Anexo B Propiedades Básicas de los Números Complejos Los números complejos se pueden expresar de varias formas. La primera es la forma √ binomial: z = a + bi, siendo a y b números reales e i = −1, la unidad imaginaria. Se dice entonces que a es la parte real de z y b su parte imaginaria y se escribe a = Re z y b = Im z. Los números reales son un subconjunto de los números complejos:aquellos cuya parte imaginaria es 0. Si z = a + bi entonces z = a − bi es otro número complejo llamado conjugado de z. Se tiene entonces que 1. zz = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 . El número real positivo nombre de módulo de z y se representa por |z|. 2. De lo anterior deducimos que zz = |z|2 y, para z 6= 0, z = siempre que z 6= 0. 215 √ zz = √ a2 + b2 recibe el |z|2 1 z . Por lo tanto, = 2 z z |z| 216 Propiedades Básicas de los Números Complejos Im z |z| b θ a Re Podemos identificar cada número complejo z = a + bi con el par de números reales (a, b) y representarlo como un vector en el plano con origen en el punto (0, 0) y final en el punto √ (a, b). De esta forma el módulo de z, |z| = a2 + b2 , es el módulo del vector. Al ángulo, θ, que forma con la dirección positiva del eje de abscisas se le llama argumento principal de z. Tenemos entonces que a = |z| cos θ y b = |z| sen θ y otra forma de escribir el número complejo z = a + bi es z = |z|(cos θ + i sen θ). Y, con esta notación, su conjugado serı́a z = |z|(cos θ − i sen θ) La fórmula de Euler establece que cos θ + i sen θ = eiθ . Utilizando esta fórmula podemos escribir z de una nueva forma: z = |z|eiθ y su conjugado z = |z|e−iθ . Como el módulo de z, |z|, es un número real positivo, siempre existe un número real r tal que er = |z| (en otras palabras, r = ln |z|). Entonces podemos escribir z = er eiθ = er+iθ = er (cos θ + i sen θ). En realidad, los números complejos surgen para cubrir una “deficiencia” de los números reales: hay polinomios cuyos coeficientes son números reales pero que no tienen raı́ces reales. De hecho todos los polinomios reales se pueden poner como productos de polinomios de grados 1 ó 2, pero hay polinomios reales de grado 2 que no tienen raı́ces reales. Por ejemplo, λ2 + 1 o λ2 + λ + 1. Sin embargo, todos los polinomios cuyos coeficientes son números reales o complejos tienen sus raı́ces reales o complejas. Este es un resultado muy importante de álgebra que no es fácil de demostrar. Fijemos nuestra atención en los polinomios reales de grado 2: aλ2 + bλ + c con a, b y c números reales. Para calcular sus raı́ces planteamos la ecuación aλ2 + bλ + c = 0 y hallamos la solución: √ √ −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac λ1 = , λ2 = 2a 2a Estas son las raı́ces del polinomio. Si el discriminante d = b2 − 4ac es positivo ambas son reales y distintas, si d = 0 entonces ambas raı́ces son reales e iguales (o es una raı́z real doble) y si d es negativo las raı́ces son números complejos conjugados: √ √ −b − −d i −b + −d i λ2 = λ1 = 2a 2a 2 En conclusión: Las raı́ces del polinomio aλ + bλ + c con a, b y c números reales, o bien son dos números reales (iguales o distintos) o son dos números complejos: cada uno el conjugado del otro.