Ejemplo de proceso aleatorio Definici´on del experimento aleatorio

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Ejemplo de proceso aleatorio
Definición del experimento aleatorio
Cuatro posibles resultados: ω1 , ω2 , ω3 , ω4
Probabilidades: P(ω1 ) = P(ω2 ) = P(ω3 ) = P(ω4 ) =
Descripción analı́tica del proceso
!
1,
X(t, w1 ) =
0,
!
2,
X(t, w2 ) =
0,
!
e−t ,
X(t, w3 ) =
0,
!
sin(t),
X(t, w4 ) =
0,
Grado Ing. Telemática (UC3M)
1
4
si t ≥ 0
si t < 0
si t ≥ 0
si t < 0
si t ≥ 0
si t < 0
si t ≥ 0
si t < 0
Teorı́a de la Comunicación
Procesos Aleatorios
1 / 14
Señales del proceso aleatorio
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1.5
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1
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0 .................................... .... ... .. ... .. ... .. .. .......................................................................................................................................
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................. X(t, ω1 ) ... ... .... ... ... ... .... ... .... ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ...
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-0.5
................. X(t, ω2 ) .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... .... .... ..... .... .... .... ..... .... .... ....
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-1 ................. X(t, ω3 ) ..
................. X(t, ω4 )
2
-2
-1
0
1
Grado Ing. Telemática (UC3M)
2
3
5
4
Tiempo (t)
Teorı́a de la Comunicación
6
7
8
9
Procesos Aleatorios
10
2 / 14
Realización del proceso aleatorio si ω = ω1
2
1.5
...........................................................................................................................................................................................................
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0.5
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0 .................................... ....
1
-0.5
-1
................. X(t, ω1 )
-2
-1
0
1
2
Grado Ing. Telemática (UC3M)
3
5
4
Tiempo (t)
6
7
Teorı́a de la Comunicación
8
9
Procesos Aleatorios
10
3 / 14
Realización del proceso aleatorio si ω = ω2
............................................................................................................................................................................................................
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2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
................. X(t, ω2 )
-2
-1
0
1
Grado Ing. Telemática (UC3M)
2
3
5
4
Tiempo (t)
Teorı́a de la Comunicación
6
7
8
9
Procesos Aleatorios
10
4 / 14
Realización del proceso aleatorio si ω = ω3
2
1.5
..
............
.. ....
0.5
.... .............
.............
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..............................................
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...............................................................................................................
0 .................................... ....
1
-0.5
-1
................. X(t, ω3 )
-2
-1
0
1
2
Grado Ing. Telemática (UC3M)
3
5
4
Tiempo (t)
6
7
Teorı́a de la Comunicación
8
9
10
Procesos Aleatorios
5 / 14
Realización del proceso aleatorio si ω = ω4
2
1.5
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-1
1
-2
-1
0
1
Grado Ing. Telemática (UC3M)
2
3
5
4
Tiempo (t)
Teorı́a de la Comunicación
6
7
8
9
Procesos Aleatorios
10
6 / 14
Media del proceso aleatorio
2
1.5
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-0.5
-1
-2
0
-1
1
2
Grado Ing. Telemática (UC3M)
3
5
4
Tiempo (t)
7
6
8
Teorı́a de la Comunicación
9
Procesos Aleatorios
10
7 / 14
Autocorrelación del proceso aleatorio
*+,)&-)!.
&('
&
"('
"
&"
'
"
)!
Grado Ing. Telemática (UC3M)
!!
"
Teorı́a de la Comunicación
#
!
$
%
&"
)&
Procesos Aleatorios
8 / 14
Ejemplo de proceso aleatorio
Proceso aleatorio gausiano
1
fX(t1 ),X(t2 ),··· ,X(tn ) (x1 , x2 , · · · , xn ) = "
(2π)n det(C)
1
·e 2
− (x−µ)C−1 (x−µ)T
Vector de medias: µ = [µ1 , µ2 , · · · , µn ]T
µi = E[X(ti )] = 0
Matriz de covarianzas: C, dada por
Ci,j = Cov(X(ti ), X(tj )) = e||ti −tj ||
Grado Ing. Telemática (UC3M)
Teorı́a de la Comunicación
2
Procesos Aleatorios
9 / 14
Realización del proceso aleatorio
3
2
1
0
-1
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Grado Ing. Telemática (UC3M)
3
4
5
6
Tiempo (t)
Teorı́a de la Comunicación
7
8
9
Procesos Aleatorios
10
10 / 14
Otra realización del proceso aleatorio
3
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Grado Ing. Telemática (UC3M)
4
5
6
Tiempo (t)
7
Teorı́a de la Comunicación
8
9
Procesos Aleatorios
10
11 / 14
Otra realización del proceso aleatorio
3
2
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1
2
Grado Ing. Telemática (UC3M)
3
4
5
6
Tiempo (t)
Teorı́a de la Comunicación
7
8
9
Procesos Aleatorios
10
12 / 14
Media del proceso aleatorio
3
2
1
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....... ...
... ................................. ............ ................... ........ ...
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........
.... ............
......... .... ...... .. .... ......... .....
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Grado Ing. Telemática (UC3M)
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Tiempo (t)
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Teorı́a de la Comunicación
9
10
Procesos Aleatorios
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Autocorrelación del proceso aleatorio
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