Equivalencia de capitales en el descuento simple

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Equivalencias en el descuento comercial simple.
En punto vamos a dedicar al estudio de operaciones financieras que se
realizan con la ley del descuento comercial en el que se emplean los
cálculos abreviados: el divisor y el multiplicador fijo. Primero vamos a
plantear la situación:
Sea un conjunto de k capitales C1, C2, …, Ck, con vencimientos
en n1, n2, … nk.
 Sea otro capital C con vencimiento en el momento n.
 Sea 0 el momento de valoración de los capitales y, por tanto, se
trata de actualizar a ese conjunto. Ladillo 15
Las dos operaciones se pueden representar gráficamente como sigue:

Para trasladar esos capitales al momento 0, fijado una tasa de descuento
anual d (año civil o comercial), el valor de ambas es:
d
d
d






C 0 '  C1  1 
 n1   C 2   1 
 n 2   ...  Ck   1 
 nk 
360

100
360

100
360

100






Ambas operaciones son equivalentes si y solo si C’ es igual a C: C0 = C’0.
Recordando que el divisor fijo (Df) es igual a 360·100/d, ha de cumplirse
que:
n 
n1 
n2 
nk 




C 0  C  1 
  C 1   1  Df   C 2   1  Df   ...  Ck   1  Df   C 0 ' (1)
D
f








Esta fórmula es el punto de partida para sustituir varios capitales, con
distintos vencimientos, por un capital único, sabido el vencimiento, o
para el cálculo del vencimiento del capital, sabida su cuantía.
1. Sustitución de varios capitales por un capital.
Partiendo de la fórmula anterior (1), si queremos calcular el importe del
capital C y conocemos su vencimiento en n, además de C1, C2,…, Ck, con
vencimientos respectivos en n1, n2, … nk, para el cálculo de su cuantía
podemos desarrollar la fórmula (1) anterior y emplear los cálculos las
formas abreviadas para su cálculo:
d


C 0  C  1 
 n
 360  100 
Divisor fijo
360  100
, entonces
d
1
d

Df 360  100
Si el Df 
2
1. Desarrollamos los miembros de la igualdad y agrupamos los sumandos
1
1
1
 Df  1 n 
 Df  n 
C 

 C 
 C 1  C 2  ...  Ck  C 1 
 n1  C 2 
 n 2  ...  Ck 
 nk


Df 
Df
Df
Df
 Df
 Df 
2. En el segundo miembro de la igualdad, aplicamos sumatorios y
sacamos factor común al -1 partido entre el divisor fijo:
k
1 k
 Df  n 
C 

C
j

  C j  nj
 
Df j 1
 Df  j 1
3. Si multiplicamos a los dos miembros de la igualdad por
 Df 
 Df  n  , se nos queda:


k
  Df 
1 k
 Df  n   Df   k
C 

   Cj 
  C j  nj   



Df j 1
 Df   Df  n   j 1
  Df  n 
Df k
  C j  nj
Df j 1
Df  n
Df   Cj 
j 1
En definitiva
k
C
k
Df   Cj   Cj  nj
j 1
j 1
( 2)
Df  n
2. Cálculo del vencimiento del capital.
Divisor fijo
Si multiplicamos por -1 los dos
miembros de una igualdad, la
igualdad se sigue manteniendo,
aunque es el mismo número cambidado de signo porque todos los
componentes de la igualdad cambian de signo. Por ejemplo: 186=21-7=12. Si multiplicamos ambos miembros por (– 1), tenemos
que + (– 1)·(18)+(– 1)·(-6) =+ (–
1)·(21) +(– 1)·(-7)= 6 – 18= 7 – 21
= -12
Si queremos calcular el vencimiento n y conocemos su importe del capital C, además de C1, C2, …, Ck, con vencimientos en n1, n2, … nk, para
determinar su valor podemos desarrollar la fórmula (2) anterior y emplear los cálculos las formas abreviadas para su cálculo:
1. Si multiplicamos a los dos miembros de la igualdad por (Df – n) y
operamos en las dos miembros de la igualdad, se nos queda:
C   Df  n  
k
k
k
k

Df  n 
  Df   Cj   Cj  nj   C  Df  C  n  Df   Cj   Cj  nj
Df  n 
j 1
j 1
j 1
j 1

2. Si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por -1, obtenemos:

k
k

k
k

j 1
j 1

j 1
j 1
 1  C  Df  C  n    1   Df   Cj   Cj  nj   C  n  C  Df   Cj  nj  Df   Cj
3
3. Si sumamos C  Df a ambos miembros de la igualdad y ordenamos lo obtenido, tenemos que:
k
k
k

 k
C  n C  Df  C  Df  C  Df  Df   Cj   Cj  nj  C  n  Df   C   Cj    Cj  nj
j 1
j 1
j 1

 j 1
4. Por último, si dividimos ambos miembros de la igualdad entre C,
tenemos
k

 k
Df   C   Cj    Cj  nj
j 1

 j 1
n
C
( 3)
3. Cálculo del vencimiento medio.
Se trata de un caso particular del anterior en el que el capital a sustituir
suma lo mismo que los nominales sustituidos y no sabemos el vencimiento de ese capital.
k
Por tanto si se cumple que C   Cj y lo introducimos en la fórmula
j 1
(3), se nos queda:
k
k
 k
 k
Df    Cj   Cj    Cj  nj Df  0   Cj  nj
j 1
j 1
 j 1
 j 1
n


C
C
k
C  n
j
j
j 1
C
k
C  n
j
n
j
j 1
( 4)
C
Si operamos con la fórmula 4, tenemos que
k
C  n
j
n
j 1
C
j
k
  nj 
j 1
Cj
C
Y vemos que el vencimiento n es la media aritmética de los vencimientos
ponderados por el importe del capital entre el importe total. De ahí el
nombre de vencimiento medio.