Ejemplo de proceso aleatorio Definición del experimento aleatorio Cuatro posibles resultados: ω1 , ω2 , ω3 , ω4 Probabilidades: P(ω1 ) = P(ω2 ) = P(ω3 ) = P(ω4 ) = Descripción analı́tica del proceso ! 1, X(t, w1 ) = 0, ! 2, X(t, w2 ) = 0, ! e−t , X(t, w3 ) = 0, ! sin(t), X(t, w4 ) = 0, Grado Ing. Telemática (UC3M) 1 4 si t ≥ 0 si t < 0 si t ≥ 0 si t < 0 si t ≥ 0 si t < 0 si t ≥ 0 si t < 0 Teorı́a de la Comunicación Procesos Aleatorios 1 / 14 Señales del proceso aleatorio ............................................................................................................................................................................................................ .... . 1.5 .... .... . 1 ........................................................................................................................................................................................................................ ..... ............. ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .. . ...... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. 0.5 ......... .... ...................... ..... .... ..... .... ..... ..... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ...... .... .... ........................................................... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . . 0 .................................... .... ... .. ... .. ... .. .. ....................................................................................................................................... ... ... .. ... ... ... ... ... .. ... ... ... .. ... ... ... .. ... ... ... ................. X(t, ω1 ) ... ... .... ... ... ... .... ... .... ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ... .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . .. . -0.5 ................. X(t, ω2 ) .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... .... .... ..... .... .... .... ..... .... .... .... ..... .. .. ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... . -1 ................. X(t, ω3 ) .. ................. X(t, ω4 ) 2 -2 -1 0 1 Grado Ing. Telemática (UC3M) 2 3 5 4 Tiempo (t) Teorı́a de la Comunicación 6 7 8 9 Procesos Aleatorios 10 2 / 14 Realización del proceso aleatorio si ω = ω1 2 1.5 ........................................................................................................................................................................................................... ..... .. 0.5 .... .. . . 0 .................................... .... 1 -0.5 -1 ................. X(t, ω1 ) -2 -1 0 1 2 Grado Ing. Telemática (UC3M) 3 5 4 Tiempo (t) 6 7 Teorı́a de la Comunicación 8 9 Procesos Aleatorios 10 3 / 14 Realización del proceso aleatorio si ω = ω2 ............................................................................................................................................................................................................ .... . .... . ..... . ..... .. .... . .......................................... 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 ................. X(t, ω2 ) -2 -1 0 1 Grado Ing. Telemática (UC3M) 2 3 5 4 Tiempo (t) Teorı́a de la Comunicación 6 7 8 9 Procesos Aleatorios 10 4 / 14 Realización del proceso aleatorio si ω = ω3 2 1.5 .. ............ .. .... 0.5 .... ............. ............. .. .............................................. . . ............................................................................................................... 0 .................................... .... 1 -0.5 -1 ................. X(t, ω3 ) -2 -1 0 1 2 Grado Ing. Telemática (UC3M) 3 5 4 Tiempo (t) 6 7 Teorı́a de la Comunicación 8 9 10 Procesos Aleatorios 5 / 14 Realización del proceso aleatorio si ω = ω4 2 1.5 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. 0.5 ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... ..... .... .. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . . 0 ..................................... .... ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... -0.5 ................. X(t, ω4 ) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... -1 1 -2 -1 0 1 Grado Ing. Telemática (UC3M) 2 3 5 4 Tiempo (t) Teorı́a de la Comunicación 6 7 8 9 Procesos Aleatorios 10 6 / 14 Media del proceso aleatorio 2 1.5 ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ... .. ..... . .. ... .... . ... ... .... . ... .. 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. . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . !!!!!!!!! ! ! ! !!!!!!! !!!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!!! 1 !!! !!!! !!! !!!! !!! !!!! !!! !!!! !!! !!!!! !!! !!!!! !!! !!!!! !!! !!!!! !!! !!!!! !!! !!!!! ! ! ! !!! !! !!! !! !!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!!!! !!!! !!!!! !!!!! ! 0.5 !!! ! !! ! 0 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! -0.5 -1 -2 0 -1 1 2 Grado Ing. Telemática (UC3M) 3 5 4 Tiempo (t) 7 6 8 Teorı́a de la Comunicación 9 Procesos Aleatorios 10 7 / 14 Autocorrelación del proceso aleatorio *+,)&-)!. &(' & "(' " &" ' " )! Grado Ing. Telemática (UC3M) !! " Teorı́a de la Comunicación # ! $ % &" )& Procesos Aleatorios 8 / 14 Ejemplo de proceso aleatorio Proceso aleatorio gausiano 1 fX(t1 ),X(t2 ),··· ,X(tn ) (x1 , x2 , · · · , xn ) = " (2π)n det(C) 1 ·e 2 − (x−µ)C−1 (x−µ)T Vector de medias: µ = [µ1 , µ2 , · · · , µn ]T µi = E[X(ti )] = 0 Matriz de covarianzas: C, dada por Ci,j = Cov(X(ti ), X(tj )) = e||ti −tj || Grado Ing. Telemática (UC3M) Teorı́a de la Comunicación 2 Procesos Aleatorios 9 / 14 Realización del proceso aleatorio 3 2 1 0 -1 ..... ..... . ........ ..... .... ..... . ... ... ..... .... . ... . .. . . . . . . . . . . . ... . .. .. ..... ........ ... . . . . . . .... ... .. .. . ................... ..... . . . . ... .. ..... .. ........ . . ..... . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . ...... .. .... .... ............ .... ........ ............ -2 -3 ................. X(t, ω) 0 1 2 Grado Ing. Telemática (UC3M) 3 4 5 6 Tiempo (t) Teorı́a de la Comunicación 7 8 9 Procesos Aleatorios 10 10 / 14 Otra realización del proceso aleatorio 3 2 .... .... ........ . ... .. ............. . . . ... . . . . . 1 ... . . ... . . ... . ... . .... . ... . .... . ... .... ................... . ..... . . . . . . ..... ..... . ........ .. 0 . . ...... . ..... . . ......... .... .. .............. .. . .. .. .... . . .... .. ..... ... . . -1 . . .... .. ....... .......... -2 -3 ................. X(t, ω) 0 1 2 3 Grado Ing. Telemática (UC3M) 4 5 6 Tiempo (t) 7 Teorı́a de la Comunicación 8 9 Procesos Aleatorios 10 11 / 14 Otra realización del proceso aleatorio 3 2 ..... ... ..... ...... ... .. . ... . 1 ... ............ ..... . . . ... ... .. .... .. .. ... . . . ........................................ ..... ......... ... 0 ... .... ....... .... .... . . ... .... . . .. . ..... ... . . . .... .... ......... .. ..... . -1 .. . . ....................... -2 -3 ................. X(t, ω) 0 1 2 Grado Ing. Telemática (UC3M) 3 4 5 6 Tiempo (t) Teorı́a de la Comunicación 7 8 9 Procesos Aleatorios 10 12 / 14 Media del proceso aleatorio 3 2 1 ............ .... ...... ... ... .......... ... ... ...... ...... . . . ... .. .. .. ... .. ... .. ......... ......... . . . . . . . . ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . .. .... . .. ....... ........... .. .. ..... .... ..... ... ... ........... ... ............. ........ ... ... ... .... ....... ...... .. .. ... ... . ..... ........ . . . . ... . . . . . .. . . . . . . . .. . . .......... .... ... . ...... ......... .. . ... .. ... ... ... .. .. . ... . .. ...................... ............... ...... ....... ... ........... .. .. .. .... ..... .... ... ... .. ............. ... .................................. .... .. ... .. ... .. .. .. ........................................ ... .. ..... .. ................ ....... ........ ................ ............. .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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!!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! 0 !! -1 -2 -3 !!!!!!!!!!!!!Media de X(t, ω) 0 1 2 3 Grado Ing. Telemática (UC3M) 4 5 6 Tiempo (t) 7 8 Teorı́a de la Comunicación 9 10 Procesos Aleatorios 13 / 14 Autocorrelación del proceso aleatorio &(' *+,)&-)". & !(' ! !!(' &! ' )" Grado Ing. Telemática (UC3M) ! ! " Teorı́a de la Comunicación # $ % &! )& Procesos Aleatorios 14 / 14