7. Poliedros - Mauricio Contreras
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7. Poliedros Ámbito científico 1. Poliedros regulares 2. Fórmula de Euler 3. Poliedros semiregulares 4. Poliedros de Catalán 5. Prismas y antiprismas 6. Dualidad de poliedros 7. Dipirámides y deltaedros 8. Fórmula de Euler II 9. Calidoscopio octaédrico 10. Otros poliedros 140 Poliedros POLIEDROS REGULARES En las siguientes figuras tienes las plantillas con las que se pueden obtener los cinco poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Recorta las plantillas y construye los cinco poliedros. TETRAEDRO 141 Ámbito científico CUBO 142 Poliedros OCTAEDRO 143 Ámbito científico DODECAEDRO 144 Poliedros ICOSAEDRO 145 Ámbito científico FÓRMULA DE EULER En cada un de los cinco poliedros regulares (cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro, dodecaedro) cuenta el número de caras, vértices y aristas. Como lo haces?. Completa la siguiente tabla: POLIEDRO C=núm. de caras V=núm. de vértices A=núm. de aristas CUBO TETRAEDRO OCTAEDRO ICOSAEDRO DODECÀEDRO Observa la mesa y búsCa una relación entre los tres números C, V y A. La relación que has encontrado se llama FÓRMULA DE EULER. ¿Será cierta la fórmula de Euler para otros poliedros no regulares?. Mira a ver si se cumple en el deltaedro deltaedros de 8, 10, 12, 14, 16 y 20 caras. Prueba también con algunos poliedros cóncavos. Por ejemplo, averigua si el siguiente poliedro “marco de ventana” cumple o no la fórmula de Euler: 146 Poliedros POLIEDROS SEMIREGULARES En las siguientes páginas tienes las plantillas que permiten construir algunos de los poliedros semiregulares. Recórtalas y construye dichos poliedros. Compáralos con los poliedros regulares y escribe las diferencias que observes. TETRAEDRO TRUNCADO 147 Ámbito científico CUBO-OCTAEDRO 148 Poliedros SÓLIDO DE KELVIN 149 Ámbito científico ROMBODODECAEDRO 150 Poliedros POLIEDROS DE CATALAN Otro tipo de poliedros son los llamados poliedros de Catalán. En las siguientes figuras tienes el desarrollo plano de dos de ellos, el tetraedro triakis y el cubo hexakis. Todas las caras de estos poliedros son triángulos isósceles. Añade las pestañas necesarias, recorta las plantillas y construye los dos poliedros. Estudia sus propiedades y compáralas con las de los poliedros estudiados anteriormente. TETRAEDRO TRIAKIS 151 Ámbito científico CUBO HEXAKIS 152 Poliedros PRISMAS Y ANTIPRISMAS Los prismas son poliedros formados por dos caras poligonales iguales (llamadas bases), paralelas y dispuestas en la misma orientación (lados homólogos paralelos), de forma que al unir los vértices homólogos de ambas caras resultan rectángulos o paralelogramos. En este estudio nada más consideraremos las que forman caras laterales cuadradas y bases polígonos regulares. Los antiprismas son poliedros formados por dos caras poligonales iguales y dispuestas ligeramente giradas una respeto del otra (lados homólogos no paralelos), uniendo cada vértice con el otro no homólogo más próximo se obtienen caras laterales triangulares iguales alternadas en orientaciones. En este estudio nada más consideraremos las caras laterales formadas por triángulos equiláteros y bases polígonos regulares. En las siguientes figuras tienes los desarrollos planos de algunos prismas y antiprismas. Añade las pestañas necesarias, recórtalos y construye dichos poliedros. Describe los sólidos obtenidos. PRISMA PENTAGONAL 153 Ámbito científico PRISMA HEXAGONAL 154 Poliedros ANTIPRISMA PENTAGONAL 155 Ámbito científico ANTIPRISMA HEXAGONAL 156 Poliedros DUALIDAD DE POLÍEDROS Si en un poliedro unimos entre sí los centros de las caras, obtenemos otro poliedro el número de caras del cual coincide con el número de vértices del primero y viceversa. A estos poliedros se les llama duales. Por ejemplo, el cubo y el octaedro son poliedros duales, tal como puedes ver en la siguiente figura: DIPIRÁMIDES Y DELTAEDROS Las dipirámides son los poliedros duales de los prismas. Los deltaedros son los poliedros duales de los antiprismas. En las siguientes figuras tienes los desarrollos planos de algunas dipirámides y deltaedros. Añade las pestañas necesarias, recórtalos y construye dichos poliedros. DIPIRÁMIDE TRIANGULAR 157 Ámbito científico DIPIRÁMIDE PENTAGONAL 158 Poliedros DELTAEDRO CUADRANGULAR 159 Ámbito científico FÓRMULA DE EULER II En cada uno de los cinco poliedros que has construido cuenta el número de caras, vértices i arestas. ¿Como lo haces?. Completa la tabla siguiente: POLIEDRO C=núm. de caras V=núm. de vértices A=núm. de aristas TETRAEDRO TRUNCADO OCTAEDRO TRUNCADO CUBO OCTAEDRO TETRAEDRO TRIAKIS ROMBIDODECAEDRO PRISMA PENTAGONAL PRISMA HEXAGONAL ANTIPRISMA PENTAGONAL ANTIPRISMA HEXAGONAL Observa la tabla y averigua si estos poliedros cumplen o no la fórmula de Euler C+V=A+2. CALIDOSCOPIO OCTAÉDRICO El calidoscopio octaédrico o triedro de espejos está formado por tres espejos con forma de triángulos rectángulos, unidos por las aristas, de manera que los tres espejos son perpendiculares entre si dos a dos. Colocando en el calidoscopio diversos módulos, se generen con las imágenes diferentes sólidos. Recorta los siguientes desarrollos planos, pégalos y colócalos en el triedro de espejos. Describe en cada caso los sólidos obtenidos en el calidoscopio. ¿De qué poliedros se trata?. 160 Poliedros 161 Ámbito científico 162 Poliedros OTROS POLIEDROS Hay otros poliedros más complejos como el de la siguiente figura (es un poliedro semiregular que se obtiene a partir de un sólido conocido). Se trata de que añadas las pestañas necesarias, recortes la plantilla y construyas el poliedro. 163 Ámbito científico 164
