cada contingencia o estado de la naturaleza, utilizandose
a modo de seguro para cubrirse de riesgo como incendios, robos, enfermedades
etc... Este tipo de riesgo puede considerarse físico y está más allá del control de
los individuos. En el mundo, los contratos de seguros son uno de los contratos
…nancieros más importantes que se utilizan para asegurarse frente a diversas
contingencias. En los modelos analizados en las secciones anteriores, este tipo
de contratos eran el único tipo de contrato …nanciero que se intercambia en el
mercado. A pesar de ello, la existencia de problemas de riesgo moral, selección
adversa así como la existencia de racionalidad limitada por parte de los agentes
para de…nir todas las contingencias posibles limitan el conjunto de contratos
de seguros que los individuos pueden …rmar. Existe una mayor clase de riesgo
que afecta a los individuos o empresas que depende de forma importante de
9.5. MERCADOS DE ACTIVOS
101
las acciones tomadas por distintos agentes económicos y que no están cubiertas
por seguros contingentes en cada estado de la naturaleza. Este tipo de riesgos
se cubren con otro tipo de contratos …nancieros, que incluyen básicamente las
acciones.
En la formulación Arrow-Debreu los individuos utilizan consumo contingente
para transferir riqueza en los estados de la naturaleza, este tipo de bien es una
construcción teórica que tiene contrapartida real, materializada en activos o
títulos …nancieros que permite transferir riqueza entre estados de la naturaleza.
En esta sección extenderemos la formulación de equilibrio de Radner en un
contexto con activos o títulos valor. Para ello consideramos economías de dos
periodos, t = 0; 1: En t = 1 se revela toda la información sobre los estados de la
naturaleza y t = 0 es un periodo cierto.
De…nición (activo o título): Un activo es un derecho a recibir bienes
físicos o monetarios en t = 1; en una cantidad que depende de los estados de la
naturaleza, medidos en unidades del bien numerario en t = 0:
El pago de un activo se conoce como rendimiento, si el pago es en bienes físicos se denominan activos reales, mientras que si se paga en cantidades
monetarias (o del bien numerario) es un activo …nanciero. Los activos están caracterizados por un vector de rendimientos, si suponemos que existe un número
…nito de estados de la naturaleza, S; entonces:
r = [r1 ; : : : ; rs ; : : : ; rS ] 2 RS
son los pagos de un activo en cada estado de la naturaleza. Veamos a continuación ejemplos de una serie de activos.
² Activos Ciertos
Este tipo de activos promete una unidad del bien 1 (numerario) con independencia del estado de la naturaleza.
r = [1; 1; : : : ; 1]
² Títulos de Arrow
Este tipo de activos paga una unidad de consumo del bien numerario si
sólo si ocurre un determinado estado de la naturaleza s:
r = [0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0]
² Otro tipo de Activos
Veamos otro tipo de activos que no tienen una denominación especí…ca.
Por ejemplo un activo que paga una unidad incondicional de bien numerario en cada estado de la naturaleza, y dos más en los estados impares,
r = [3; 1; 3; 1; : : : ; 3; 1]
alternativamente podríamos tener un activo que paga en cada periodo lo
misma cantidad que la denominación del estado, es decir en el estado 1
paga una unidad, en el 2 dos unidades, y así sucesivamente.
r = [1; 2; 3; 4; : : : ; S]
102
CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE
² Opciones
Una opción es un claro ejemplo de los activos llamados derivados …nancieros. Son activos que su rendimiento depende del de otros activos llamados
activos primarios. La ventaja de las opciones es que se ejecutan una vez
ha sido revelado el estado de la naturaleza, pero antes del pago del rendimiento. Ello permite comprar una unidad del activo primario a un coste
c (medido en unidades del bien numerario), que se denomina coste de
ejercicio. El rendimiento de una determinada opción r(c) viene dado por:
r(c) = fmax(0; r1 ¡ c); : : : ; max(0; rs ¡ c)g
La opción será ejecutada simpre que rs > c (ignoramos el caso en que rs =
c): Veamos un ejemplo sobre como crear opciones sobre un determinado
activo primario, si suponemos que S = 4:
Activo primario: r = (4; 3; 2; 1)
Opciones:
r(3; 5) = (0:5; 0; 0; 0)
r(2; 5) = (1:5; 0:5; 0; 0)
r(1; 5) = (2:5; 1:5; 0:5; 0)
Supongamos que existe una estructura de activos que pueden intercambiarse
en t = 0; cada activo de k se caracteriza por un vector de rendimientos rk : El
número total de activos es K: Suponemos que no existen dotaciones iniciales de
activos y que éstos se pueden vender en corto. No analizamos el origen de cada
tipo de activos, tomamos como dad que existe un determinado tipo de activos
y analizamos las consecuencias. Denotamos q = (q1 ; : : : qk ) al vector de precios
y a z i = (z1i ; : : : ; zki ) la cartera de activos de un determinado individuo i:
Este analisis se basa en los mismos supuestos estilizados analizados en las
secciones anteriores. Los mercados de activos …nancieros son competitivos, de
forma que los agentes pueden comprar y vender al precio de mercado sin ningún
tipo de restricciones sin afectar el precio. Además suponemos que cada contrato
es perfectamente divisible y no existen costes de transacción en la compra y en la
venta de activos. Los contratos son perfectamente veri…cables de forma que los
individuos no tienen incentivos a renegociar sus contratos. Estas circuntancias
pueden reinterpretarse como el caso en el que la pena legal por incumplir un
contrato es tan alta (por ejemplo la muerte) que ningún individuo tiene ningún
incentivo a declarar fallida.
A continuación se rede…ne el concepto de equilibrio de Radner en una estructura en la cual tienen cabida un mayor número de instrumentos para transferir
riqueza en el tiempo.
De…nición (Equilibrio Secuencial de Radner): Un equilibrio de Radner
es una asignación de consumos para cada individuo fci0 ; ci (s)g; una cartera de
activos fz i = (z1i ; : : : ; zki )g en t = 0; un vector de precios para los activos
fq = (q1 ; : : : qk )g intercambiados en t = 0; y un vector de precios spot para cada
estado p(s); tal que:
1. Los individuos solucionan:
max
i gg
ffci0 ;ci (s);zk
u(c0 ) + ¯
X
s
¼i u(ci (s))
9.5. MERCADOS DE ACTIVOS
103
ci0 +
s:a:
X
k
p(s)ci (s) = p(s)!i (s) +
qk zki = !i0
X
zki rk (s);
k
8s
ci0 ; ci (s) ¸ 0
2. Los mercados contingentes se vacian,
X
X
ci0
! i0 ;
i
X
i
X
ci (s)
i
X
!i (s);
i
zki
8s
0
i
Podemos reescribir la restricción presupuestaria de los agentes de forma compacta:
£
¤ X i
p(s) ci (s) ¡ ! i (s)
zk rk (s);
8s
k
la misma restricción escrita de forma
matriz de pagos o de rendimientos:
£
¤ 3
2
p(1) ci (1) ¡ ! i (1)
7
6
..
5
4
£ i .
¤
i
p(S) c (S) ¡ ! (S)
matricial, permite obtener la denominada
3
r1 (1) : : : rk (1)
7 i
6 ..
..
5 z = Rz i
4 .
.
r1 (S) : : : rk (S)
2
Podemos normalizar el precio del bien de consumo contingente en cada estado,
y medir los activos en unidades de dicho bien.
De…nición (Mercados completos): Una estructura de activos es completa su el rango de la matriz de rendimientos R; es igual al número de estados de
la naturaleza,
rango(R) = S
Con una estructura completa de activos es posible transferir riqueza en cada
uno de los estados de la naturaleza. Veamos los siguiente ejemplos, supongamos
que los estados de la naturaleza son s = 3; el individuo i desea consumir c(s) =
(2; 5; 1); y la probabilidad de cada estado es la misma ¼1 = ¼2 = ¼3 :
² Títulos de Arrow
La matriz de pagos de una cartera
2
1
R=4 0
0
con títulos de Arrow es,
3
0 0
1 0 5
0 1 S£K
para alcanza este nivel de consumo en individuo debe tener la siguiente
cartera:
0 1
0 1
0 1 0 1
1
0
0
2
z1 ¢ @ 0 A + z2 ¢ @ 1 A + z3 ¢ @ 0 A = @ 5 A
0
0
1
1
104
CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE
esto implica que z1 = 2; z2 = 5; y z3 = 1: Es decir debemos comprar tantos
títulos de Arrow de cada tipo como consumo deseemos en cada estado de
la naturaleza.
² Activos sin riesgo
Supongamos que combinamos distintos tipos de activos, entre ellos un
activo sin riesgo. Si la matriz de rendimientos es:
2
3
1 0 0
R=4 1 1 0 5
1 1 1 S£K
esta matriz tiene determinante positivo, por lo tanto los mercados son
completos. La cartera que permite alcanzar este nivel de consumo es:
0 1
0 1
0 1 0 1
1
0
0
2
z1 ¢ @ 1 A + z2 ¢ @ 1 A + z3 ¢ @ 0 A = @ 5 A
1
1
1
1
obtenemos un sistema de ecuaciones,
z1
z1 + z2
z1 + z2 + z3
= 2
= 5
= 1
esto implica que z1 = 2; z2 = 3 y que z3 = ¡4: Es decir el individuo i;
compra del activo 1 y 2, mientras que vende 4 unidades del activo 3.
² Activo redundante
Supongamos que existe un activo redundante, de forma que K > S: Si la
matriz de rendimientos es,
2
3
1 0 0 2
R=4 1 1 0 3 5
1 1 1 1
Hay un activo que puede crearse combinando linealmente los otros, por
lo tanto el rendimiento de este activo es una combinación del rendimiento
de otros activos, r4 = 2r1 + r2 ¡ 2r3 : Debido a la ausencia de arbitraje
el precio de este activo también será una combinación lineal del precio de
los otros activos, q4 = 2q1 + q2 ¡ 2q3 :
Con una estructura completa de activos los agentes no tienen restricciones
para transferir riqueza entre los estados de la naturaleza, excepto sus respectivas
restricciones presupuestarias. Por lo tanto las decisiones de cartera permiten
alcanzar en el segundo periodo los consumos de Arrow-Debreu, por lo tanto la
asignación del riesgo es e…ciente.
De…nición (Mercados incompletos): Los mercados son incompletos cuando el número de combinaciones linealmente independientes de activos es inferior
a los estados de la naturaleza, es decir,
rango(R) < S
9.5. MERCADOS DE ACTIVOS
105
Supongamos el siguiente ejemplo donde s = 3; y k = 2: La matriz de rendimientos es,
2
3
1 1
R=4 2 1 5
3 2
Cuando la estructura de mercado no sea completa existen dos formas de
añadir activos adicionales.
1. Crear un activo como combinación lineal de los existentes,
3
2
1 1 1
R = 4 2 1 32 5
3 2 52
la estructura que se genera nunca es completa, rango(R) < S; y el precio
del nuevo activo se obtiene por arbitraje como combinación lineal del de
los otros dos activos, q3 = 12 (q1 + q2 ):
2. La segunda opción es expandir el espacio mediante la utilización de opciones. Éstas completan los mercados y el precio de compra no se determina
por arbitraje, pues el nuevo activo es linealmente independiente de los
otros, si no por el equilibrio en los mercados. Supongamos que creamos
una opción sobre el activo 1; con un coste c = 1; entonces el rendimiento
de la opción es r(1) = (0; 1; 2): La nueva matriz de rendimientos expandida
es,
2
3
1 1 0
e=4 2 1 1 5
R
3 2 2
e es ¡1; así que el rango de R
e es 3:
el determinante de R
El principal problema de la incompletitud de mercados es que limita la capacidad de los individuos a transferir riqueza entre los distintos estados de la
naturaleza. Veámoslo utilizando el ejemplo anterior. Supongamos que deseamos consumir c(s) = (2; 5; 1); y que la matriz de rendimientos de los dos activos
existentes es,
2
3
1 1
R=4 2 1 5
3 1
veamos que con sólo dos activos no podemos alcanzar este nivel de consumo:
0 1
0 1 0 1
1
1
2
z1 ¢ @ 2 A + z2 ¢ @ 1 A = @ 5 A
3
1
1
obtenemos un sistema de ecuaciones,
z1 + z2
2z1 + z2
3z1 + z2
= 2
= 5
= 1
106
CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE
el sistema está indeterminado, falta un activo para completar el sistema de
ecuaciones y permitir alcanzar esta combinación de consumo. En cambio esta
estructura de activos si que permite alcanzar la siguiente cantidad de consumo,
c(s) = (2; 3; 4); el sistema de ecuaciones asociado sería,
z1 + z2
2z1 + z2
3z1 + z2
= 2
= 3
= 4
La solución es z1 = z2 = 1; comprando un activo de cada es posible alcanzar este
nivel de consumo pero no el anterior. Ello muestra que las incompletitudes de
mercado imponen restricciones en la capacidad de los individuos para transferir
riqueza en los distintos estados de la naturaleza.
Al igual que en la sección anterior vamos a analizar un sencillo ejemplo obviando el consumo en el periodo inicial. Suponemos que sólo exiten dos estados
de la naturaleza y que el número de activos …nancieros que se intercambian en
la economía son 2: El problema de selección de cartera del consumidor i esta
dado por:
max ¼ ln ci (s) + (1 ¡ ¼) ln ci (s)
q1 bi1 + q2 bi2 = 0
s:a:
ci (s) = !i (s) + bi1 r1 (s) + bi2 r2 (s);
ci0 ; ci (s)
8s
¸0
donde bij denota la cantidad de activos del tipo j que posee el individuo i;
rj (s) denota el rendimiento del activo …nanciero de tipo 1 en el estado s: Las
condiciones de primer orden del problema del consumidor implican:
[ci (1)]
[ci (2)]
[bi1 ]
[bi2 ]
¼=ci (1) ¡ ¸(1) = 0
(1 ¡ ¼)=ci (2) ¡ ¸(2) = 0
¡q1 ¹ + ¸(1)r1 (1) + ¸(2)r1 (2) = 0
¡q2 ¹ + ¸(1)r2 (1) + ¸(2)r2 (2) = 0
Combinando ambas expresiones obtenemos:
¸(1)r1 (1) + ¸(2)r1 (2)
q1
=
q2
¸(1)r2 (1) + ¸(2)r2 (2)
Sustituyendo los respectivos multiplicadores de Lagrange obtenemos:
q1
=
q2
¼
ci (1) r1 (1) +
¼
r (1) +
ci (1) 2
1¡¼
ci (2) r1 (2)
1¡¼
r (2)
ci (2) 2
Arreglando términos obtenemos:
h
i
r1 (2) ¡ qq21 r2 (2)
¼ci (2)
i
=h
q1 2
(1 ¡ ¼)ci (1)
1
q2 r (2) ¡ r (1)
8i
Esta condición se cumple para todos los individuos, por lo tanto:
9.5. MERCADOS DE ACTIVOS
107
ci (2)
cj (2)
= j
i
c (1)
c (1)
Sustituyendo la restricción de factibilidad obtenemos:
!1
ci (1)
=
i
c (2)
!2
Calculemos la demanda de bonos contingentes para cada estado de la naturaleza:
bi (1) = ¡
q(2) i
b (2)
q(1)
Si no existe incertidumbre agregada:
ci (1) = ci (2)
8i
Esta no implica que todos los individuos consuman la misma cantidad de recursos en cada estado de la naturaleza. Si los mercados son completos las relaciones
marginales de sustitución se igualan entre indidivuos, obteniendose una diversi…cación perfecta del riesgo. Sabiendo que el consumo es contante entre estados
de la naturaleza podemos determinar el ratio de precios relativos:
q1
¼r1 (1) + (1 ¡ ¼)r1 (2)
=
q2
¼r2 (1) + (1 ¡ ¼)r2 (2)
Podemos calcular la demanda de activos combinando las condiciones de primer orden del problema del consumidor y la restricciones presupuestarias:
i
h
q1 2
1
i
i
i
r
(2)
r
(2)
¡
! (2) + b1 r1 (2) + b2 r2 (2)
1¡¼
q2
h
i
=
q1 2
! i (1) + bi1 r1 (1) + bi2 r2 (1)
¼
r (2) ¡ r1 (1)
q2
sustituyendo bi2 = ¡ qq12 bi1 en la anterior ecuación obtenemos:
h
i
h
i
q1 2
1
!i (2) + r1 (2) ¡ qq12 r2 (2) bi1
1 ¡ ¼ r (2) ¡ q2 r (2)
i =
i
h
h
q1 2
¼
1
!i (1) + r1 (1) ¡ qq21 r2 (1) bi1
q2 r (2) ¡ r (1)
Para simpli…car podemos rede…nir las siguientes variables:
h
i
q1 2
1
r
(2)
¡
r
(2)
q2
1¡¼
h
i
A =
q1 2
¼
1 (1)
r
(2)
¡
r
q2
¸
q1
B =
r1 (2) ¡ r2 (2)
q2
¸
q1
C =
r1 (1) ¡ r2 (1)
q2
Por lo tanto la demanda de activos de tipo 1 es igual a:
bi1 =
!i (2) ¡ A!i (1)
C ¡B
108
CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE
El equilibrio en el mercado de activos de tipo 1 implica:
b11 + b21 = 0
Sustituyendo las funciones de demanda para cada individuo obtenemos:
!1 (2) ¡ A!1 (1) ! 2 (2) ¡ A!2 (1)
+
=0
C¡B
C ¡B
Dado que C ¡ B 6= 0; entonces debe cumplirse:
!1 (2) ¡ A!1 (1) + ! 2 (2) ¡ A! 2 (1) = 0
Agrupando términos obtenemos:
h
i
q1 2
1
!2
1 ¡ ¼ r (2) ¡ q2 r (2)
h
i= 1
A=
q1 2
¼
!
1
q2 r (2) ¡ r (1)
Despejando los precios relativos obtenemos:
q1
¼r1 (1) + (1 ¡ ¼)r1 (2)
=
q2
¼r2 (1) + (1 ¡ ¼)r2 (2)
Por lo tanto los precios de equilibrio se forman como una media del rendimiento
de cada activo en cada estado ponderada por la probabilidades. Si la estructura
de activos tan sólo incluye títulos de Arrow, entonces los precios de equilibrio
coinciden con los obtenidos en la seccióna anterior. Sustituyendo las demandas
de activos en las restricción presupuestaria se obtiene la demanda de consumo
para cada estado de la naturaleza.