Funciones de varias variables TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Matemáticas. Curso 2011/2012 Profesor: José Ángel Cid Graos en ADE e Consultorı́a. Universidade de Vigo. Profesor: José Ángel Cid Funciones de varias variables TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Introducción Gráficas y curvas de nivel En muchos problemas comunes aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F · D (Trabajo realizado por una fuerza) V = πr 2 h (Volumen de un cilindro circular recto) V = xyz (Volumen de un solido rectangular) z = e x + sen(y ) = f (x, y ) w = f (x, y , z) = x 2 + 3yz Profesor: José Ángel Cid TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Funciones de varias variables Introducción Gráficas y curvas de nivel Ejemplo T. W. Schultz calculó que la demanda de azúcar en EE.UU. entre 1929 y 1935 puede describirse aproximadamente por la fórmula f (p, w , t) = 108.83 − 6.0294p + 0.164w − 0.4217t, p = precio del azúcar, w = un ı́ndice de producción, t = año (t = 0 se corresponde con 1929). Ejemplo La función de Cobb-Douglas f (x1 , x2 , . . . , xn ) = A · x1a1 · x2a2 · . . . · xnan , A, a1 , a2 , . . . , an > 0. Profesor: José Ángel Cid Funciones de varias variables TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Introducción Gráficas y curvas de nivel Definición (Función de n variables con valores reales) f : D ⊂ Rn → R (x1 , x2 , . . . , xn ) → f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R D = dominio de f {f (x1 , x2 , . . . , xn ) : (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R} = rango o imagen de f Observación La manera más común de describir una función de varias variables es mediante una ecuación. A menos que se diga lo contrario el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuación esté definida. Profesor: José Ángel Cid TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Funciones de varias variables Introducción Gráficas y curvas de nivel Ejemplo Hallar el dominio de las siguientes funciones: √ √ 1 f (x, y ) = x −1+ y p 2 2 g (x, y ) = √ + 9 − (x 2 + y 2 ) 2 2 x +y −4 Profesor: José Ángel Cid Funciones de varias variables TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Introducción Gráficas y curvas de nivel Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que las funciones de una variable: (f ± g )(x, y ) = f (x, y ) ± g (x, y ) (Suma o diferencia). (f · g )(x, y ) = f (x, y ) · g (x, y ) (Producto). (f /g )(x, y ) = f (x,y ) g (x,y ) si g (x, y ) 6= 0 (Cociente). Si f (x, y ), g (z) y Rango(f ) ⊂ Dom(g ) (g ◦ f )(x, y ) = g (f (x, y )) (Función compuesta). Ejemplo Si f (x, y ) = 3 − x 2 − y 2 y g (z) = compuesta g ◦ f y su dominio. Profesor: José Ángel Cid √ z calcular la función TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Funciones de varias variables Introducción Gráficas y curvas de nivel La gráfica de una función de dos variables f (x, y ) es el conjunto de todos los puntos (x, y , z) tales que z = f (x, y ) para (x, y ) ∈ Dom(f ). La gráfica de f (x, y ) es una superficie en el espacio. Ejemplo p La gráfica de la función f (x, y ) = 3 − x 2 − y 2 es Profesor: José Ángel Cid Funciones de varias variables TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Introducción Gráficas y curvas de nivel Otra forma de obtener información gráfica acerca de una función son las curvas de nivel. Éstas se obtienen intersecando la gráfica de f (x, y ) (cuya ecuación es z = f (x, y )) con planos horizontales (de ecuación z = c para cualquier constante c ∈ R) z = f (x, y ), Gráfica de f , z = c, Plano horizontal de altura c. Por tanto la ecuación implı́cita de cada curva de nivel viene dada por f (x, y ) = c. Variando el valor de c obtenemos las distintas curvas de nivel. Cada curva de nivel une los puntos del plano en los que f toma el mismo valor. Observación Si f (x, y , z) es una función de tres variables entonces la ecuación f (x, y , z) = c determina las superficies de nivel. Profesor: José Ángel Cid TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Funciones de varias variables Introducción Gráficas y curvas de nivel Ejemplo Curvas de nivel famosas: Isobaras: curvas de nivel de la función presión atmosférica Isotermas: curvas de nivel de la función presión temperatura Lı́neas equipotenciales: curvas de nivel de la función potencial eléctrico. Lı́neas topográficas: curvas de nivel de la función altitud con respecto al mar. Profesor: José Ángel Cid Funciones de varias variables TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Introducción Gráficas y curvas de nivel Ejercicio Dibujar las curvas de nivel de la función f (x, y ) = Profesor: José Ángel Cid p 3 − x 2 − y 2. TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Funciones de varias variables Introducción Gráficas y curvas de nivel Ejercicio Dibujar las curvas de nivel de la función f (x, y ) = 3 − x − y . Profesor: José Ángel Cid Funciones de varias variables TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Introducción Gráficas y curvas de nivel Ejercicio Dibujar las curvas de nivel de la función f (x, y ) = y 2 − x 2 . Profesor: José Ángel Cid TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES