proyecto de matemticas

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL
UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA
ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y ACOMPAÑAMINMETO A DOCENTES DE
CUNDINAMARCA Y DUITAMA PARA EL DESARROLLO DELOS NIVELES DE
COMPETENCIA DE MATEMÁTICAS Y DISEÑO DE SECUENCIAS DIDÁCTICAS A
PARTIR DE LAS EXPERIENCIAS SIGNIFICATIVAS DE LOS MAESTROS
PROPORCIONALIDAD CON BASE EN LA MEDICIÓN Y
CONVERSIÓN DE UNIDADES COTIDIANAS
JANETH ESPERANZA GUEVARA CHIRIVI, LEONILDE VERDUGO,
MARGARITA PINZÓN CARDOZO
Asesor: Edgar Alberto Guacaneme S.
Centros de Telesecundaria
San Luis, Higueras y San Antonio Norte - Duitama
En este documento presentamos un breve estudio
realizado en torno al diseño e implementación de
unas situaciones de aprendizaje relacionadas con la
identificación de relaciones entre medidas de
capacidad y el reconocimiento de regularidades
numéricas que caracterizan las relaciones de
correlación y proporcionalidad directa. El estudio
constituyó, para nosotras las autoras, una manera
alterna de aprendizaje profesional.
INTRODUCCIÓN
La proporcionalidad, tema matemático propuesto para ser
estudiado en la escuela, es uno de los temas sobre los
que generalmente los profesores hacemos exposiciones y
J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
proponemos tareas a los estudiantes para procurar que
aprendan algo relacionado con la definición de razón y
proporción, la proporcionalidad directa, la regla de tres y
la solución de problemas para encontrar la cuarta
proporcional. Sin embargo, las tareas que proponemos
son casi siempre rutinarias o algorítmicas y no siempre
tienen un referente concreto a partir del cual construir
significado y casi nunca les permitimos una exploración
sobre algunas regularidades que permiten caracterizar las
relaciones de proporcionalidad.
Atendiendo a lo anterior, diseñamos una secuencia
didáctica elaborada para generar reflexión y aprendizaje,
propiciando un contexto experimental para la conversión
de medidas de capacidad (cm³, onza, botella y litro), y
proponiendo actividades a través de las cuales se procura
establecer
diferencias
entre
los
procesos
de
reconocimiento y uso de la proporcionalidad, algunas
diferencias y semejanzas entre las condiciones que debe
tener una relación o función para ser considerada una
correlación directa o una proporcionalidad directa.
Así, a continuación presentamos algunos elementos
descriptivos sobre el diseño de la secuencia didáctica, la
implementación de ésta y una discusión de los resultados.
Finalmente a modo de balance, planteamos algunas
consideraciones generadas por la experiencia vivida, que
pueden servir como referencia para posteriores
experiencias de diseño curricular sobre la misma
temática.
2
Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
PROPÓSITO DEL ESTUDIO
Nos interesó que la secuencia de actividades diseñada
nos permitiera, de manera general, desarrollar
competencias relacionadas con el pensamiento numérico
y métrico, para un manejo eficiente y significativo de la
proporcionalidad y procesos de medición en estudiantes
de séptimo en contextos cotidianos.
Con este propósito en mente, nos propusimos como
tarea:
•
•
•
•
•
•
Realizar un taller práctico de medidas de capacidad,
donde se propicie un contexto experimental para la
conversión de medidas.
Identificar las estrategias empleadas por estudiantes
de grado séptimo para resolver tareas de
proporcionalidad y correlación directa.
Establecer diferencias entre los procesos de
reconocimiento y uso de la proporcionalidad.
Establecer algunas diferencias y semejanzas entre las
condiciones que debe tener una relación o función
para ser considerada una correlación directa o una
proporcionalidad directa.
Analizar la naturaleza de los cambios realizados en las
estrategias empleadas.
Promover el interés del estudiante por el conocimiento
matemático.
ALGUNAS
CONSIDERACIONES QUE ORIENTAN LA
SECUENCIA
DIDÁCTICA
Cuando iniciamos a pensar acerca de la conversión de
medidas como un contexto que expresa relaciones de
3
J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
proporcionalidad directa logramos advertir que casi
siempre proponemos problemas de cuarta proporcional
donde se conoce la relación que existe entre una unidad
de medida y u número determinado de unidades de
medida del otro sistema de medidas y que es poco usual
proponer encontrar tal relación. Así, decidimos que una de
las actividades debería procurar que, de manera
experimental, los estudiantes identificaran una relación tal
para dos sistemas de medidas de la magnitud capacidad.
Seleccionamos esta magnitud, pues nos brindaba la
posibilidad de contar con unidades en sistemas de
medidas no claramente definidos para los estudiantes,
pues seguramente no conocían la equivalencia entre cm³,
onza, botella y litro.
En estas reflexiones iniciales también se hizo presente el
cuestionamiento acerca de si es lo mismo usar el hecho
de que exista una relación de proporcionalidad entre unos
datos, que reconocer si tales datos satisfacen las
condiciones que definen la proporcionalidad directa.
Rápidamente advertimos que existe una diferencia
fundamental y que en la escuela poco o casi nada
hacemos en el trabajo de identificación de tales
condiciones. De esta manera, tomamos la decisión de
proponer a los estudiantes actividades en donde
trabajando casi siempre con datos numéricos, pudieran
reconocer algunas regularidades, y de éstas identificaran
las que caracterizan a la correlación y a la
proporcionalidad directa.
Con estos asuntos en mente diseñamos y propusimos a
los estudiantes la siguiente secuencia didáctica.
4
Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
LA SECUENCIA DIDÁCTICA
Situación 1
Propósito: Identificar diferentes medidas de capacidad y
su equivalencia por medio de la medición y comparación.
(cm³ , onza y botella)
Tarea 1-1
1. Se desea medir la capacidad de una copa de 1 onza en
centímetros cúbicos (cm³) utilizando un instrumento
graduado (jeringa).
a. ¿Cuál es la capacidad de la copa en centímetros
cúbicos?
2. Se desea medir la capacidad de un recipiente de 1
botella en onzas utilizando la copa de 1 onza.
b. ¿Cuántas onzas tiene una botella?
c. ¿Cuántos centímetros cúbicos tiene una botella?
Tarea 1-2
De acuerdo con la experiencia anterior, completa la
siguiente tabla y explica cómo lo hiciste.
Onzas
1
2
cm³
30
90
120
5
6
7
5
J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
a.
b.
c.
d.
e.
¿Cómo hallaste el número de onzas para 120 cm³?
¿Cómo hallaste el número de cm³ para 7 onzas?
¿Cuántos cm³ hay en 15 onzas?
¿Cuántas onzas hay en 750 cm³ ?
Busca una operación que permita obtener los
centímetros cúbicos conociendo el número de
onzas?
f. Busca una operación que permita obtener el
número de onzas conociendo los centímetros
cúbicos?
g. ¿Qué sucede si el número de onzas aumenta?
h. Si el número de centímetros cúbicos disminuye,
¿qué sucede con las onzas?
Situación 2
Tarea 2-1
Propósito: Analizar las características de las secuencias
numéricas para obtener otros datos y detectar errores.
La siguiente tabla muestra los datos tomados en un
experimento, en el cuál se alteró un dato.
Litros (1000cm³)
3
6
9
12
15
18
Botella (750cm³)
4
8
12
15
20
24
a. ¿Cuál es el dato que se alteró?
b. ¿Cómo detectaste el error?
c. ¿Qué proceso utilizaste para corregir el error?
6
Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
d. Busca una operación aritmética que relacione las
botellas a partir de los litros.
e. Si hay 27 litros, ¿cómo determinarías el número de
botellas?
Tarea 2-2
Propósito: Identificar las características de la secuencia
numérica que se obtiene al sumar los valores de las dos
medidas cuya relación es de proporcionalidad directa.
En la siguiente tabla se indica una operación, realízala
Litros
(1000cm³)
3
6
9
12
15
18
Botella
(750cm³)
4
8
12
16
20
24
No. Litros + No.
botellas
3+4=7
a. ¿Qué característica observan al sumar los litros y
botellas en cada fila?
Tarea 2-3
Propósito: Identificar las características de la secuencia
que se obtiene al realizar diferentes operaciones y
comparaciones de las dos medidas cuya relación es de
proporcionalidad directa.
En la siguiente tabla se indica una operación, realízala
Litros(1000cm³)
Botella
(750cm³)
7
J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
3+6=9
3+9=12
3
6
9
12
15
18
21
24
4
8
12
16
20
24
28
32
4+8=12
4+12=16
a. ¿Qué característica observas en las respuestas?
b. Amplía la tabla efectuando otras sumas similares a
la planteada y analiza qué sucede con los
resultados.
Tarea 2-4
Propósito: Identificar las características de la secuencia
que se obtiene al dividir los valores de las dos medidas
cuya relación es de proporcionalidad directa.
En la siguiente tabla se indica una operación, realízala.
No
litros÷3
3÷3=
6÷3=
Litros(1000cm³)
3
6
9
12
15
18
Botella
(750cm³)
4
8
12
15
20
24
No.
Botellas÷4
4÷4=
12÷4=
a. ¿Qué características observas en las respuestas?
b. Compara los resultados obtenidos en la primera
columna con la última y describe lo que sucede?
8
Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
Tarea 2-5
Propósito: Identificar las características de la secuencia
que se obtiene al dividir los valores de las dos medidas y
graficar cuya relación es de proporcionalidad directa.
En la siguiente tabla se indica una operación, realízala.
Litros(1000cm³)
3
6
9
12
15
18
Botella
(750cm³)
4
8
12
15
20
24
No. Litros ÷ No.
Botellas
¾
a. Grafica las fracciones de la tercera columna en las
siguientes figuras.
b. Compara las gráficas y describe lo que sucede.
9
J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
Tarea 2-6
Propósito: Identificar las características al graficar dos
medidas cuya relación es de proporcionalidad directa.
En el siguiente plano cartesiano ubica los datos de la
tabla y une los puntos.
Botella (750cm³)
4
8
12
16
20
24
No. de Botellas
Litros(1000cm³)
3
6
9
12
15
18
No. de Litros
a. Al unir los puntos, ¿cómo es la gráfica?
b. Prolonga la línea en los dos extremos, ¿la línea
pasa por el origen del plano? ¿Cómo se interpreta
este punto?
c. Conociendo la cantidad de litros, ¿podrías hallar
las botellas a partir de la gráfica?
10
Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
Situación 3
Propósito: Identificar las características al realizar
diversas operaciones y comparaciones entre dos
magnitudes donde se presenta una relación directa no
proporcional.
Tarea 3-1
En la siguiente tabla se muestra la relación del costo del
agua en metros cúbicos
Cargo
básico
Consumo
en m³
2000
2000
1
2
3
Costo por
los m³
consumidos
500
1000
Valor total de
la factura
2500
3000
2000
6
5000
a. Completa los datos que faltan en la tabla
b. Explica el procedimiento que debes seguir para
calcular el valor total de la factura.
11
J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
Tarea 3-2
En la siguiente tabla se indica una operación, realízala
Consumo en m³
Valor total de la
factura
1
2
3
4
5
6
2500
3000
3500
4000
4500
5000
Consumo +
valor de la
factura
2501
a. ¿Qué característica observan al sumar el consumo
con el valor de la factura y comparándola con la
tabla de la tarea 2-2?
Tarea 3-3
En la siguiente tabla se indica una operación, realízala
1+2
Consumo en
m³
1
2
3
4
5
6
Valor total de
la factura
2500
2500+3000
3000
3500
4000
4500
5000
a. ¿Qué característica observas en las respuestas
comparándolas con la tabla de tarea 2-3?
12
Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
Tarea 3-4
En la siguiente tabla se indica una operación, realízala.
Consumo/ 1
Consumo
en m³
1÷1=
2÷1=
1
2
3
4
5
6
Valor
Valor
total de la factura÷2500=
factura
2500
3000
3500
3500÷2500=
4000
4500
5000
a. ¿Qué característica observas en las respuestas
comparándolas con la tabla de la tarea 2-4?
Tarea 3-5
En la siguiente tabla se indica una operación, realízala.
Consumo en m³
Valor total de
la factura
1
2
3
4
5
6
2500
3000
3500
4000
4500
5000
Consumo en m³÷
Valor de la
factura
1÷2500=
a. ¿Qué característica observas en las respuestas
comparándolas con la tabla de la tarea 2-5?
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J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
Tarea 3-6
En el siguiente plano cartesiano ubica los datos de la
tabla y une los puntos
Consumo en m³
Valor de la factura
1
2
3
4
5
6
Valor total de la
factura
2500
3000
3500
4000
4500
5000
Consumo en m³
a. Al unir los puntos, ¿cómo es la gráfica?
b. Prolonga la línea en los dos extremos, ¿la línea
pasa por el origen del plano? ¿Cómo se interpreta
este punto?
c. Conociendo la cantidad de litros, ¿podrías hallar
las botellas a partir de la gráfica?
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Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
d. ¿Qué característica observas en la gráfica
comparándola con la gráfica de la tarea 2-6?
LOS ESTUDIANTES IMPLICADOS
La secuencia didáctica se llevó a cabo en los tres Centros
de Educación Rural de Telesecundaria en el grado
séptimo con un promedio de 24 estudiantes por
institución. El rango de sus edades está entre 12 y 15
años, y este año escolar no habían recibido previamente a
la experiencia, ningún tipo de información relacionada
sobre proporcionalidad.
La secuencia se realizó en grupos de 4 estudiantes en un
tiempo de 10 horas de clase, durante las cuales los
grupos estuvieron acompañados y asesorados por los
docentes de matemáticas diseñadores de la secuencia.
Para la toma de evidencias se integraron las tres
instituciones y se hizo un registro en video.
ALGUNOS RESULTADOS
Situación 1
Tarea 1-1
En la primera tarea detectamos que para encontrar en
número de centímetros cúbicos que tiene una copa de
una onza los 9 grupos utilizaron dos métodos que fueron:
con la jeringa llenaron la copa para obtener su capacidad,
otros llenaron la copa y empezaron a medir su capacidad
sacando el agua de la copa con la jeringa.
15
J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
Para determinar el número de onzas o centímetros
cúbicos que tiene una botella se presentaron las
siguientes situaciones: Inicialmente un grupo empezó a
medir con la jeringa la capacidad de la botella, viendo este
proceso muy lento utilizó la copa de onza; igualmente
otros grupos utilizaron este proceso con un vaso adicional
midiendo con la copa de una onza y luego transvasando a
la botella; un grupo llenó la botella y empezó a transvasar
a la copa de una onza para medir la capacidad de la
botella.
Al responder las preguntas observamos que 8 grupos
obtuvieron los resultados esperados y un grupo no realizó
la medición del agua con la jeringa correctamente.
Tarea 1-2
En esta actividad observamos que los estudiantes
mostraron agilidad para completar la tabla y trabajaron en
equipo. Todos los grupos lo hicieron en forma correcta.
Para determinar el número de onzas para 120 cm³, dos
grupos efectuaron una división (120÷30), los otros grupos
buscaron un número que multiplicado por 30 obtuvieran
120, es decir, (30×4) y otros completaron la secuencia de
los números.
Para hallar el número de cm3 que tiene 7 onzas, 8 grupos
efectuaron una multiplicación (7×30) y un grupo sumando
7 veces 30.
Respecto de la operación que permite obtener los cm³
conociendo el número de onzas, todos los grupos
coincidieron que la operación es una multiplicación (No.
16
Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
de onzas × 30) y para conocer el número de onzas
conociendo el número de cm³ la mayoría de los grupos
identificó que una operación para hallar el número de
onzas era la división. (No. de cm³ ÷ 30); un grupo propuso
la multiplicación buscando el otro factor.
El siguiente cuadro presenta un resumen de algunas
respuesta de esta tarea.
Situación 2
Tarea 2-1
Según el análisis efectuado en los grupos analizamos que
los estudiantes hicieron las siguientes conjeturas:
•
•
•
Analizaron que los litros eran múltiplos de tres y en la
columna de las botellas la mayoría de los números
eran pares y a la vez múltiplos de cuatro excepto una
cantidad (15).
A partir del primer dato de la columna de los litros
crearon un modelo para obtener los siguientes a partir
de la suma de la constante 3 (3+3=6; 6+3=9). Y en la
columna de las botellas crearon un modelo para
obtener los siguientes a partir de la suma de la
constante 4 (4+4=8; 8+4=12). Detectaron que en la fila
de 12 litros no correspondía a 15 botellas sino a 16.
Efectuaron la conversión de los litros y las botellas a
centímetros cúbicos observando que en 12 litros y 15
botellas no era equivalente.
17
J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
Situación 3
Tarea 3-1
Observamos que para completar la tabla los 9 grupos la
realizaron en forma rápida y correcta.
La explicación del proceso para calcular el valor de la
factura en todos los grupos fue: “sumando el cargo básico
más el costo por m³ de consumo”.
Tarea 3-2
Algunas respuesta de los grupos fueron:
•
•
•
•
Comparando con la situación 2, analizamos que entre
más litros más botellas y al sumar litros con botellas el
resultado es un múltiplo de 7. Y en esta situación entre
más consumo más costo de la factura y al sumar los
m³ con el valor de la factura no hay múltiplos.
Que en esta situación al realizar la suma no son
múltiplos de ningún número.
En la situación 2 los litros se suman con las botellas, y
en esta situación sumamos el consumo y el valor de la
factura. En la situación 2 son múltiplos de 7 y en esta
situación no son múltiplos de ningún número.
No son múltiplos de ninguna en cambio en la situación
2 tarea 2 son múltiplos de 7.
ACTIVIDAD PARA CONCLUIR LA SECUENCIA DIDÁCTICA
Para concluir nuestra actividad se realizaron algunas
preguntas en forma oral, que a continuación presentamos
con algunas de las respuestas dadas:
18
Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
1. Cuándo dos magnitudes tienen una relación directa?
•
•
•
Al aumentar una magnitud la otra magnitud
correspondiente también aumenta.
Igualmente si una magnitud disminuye la otra también.
Cuando al compararlas el aumento de una cantidad en
una de las magnitudes se da un aumento en la
cantidad correspondiente de la otra magnitud.
2. ¿Cuándo dos magnitudes son directamente
proporcionales y de un ejemplo según las actividades
resueltas?
3 ¿Cuándo dos magnitudes están directamente
correlacionadas y de un ejemplo según las actividades
resueltas?
DISCUSIÓN
Las estrategias empleadas en la resolución de las tareas
planteadas, unas en el ámbito experimental y otras más
concretas, constituyen evidencia de que las tareas
permitieron comprender y establecer relaciones entre dos
magnitudes directamente proporcionales o directamente
correlacionadas.
El análisis presentado en este trabajo pretende mostrar
los aspectos dinámicos del aprendizaje en donde
resaltamos dos aspectos: en primer lugar las
características del diseño de la secuencia de la
enseñanza, que favorecían que los estudiantes de
enfrentaran a las tareas experimentales e instruccionales
desde sus propios puntos de vista, y el papel
determinante desempeñado por el hecho de tener que
19
J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
verbalizar las estrategias empleadas en su resolución,
permitiendo su reconceptualización; en esta secuencia los
momentos de proporcionar explicaciones o de escuchar al
compañero se constituyen en oportunidades para
aprender. En segundo lugar desde el punto de vista de las
estrategias empleadas por los estudiantes en la
resolución de las tareas se resalta la forma como iban
construyendo las respuestas de acuerdo a las preguntas
planteadas, que nos aproximan a las bases del futuro
algoritmo de la regla de tres; parece operarse un cambio
en los procesos cognitivos de los estudiantes, en el
sentido de ir adaptando las estrategias empleadas en un
primer momento a las características estructurales de las
nuevas situaciones, produciéndose los saltos cualitativos
que caracterizan este aprendizaje.
El problema, desde esta nueva perspectiva de la
vinculación entre la instrucción y el aprendizaje sigue
abierto, necesitándose más estudios que impliquen
diferentes contextos, magnitudes, clases de razones
empleadas, modificación de la presentación de las tareas,
entre otras. Finalmente cabe señalar que este tipo de
estudios pretende aportar información en relación a la
manera de analizar el aprendizaje, desde el punto de vista
dinámico, produciendo como consecuencia de una
instrucción determinada.
RESULTADOS Y CONCLUSIONES
Desde la perspectiva de los estudiantes
•
20
La componente experimental promovió el interés por la
actividad.
Proporcionalidad con base en la medición y conversión de unidades cotidianas
•
•
•
•
La actividad, a través del trabajo en equipos,
promueve la discusión argumentada entre los
estudiantes.
Las actividades promueven la posibilidad de
implementar
estrategias
y
procesos
no
preestablecidos.
Algunas tareas propician la identificación de
características distintivas de la proporcionalidad y
correlación directa.
Se observó dificultad en la redacción de ideas
aparentemente comprendidas y poco uso de lenguaje
matemático
Desde la perspectiva de los docentes
•
•
•
•
Reconocer la posibilidad de aprender de las
respuestas y estrategias (creativas, originales,
insospechadas, sorprendentes) dadas y utilizadas por
los estudiantes.
Advertir que los conceptos de razón y proporción,
establecidos usualmente como prerrequisito para el
estudio de la proporcionalidad directa no son
indispensables para el estudio de ésta desde la
perspectiva implicada en la secuencia didáctica.
Redimensionar la potencialidad y las dificultades del
trabajo en equipo.
Fortalecer la formación profesional.
21
J. E. Guevara, L. Verdugo, M. Pinzón
REFERENCIAS
Fiol, J. y Fortuny, M. (1990). La proporcionalidad directa,
la forma y el número. Editorial Síntesis.
Ministerio de Educación Nacional. (2005). Taller:
Estándares Básicos para Matemáticas. División de
perfeccionamiento y calidad de la Educación.
RECONOCIMIENTOS
Agradecemos el apoyo prestado en las distintas fases de
la realización de esta secuencia didáctica a nuestro
asesor Edgar Guacaneme, Secretaria de Educación,
directores de cada centro educativo: Zenaida Barón,
Jorge Arcenio Vargas y Rocio Camargo y estudiantes
grado séptimo.
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