Información y Azar (Azar y Azar) 1 Martingala con éxito en el conjunto de secuencias con más ceros que unos Escribimos 2∗ y 2ω para denotar los conjuntos de secuencias finitas e infinitas de ceros y unos, respectivamente. Dada una palabra w ∈ 2∗ llamemos ceros(w) = #{i | w[i] = 0, 1 ≤ i ≤ |w|} y unos(w) = |w| − ceros(w) Sea A el conjunto de las secuencias infinitas que contienen, en el lı́mite, más ceros que unos 1 ceros(s[1..n]) ω > A = s ∈ 2 | lı́m n→∞ n 2 P −i Definimos una martingala m : 2∗ → R+ combinación de martingalas m(s) = di . i≥1 2 Definiremos la martingala di para que tenga éxito en el subconjunto de A ceros(s[1..n]) 1 Ai = s ∈ 2ω | ∃n0 ∀n > n0 , − > 2−i n 2 Cada martingala di apuesta una fracción z del capital actual al cero, y una fracción u al uno, con 0 ≤ z ≤ 1 y 0 ≤ u ≤ 1. Asumimos la regla usual del casino que paga por la salida ganadora el doble de lo apostado, y nada por la perdedora. Cada martingala di cumple: di (λ) = 1 di (s0) = di (s) − z di (s) − u di (s) + 2zdi (s) = di (s) (1 + z − u). di (s1) = di (s) − z di (s) − u di (s) + 2udi (s) = di (s) (1 − z + u). Es martinagala porque di (s0) + di (s1) = 2di (s). Mediante una inducción simple obtenemos di (s) = (1 + z − u)ceros(s) (1 − z + u)unos(s) Para cada i determinemos los valores de z y u para que di tenga éxito sobre el conjunto Ai . Llamemos ε = 2−i . Buscamos z y u tales que si ceros(s[1..n]) ≥ n/2 + ε n entonces di (s[1..n]) =(1 + z − u)ceros(s) (1 − z + u)unos(s) ≥ (1 + z − u)n/2+εn (1 − z + u)n/2−εn Es decir, pedimos que para todo m tal que m ≤ n/2 − εn, (1 + z − u)n/2+εn+m (1 − z + u)n/2−εn−m ≥(1 + z − u)n/2+εn (1 − z + u)n/2−εn (1) Además necesitamos que di (s[1..n]) infinitas veces creciente en n. Pidamos que sea creciente siempre, es decir, para todo m ≥ 0 (1 + z − u)(n+m)/2+ε(n+m) (1 − z + u)(n+m)/2−ε(n+m) ≥(1 + z − u)n/2+εn (1 − z + u)n/2−εn (2) La condición (1) es equivalente a pedir z > u. La condición (2) es equivalente a pedir ε n+m ε n 1+z−u 1+z−u ≥ (1 + z − u)1/2 (1 − z + u)1/2 (1 + z − u)1/2 (1 − z + u)1/2 1−z−u 1−z−u ε 1+z−u Para ésto necesitamos z y u tales que (1 + z − u)1/2 (1 − z + u)1/2 >1 1−z−u o equivalentemente, ε ≥ ln((1 + z − u)−1/2 (1 − z + u)−1/2 ) 1+z−u ln 1−z+u (3) 1 Si tomamos z > 1/2 y u < 1/2 obtenemos (1+z−u)(1−z+u) > 1, 1+z−u 1−z+u > 1, y la expresión derecha de (3) está definida, y decrece cuando z decrece. Por lo tanto, definimos cada di de la siguiente manera. Fijamos ε = 2−i , y elegimos (algoritmicamente) algun z tal que Información y Azar (Azar y Azar) 2 z > 1/2, u < 1/2 tal que z + u ≤ 1, y 2−i ≥ ln((1 + z − u)−1/2 (1 − z + u)−1/2 ) . ln 1+z−u 1−z+u Por ejemplo, para ε = 2−3 = 0,125, se puede elegir z = 0,69 y u = 1 − z. ε = 2−6 , se puede elegir z = 0,51 y u = 1 − z. ε = 2−10 , se puede elegir z = 0,5001 y u = 1 − z. ,