METODO REGIONAL WAK-MPP 1. INTRODUCCION. El análisis de frecuencia de crecidas es un procedimiento para asociar a las distintas magnitudes de la crecida una probabilidad o frecuencia de ocurrencia. Las crecidas de interés desde el punto de vista del ingeniero proyectista son aquellas que tienen una pequeña probabilidad de excedencia, o bien, un gran período de retorno, lo cual implica una considerable incertidumbre en la estimación, tanto por la dificultad de medir los valores extremos como por la falta de precisión de dichas magnitudes. Los llamados procedimientos regionales de frecuencia de crecidas surgen como una forma de minimizar los inconvenientes anteriores y a la vez poder realizar estas estimaciones en puntos con poca o sin información fluviométrica. Estos métodos mejoran la confiabilidad de los resultados al considerar el conjunto de la información recogida en toda una región homogénea con el punto de interés. Un procedimiento regional bastante utilizado es ajustar un modelo probabilístico a los máximos valores de la crecida adimensionalizados al dividirlos por la crecida media anual. Las series adimensionales se agrupan y se combinan para formar una sola muestra a la cual se ajusta un modelo probabilístico. Este trabajo propone el uso de la distribución Wakeby como un método recomendable para el análisis regional de crecidas. El procedimiento, a juicio de algunos autores, es tan superior a otros, que se aconseja usarlo para la estimación de la crecida de diseño de todo proyecto. 2. DISTRIBUCION WAKEBY. 2.1 Definición y Características. La distribución Wakeby fue propuesta por Houghton (1977,1978a,1978b) como un modelo probabilístico adecuado para representar los caudales de crecidas máximas diarias o instantáneas en una región. Varias razones avalan esta recomendación. En primer lugar, se ha demostrado que los valores generados por este modelo no adolecen de la llamada condición de separación (Matalas et al., 1975) que se observa en valores provenientes de otros modelos probabilísticos y en consecuencia, su comportamiento en este sentido es análogo al que tienen las series históricas. En segundo término, es un modelo que cuenta con cinco parámetros, lo que le confiere gran flexibilidad para representar muestras que exhiben distinto comportamiento. En tercer lugar, se ha determinado experimentalmente que algunos parámetros pueden ser estimados regionalmente con buena aproximación. Este método de regionalización es tan superior a otros (Cunnane, 1988) que merece ser un punto de partida para la estimación de la crecida de diseño de todo proyecto. Esta última afirmación ha llevado a recomendar el abandono de otros procedimientos en favor de esta distribución. El modelo Wakeby queda definido analíticamente por el inverso de su función de distribución acumulada, característica que tiene ventajas al estimar los parámetros mediante el llamado método de los momentos ponderados por probabilidad, aunque presenta desventajas para la implementación de otros procedimientos, tales como el de máxima verosimilitud. Se dice que una variable aleatoria x tiene una distribución Wakeby cuando cumple la siguiente relación con su función distribución acumulada (F): x(F) = m + a[l-(1-F)b] - c[l-(1-F)-d] Los valores de la variable aleatoria están comprendidos entre m e infinito y los parámetros del modelo son m, a, b, c y d. 2.2 Estimación de parámetros. Greenwood y otros autores (1979) recomiendan estimar los parámetros de ésta y de otras distribuciones mediante el método de momentos ponderados por probabilidad (MPP), ya que este procedimiento tiene características preferibles al de máxima verosimilitud o de momentos convencionales, cuando el tamaño de la muestra es limitado. Los momentos ponderados por probabilidad se definen como el valor esperado del producto de tres términos: la variable aleatoria (x), la función de distribución acumulada (F(x)) y el complemento de esta función (lF(x)). De esta forma el MPP de orden i,j,k se calcula mediante la siguiente expresión: Mi,j,k = E(xl Fj (l-F)k) = ∫ xl Fj (l-F)k dF (2) Los momentos convencionales constituyen un caso especial de los MPP, ya que en ellos el exponente 1 es unitario y los otros dos exponentes son nulos. En el caso de la distribución Wakeby para facilitar la obtención de los momentos al definir los MPP, se usa un valor unitario para el exponente 1 y nulo para el exponente j. En este caso se denomina M l,0,k al MPP de orden k, y se designa simplemente por Mk (Greenwood et al, 1979). Al integrar la expresión anterior, se obtiene la siguiente relación general para los momentos Mk, válida para valores positivos de k: Mk = m a−c a c + − + 1+ k 1+ k 1+ k + b 1+ k − d La estimación de los parámetros de la distribución Wakeby por el método de los momentos ponderados por probabilidad requiere resolver un sistema de cinco ecuaciones, formado al igualar los primeros cinco momentos ponderados de la muestra con los correspondientes momentos de la población. Landwehr y otros autores (1979a,b) recomiendan calcular estimadores de los MPP a partir de la muestra, utilizando la siguiente expresión, que entrega MPP sesgados para k positivo, en función del tamaño de la muestra (n), de los valores de caudales ordenados en forma creciente (xí) y del número de orden (i) de cada valor en la lista: Mk = 1 n ∑ xi ((n − i + 0.35) / n) k n i =1 Los autores nombrados también exploraron el empleo de estimadores no sesgados para los MPP. Sin embargo, reportan que los estimadores moderadamente sesgados proporcionan mejores resultados, particularmente al estimar los valores de los cuantiles superiores, lo cual es especialmente relevante en el contexto del análisis de frecuencia de crecidas. 2.3 Algoritmos de Solución Landwehr y los otros investigadores desarrollaron dos algoritmos para la estimación de los parámetros de la distribución Wakeby utilizando la técnica de los MPP. El primer algoritmo (Landwehr et al,1979a), requiere conocer el parámetro ni de la muestra y se basa en el hecho de que si una variable aleatoria X se distribuye según el modelo Wakeby con parámetro m conocido, la variable X-m también se distribuye según Wakeby pero con parámetro m igual a cero. El algoritmo para un valor cualquiera del parámetro m posee dos partes. Se intenta primero un ajuste inicial de parámetros basado estrictamente en las ecuaciones para ellos en función de los MPP. Si no hay éxito, se intenta un ajuste iterando a partir de un valor dado de b, y estimando los restantes parámetros usando las ecuaciones apropiadas. Si los parámetros estimados conforman un conjunto no factible, se considera que el algoritmo ha fallado. (Landwehr et al., 1979b) Los algoritmos descritos se implementaron para este trabajo en un programa computacional que permite estimar los parámetros a nivel regional o puntual, calcular los valores asociados a distintos períodos de retorno y determinar la curva de frecuencia acumulada. III. APLICACION A LA ZONA CENTRAL DE CHILE 3.1 Descripción de la Zona Para ilustrar el procedimiento propuesto, se escogieron 25 estaciones fluviométricas de la región central-sur de Chile, pertenecientes a las cuencas de los ríos Rapel, Mataquito, Maule e Itata cada estación con registros mayores o iguales a 15 años. Las estaciones seleccionadas cuentan con un total de 723 años de información de caudales máximos diarios y representan una superficie total e aproximadamente 90.000 kilómetros cuadrados. En la Tabla 1 se presenta un listado de las estaciones y su ubicación geográfica se muestra en la Figura 1. TABLA 1 Cuenca Rapel Mataquito Maule ESTACIONES FLUVIOMETRICAS SELECCIONADAS Nombre Latitud Longitud Código Cachapoal en Pte.'I'ermas Claro en Hda. Las Nieves Cachapoal en Pte. Arqueado Tinguiririca en jta. Azufre Chimbarongo en Sta. Cruz Tinguiririca en Los Olmos Teno después junta Teno en Pte. FFCC Colorado en jta. Palos Palos en jta. Colorado Claro en Camarico Lircay Pte. Las Rastras 34 15 34 29 34 17 34 50 34 39 34 30 35 01 34 53 35 16 35 16 35 10 35 29 70 34 70 43 71 21 70 33 71 21 71 23 70 51 71 11 71 01 71 01 71 23 71 17 R5 R9 R10 R11 R16 R17 M5 M6 M9 M10 M1 M3 Claro en Talca Maule en Armerillo Ancoa en El Morro Longaví en Quiriquina Longaví en Longitudinal Perquilauquén en San Manuel Perquilauquén en Quella Purapel en Nirivilo Nuble en La Punilla Chillán en Longitudinal Diguillín en San Lorenzo Diguillín en Longitudinal Itata en Cholguán Itata 35 25 35 42 35 53 36 15 36 00 36 25 36 03 35 33 36 39 36 46 36 52 36 53 37 11 71 42 71 06 71 17 71 27 71 44 71 30 72 05 72 05 71 22 71 45 71 36 72 20 72 03 M4 M26 M32 M39 M40 M42 M43 M45 I3 I7 I13 I14 I16 El relieve de esta región se caracteriza por la existencia de dos cordilleras longitudinales (Cordillera de los Andes y Cordillera de La Costa) con valles centrales que conforman una depresión intermedia. El clima es mediterráneo, caracterizado por tener un período lluvioso en invierno (Junio-Agosto), época durante la cual ocurre la mayor parte de las precipitaciones anuales. Las precipitaciones anuales varían en promedio entre 500 mm y 2500 mm, existiendo un aumento significativo de ellas hacia el sur. La parte alta de las cuencas, con alturas sobre los 2000 m, recibe normalmente precipitaciones en forma de nieve. La producción específica de las cuencas, aumenta también de norte a sur, con valores medios en el rango entre 10 I/s/km2 y 90 l/s/km2. 3.2 Cálculo de Momentos y de Parámetros En la Tabla 2 se muestran los principales parámetros estadísticos de los registros seleccionados. El caudal de la crecida máxima diaria promedio es de 385 (m3/s) , variando entre un mínimo de 44,4 y un máximo de 1100 (m3/s). El coeficiente de variación del promedio es de 0,69. La longitud media de registro de las estaciones seleccionadas es de 29 años. TABLA2 CARACTERISTICA DE LOS CAUDALES MAXIMOS DIARIOS Código RegistroProm Cuenca Estación (años) (m3/s) R5 R9 R10 Rll R16 R17 M5 17 25 31 23 36 27 24 346.3 49.9 787.2 606.2 178.6 587.7 218.3 Desv Coef Var. Coef Asim (m3/s) 205.1 42.0 429.3 399.0 82.2 385.3 137.6 Max (m3/s) (m3/s) 0.592 1.344 0.842 1.824 0.545 0.722 0.658 0.761 0.460 0.119 0.656 0.772 0.631 1.369 864' 183 1885 1587 349 1587 624 Min Area (km2) 91.2 6.9 90.9 18.0 14.9 18.3 46.3 2367 27 6350 370 681 3130 956 M6 M9 M10 M1 M3 M4 M21 M32 M39 M40 M42 M43 M45 I3 I7 I13 I14 I16 19 338.7 38 192.2 31 140.6 39 212.4 20 281.1 21 779.2 67 1101.9 27 178.0 33 455.1 16 612.5 42 382.4 15 .738.1 23 44.4 23 348.6 33 85.4 29 239.3 26 422.9 38 322.6 262.9 111.9 94.2 133.7 249.4 568.2 560.7 124.1 313.9 490.2 200.6 405.5 40.8 169.7 54.8 113.4 221.0 130.9 0.776 1.148 0.582 2.334 0.669 1.244 0.630 0.995 0.887 1.739 0.729 0.725 0.509 0.992 0.697 1.538 0.690 1.416 0.800 1.117 0.525 0.259 0.549 0.760 0.919 2.033 0.487-0.163 0.642 1.018 0.474 0.094 0.523 0.380 0.406 0.713 1015 658 421 543 1040 2033 2648 595 1358 1385 784 1618 166 623 230 486 980 734 36.0 47.0 24.1 9.6 10.2 39.5 142.0 19.4 61.5 28.1 25.8 65.4 1.8 19.0 30.4 52.4 9.0 111.0 1523 883 506 742 376 2596 5520 204 650 870 481 1195 258 1300 224 163 1232 852 Utilizando la expresión (4) se calcularon los estimadores para los primeros cinco momentos de cada estación, los cuales se usaron en el sistema de ecuaciones mencionado para calcular los parámetros del modelo Wakeby ajustado a cada estación. Los resultados se incluyen en la Tabla 3. TABLA 3 PARAMETROS WAKEBY ES'I'ACION R5 R9 R10 R11 R16 R17 M5 M6 M9 M10 M1 M3 M4 M26 M32 M39 M40 M42 M43 a 94,456 4,767 262,971 83,269 101,725 58,073 45,869 -26,248 86,725 29,537 113,500 416,063 350,921 370,923 223,938 110,893 357,594 184,795 523,919 b 10,000 8,929 10,000 4,551 5,778 10,000 10,000 10,000 5,410 2,975 7,061 0,964 4,343 4,872 1,399 10,000 1,751 3,951 5,732 c 1641,371 296,854 -3125,879 -2493,877 -401,947 -2139,000 -157513,499 -3081,702 162,077 -27570,534 6461,243 55,467 -6838,449 -17882,856 24,883 4781,736 3351,918 -918,481 913,239 d 0,106 0,117 -0,184 -0,239 -0,257 -0,295 -0,001 -0,110 0,317 -0,003 0,019 0,596 -0,091 -0,031 0,602 0,060 0,105 -0,295 0,242 m 64,847 6,478 62,027 57,416 9,820 48,159 35,807 58,354 43,953 25,501 -9,967 4,741 -78,946 262,211 9,817 52,040 -8,522 25,879 0,000 M45 1I3 I7 I13 I14 I16 20,439 337,691 -24,264 167,431 472,677 273,191 8,468 2,169 3,850 2,670 42265 1,953 77,431 -779,901 -362,319 -519,828 140,106 54,739 0,284 -0,137 -0,259 -0,202 0,406 0,44 4,673 23,596 30,098 29,990 -55,715 298,506 El problema de asociar probabilidades de excedencia a cada valor de la crecida, queda resuelto al conocer los parámetros de la distribución Wakeby ajustada a cada estación fluviométrica. Los valores de crecida con distintas probabilidades se obtienen evaluando la expresión (1) para los valores deseados de la función distribución acumulada. 3.3 Extensión del Método a nivel Regional. Una de las ventajas de esta distribución es la posibilidad de utilizarla a nivel regional con buenos resultados. Para ello, se requiere verificar en primer lugar, la homogeneidad de la región. En este caso particular, se utilizó un test de homogeneidad basado en la distribución, (Wiltshire, 1989) el cual condujo a aceptar la homogeneidad hidrológica de la región frente a series históricas de caudales máximos diarios . Posteriormente se dividió cada uno de los valores observados en cada estación por la crecida media anual para tener registros adimensionales y poder combinarlos para formar una sola muestra. A esta muestra única se ajustó un modelo Wakeby calculándose los parámetros regionales. Otro elemento que requieren los métodos regionales para poder ser aplicados en puntos sin información es contar con una relación para predecir la crecida media anual (QMD). En este caso, se estudió una relación que incluyera el tamaño de la cuenca, la precipitación anual, la latitud y la altura como variables explicativas. La mejor relación encontrada es la que se presenta a continuación, la cual tiene un coeficiente de correlación igual a 0,79 y un error estándar de estimación igual a 168 metros cúbicos por segundo. Esta relación incluye el área de la cuenca (A) y la latitud de la estación (LAT, grados) como variables explicativas. QMD = -2789,9.+ 12,8235 √A+ 77,5 LAT 3.4 Validación del procedimiento. Para validar el método propuesto, se compararon los resultados obtenidos al estimar la curva de frecuencia de crecidas para un lugar a partir de los datos observados, con la estimada a través de la relación regional. La Tabla 4 presenta los resultados para 3 estaciones ubicadas en el área y no incluidas en el grupo usado para calcular la curva regional. Las estaciones utilizadas fueron río Claro en el Valle perteneciente a la cuenca del río Rapel (Lat 34º 41', Long 70º 53', Area 358 km2), Estero El Manzano en desembocadura (cuenca río Mataquito) (Lat 35º 10', Long 71º 23', Area 130 km2 ) y Maule en Colbún (Lat 35º 40', Long 71º 21' área 5334 km2). Estas estaciones representan el rango de tamaños incluido en el estudio y están ubicadas en forma representativa dentro de la zona. La crecida media anual se puede estimar en función del área de la cuenca y de la latitud con la expresión (5) con buena aproximación en los casos de los ríos Claro y Maule, ya que la estimación tiene errores del orden del 15%. En el caso del estero El Manzano la crecida media anual no puede estimarse con precisión aceptable y es deseable buscar una expresión más precisa, incorporando otras variables explicativas. La Tabla 4 compara los valores estimados y observados para períodos de retorno de 25, 50 y 100 años. En el río Claro el error porcentual promedio de las estimaciones es 25%, en el estero El Manzano es 16% y en el río Maule 9%. Los errores porcentuales individuales en estas estaciones varían entre 4% y 32% para los períodos de retorno indicados. Se pudo apreciar también en varios casos, que al considerar conocido el valor de la crecida media anual del lugar, los errores de estimación de las crecidas máximas diarias asociadas a distintos períodos de retorno disminuyen significativamente. TABLA 4 CAUDALES OBSERVADOS Y ESTIMADOS PARA DISTINTOS PERIODOS DE RETORNO (m3/s) ESTACION FLUVIOMETRICA Período de retorno Claro en el Valle El Manzano Obs Est Obs Est. Promedio 25 50 100 IV. 132 274 306 335 141 327 384 441 146 125 156 190 66 155 181 208 Maule en Colbún Obs Est. 1093 2198 2350 2462 911 2119 2485 2854 CONCLUSIONES. La distribución Wakeby posee importantes ventajas para estimar datos de caudales máximos diarios. La estimación de sus parámetros es difícilmente practicable por métodos clásicos, sin embargo, la técnica de estimación parámetros por el método de momentos ponderados por probabilidad ha demostrado ser adecuada para esta distribución, pues permite plantear expresiones para estimar cada parámetro en función de los MPP obtenidos a partir de la muestra de caudales máximos diarios. El sistema de ecuaciones que permite la obtención de los de parámetros Wakeby se ha resuelto algebraicamente . La resolución del sistema es elaborada y requiere los algoritmos indicados para verificar que las soluciones existan y sean factibles. La aplicación del modelo a una región bastante amplia de la zona central-sur de Chile con gran variedad climática ha sido exitosa. El procedimiento se recomienda y los resultados se pueden mejorar al tener una relación más precisa para estimar la crecida media anual en lugares sin información fluviométrica. Conviene resaltar que la región abarca casi 90.000 km2 , lo cual significa que es probable enciontrar en una región de este tamaño bastantes registros observados. Aún así, a pesar de variación climática que se observa en la región, las estimaciones de las crecidas tiene una precisión aceptable. VI. REFERENCIAS. 1. CUNNANE, C. (1988) Methods aiid Merits of Regional Flood Frequency Analysis. Jour. of Hydrology, vol 100, pp. 269-290. 2.. GREENWOOD, J.A., LA.NDWEHR, J.M. y WALLIS, J.R. (1979) Probability weighted moments: definition and relation to parameters of several distributions expressable in inverse form. Water Resources Research, vol. 15, N25, 10 1054. 3. HOUGHTON,J.C. (1977) Robust estimation of the frequency of extreme value in a flood frequency context. Ph.D. dissertation, Harvard University Cambridge, Mass. 4. HOUGHTON,J.C. (1978a) Birth of a parent:the Wakeby distribution for modeling flood flows. Water Resources Research,Vol.14,No.6,1105-1110. 5. HOUGHTON,J.C. (1978b) The incomplete means estimation procedure applied to flood frequency analysis.Water Resources Researcli, Vol.14,No.6, 11111116. 6. LANDWEHR,J.M.,MATALAS,N.C. y WALLIS,J.R. (1979a) Estimation of parameters and quantiles of Wakeby distributions 1. Known lower bounds.Water Resources Research,Vol.15,No.6,1361- 1372. 7. LANDWEHR,J.M.,MATALAS,N.C. y WALLIS,J.R. (1979b) Estimation of parameters and - quantiles of Wakeby distributions 2.Unknown lower bounds.Water Resources Research,Vol.15,No.6,1373- 1379. 8.- MATALAS,N.C. SLACK,J.R. y WALLIS,J.R. (1975) Regional skew in search of a parent.Water Resources Research Vol ll,No.6, 815-826. 9. WILTSHIRE,S.E. (1986) Regional flood frequency analysis 1: homogenieity statistics.Hydrological Sciences Journal, Vol.31,No. 3,321-333.