APÉNDICE DE VARIABLE COMPLEJA DESIGUALDADES TRIANGULARES: a) z1+ z 2 ≤ z1 + z 2 b) z1+ z 2 ≥ z1 − z 2 FORMA POLAR DE UN COMPLEJO: z = r.e jθ θ = arc tg r = z = x 2 + y2 y x donde y El argumento de z admite múltiples valores, pero el valor: − π < θ ≤ π se denomina valor principal del argumento. EXTRACCIÓN DE RAÍCES: θ + 2kπ 1 1 j. n z n = r n .e , k = 0,1,2,……,n-1 y θ es el argumento de z FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO: ux = vy Condiciones de Cauchy-Riemann: a) Condiciones necesarias: ( ; v x = −u y ) Si una función es derivable en un punto x 0 , y 0 , entonces se cumplen las condiciones de C-R b) Condiciones suficientes: Sean u y v funciones reales uniformes de x e y, las cuales junto con sus derivadas parciales de primer orden son continuas en un punto ( x 0 , y 0 ) . Si estas derivadas parciales satisfacen las condiciones de C-R en aquel punto, entonces la derivada f '(z0), existe. FUNCIONES ANALÍTICAS: La función w = f(z) es analítica en un punto dado z0 ε D si la misma es derivable tanto en el propio punto z0 como en un cierto entorno del mismo. Las condiciones de C-R son necesarias pero no suficientes. FUNCIONES ELEMENTALES a) Función exponencial : w = ez *Es una función entera, es decir analítica en todo el plano complejo. *No se anula para ningún valor de z. *Su dominio es el plano complejo completo excepto el origen, pues: e z = r = e x de donde x = ln r * Es una función periódica de período 2kπj , k ∈ Z b) Función logarítmica : w = log z ln z + j.( arg w + 2kπ) k ∈ Z w = log z = Si k = 0 el valor principal se denomina con Log z. c) Funciones trigonométricas e hiperbólicas sen z = e jz − e − jz 2j ; sen (-z) = -sen z ; sen ( z + 2 π ) = sen z. ; D sen z = cos z cos z = e jz + e − jz 2 ; cos (-z) = cos z ; ez − e− z 2 Sh z = ; cos ( z + 2 π ) = cos z. ; D cos z = - sen z ez + e− z 2 Ch z = ECUACIONES EN EL CAMPO COMPLEJO Recordemos de Álgebra: a) Los conceptos de raíces simples y múltiples. Sea α una raíz de la ecuación algebraica f(x)=an.xn + an-1.xn-1 +…………..+ a1.x + a0 = 0, es decir que f(α) = 0. Esto equivale a que el polinomio f(x) es divisible por (x-a). Puede ocurrir que f(x) sea divisible por una potencia de (x-a) m, y que el exponente m sea el más alto posible, es decir, que f(x) no sea ya divisible por (x-a)m+1; en otros términos, que el factor primo (x-a) figure en la descomposición de f(x) exactamente con el exponente m: f(x) = (x-a)m.g(x), donde ya (x-a) no es divisor de g; o lo que es equivalente: g(α) ≠ 0. Entonces el número natural m se llama la multiplicidad o el orden de multiplicidad de la raíz α. Este último número es raíz simple si m = 1, y raíz múltiple si m > 1. b) El Teorema fundamental del Álgebra Toda ecuación algebraica f(x) = 0 de grado no nulo, de coeficientes reales o complejos, tiene al menos una raíz (real o compleja) Una ecuación grado n, P(x) = 0 puede escribirse, en el campo complejo, en la forma k1 k2 kr factoreada: a.( x − x1 ) .( x − x 2 ) .................( x − x r ) con k ≥ 1, ( j = 1,2,……,r), y j k1+k2+…………..+kr = n Una raíz xj será múltiple si kj > 1, y el entero kj se llama orden de multiplicidad. Si una raíz no es múltiple, es decir k = 1, se llama simple. Como la suma de los kj es n, tenemos: en el campo complejo, una ecuación de grado n tiene exactamente n raíces, contando cada una con su orden de multiplicidad. SERIES POTENCIALES: n ∞ ∑ an. z − z 0 n =0 ( ) Las series de potencias tienen un “buen” comportamiento, bajo la suma, multiplicación, diferenciación e integración; la cual las hace útiles en análisis complejo. * La suma o resta término a término de dos series de potencias con radios de convergencia R1 y R2, produce una serie de potencias con radio de convergencia por lo menos igual al menor de R1 y R2. * La multiplicación término a término de dos series de potencias significa la multiplicación de cada término de la primera serie por cada término de la segunda serie y el agrupamiento de los términos que tienen la misma potencia de z. * La diferenciación e integración de término a término de una serie de potencias es permisible. La serie de potencias que se obtiene de derivar término a término se denomina serie derivada de la serie de potencias. * La serie derivada de una serie de potencias tiene el mismo radio de convergencia que la serie original. * Una serie de potencias con radio de convergencia R diferente de cero representa una función analítica en todo punto interior de su círculo de convergencia. Las derivadas de esta función se obtienen por diferenciación término a término de la serie original. Todas las series así obtenidas tienen el mismo radio de convergencia que la serie original. Por tanto, cada una de ellas representa una función analítica.