Valores propios y sistemas de ecuaciones diferenciales

Valores propios y sistemas de ecuaciones
diferenciales de primer orden
(Aplicación de los valores y vectores propios en la solución de sistemas de
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Metodología)
Pedro CASTAÑEDA PORRAS
Arelys QUINTERO SILVERIO
Eugenio HERNÁNDEZ VARGAS
Palabras claves: Valores propios. Vectores propios.
Resumen.
En este trabajo abordaremos una experiencia en la solución de Sistemas de
Ecuaciones Diferenciales lineales utilizando el método matricial, de esta forma
estaremos vinculando el Álgebra Lineal con la Matemática como asignaturas que se
imparten en las carreras de ingeniería, teniendo en cuenta la articulación entre
materias, como una necesidad en la Resolución de Problemas. La estrategia de
resolución de problemas es mucho más rica que la aplicación mecánica de un
algoritmo, pues implica crear un contexto donde los datos guarden una cierta
coherencia. Desde este análisis se han de establecer jerarquías: ver qué datos son
prioritarios, rechazar los elementos distorsionadores, escoger las operaciones que
los relacionan, estimar el rango de la respuesta, etc. También nos apoyaremos en
los Asistentes Matemáticos como herramienta incorporada al sistema didáctico de la
enseñanza de la Matemática.
Introducción.
El perfeccionamiento de los planes de estudios en las diferentes carreras nos exige
aún más en la relación entre las asignaturas de una disciplina y entre las disciplinas
del año y de la carrera para poder enfrentar y resolver los problemas de carácter
profesional.
Las Ecuaciones Diferenciales tienen una gran importancia por su carácter integrador
de la matemática. Compartimos el criterio de (Judson. T. 1997). Es importante
propiciar la transferencia de estos conocimientos a situaciones relacionadas con
áreas de interés del estudiante para que pueda utilizarlos en la solución de
problemas que se le presenten durante el ejercicio de su profesión. Hay que centrar
la atención en enseñar a resolver los problemas que involucren ecuaciones
diferenciales.
No obstante el propósito de este trabajo es propiciar una metodología para resolver
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales de primer orden utilizando los
conceptos de valores y vectores propios con el apoyo de un Asistente Matemático.
Hasta este momento los estudiantes habían tratado las Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias de forma individual, pero en la práctica se necesita más de una Ecuación
Diferencial para formular matemáticamente situaciones físicas a las cuales ellos se
enfrentan.
Todo el proceso está basado en el aprendizaje significativo, que es quien sustenta
la resolución de problemas. Como dijera (Ausubel, 2006): "El factor más
importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese
esto y enséñese consecuentemente". Claro está, con esta afirmación, la experiencia
sobre la cual queremos trabajar es retomar lo que ya se sabe del Algebra Lineal y
aplicarlo a la solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y así verán la
utilidad de estos conceptos.
A continuación exponemos la metodología e ideas básicas de cómo resolver estos
SED.
Ideas básicas
Si X, A(t) y F(t) denotan, respectivamente, las matrices
 a11 (t ) a12 (t ) ... a1n (t ) 


 x1 (t ) 


 a21 (t ) a22 (t ) ... a2 n (t ) 
 x2 (t ) 

.
.


 , F (t ) =

, A(t ) =
X= .



.
.

.


.
.




 xn (t ) 
 a (t ) a (t ) a (t ) 
n2
nn

 n1
 f1 (t ) 


 f 2 (t ) 

.



.


 f n (t ) 
Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
dx1
= a11 (t ) x1 + a11 (t ) x 2 + ... + a1n (t ) x n + f1 (t )
dt
dx1
= a11 (t ) x1 + a11 (t ) x 2 + ... + a1n (t ) x n + f 2 (t )
dt
.
.
.
(1)
.
dx n
= a n1 (t ) x1 + a n1 (t ) x 2 + ... + a nn (t ) x n + f n (t )
dt
Puede ser escrito como,
 a11 (t ) a12 (t ) ... a1n (t ) 
 x 
 x1  
   a 21 (t ) a 22 (t ) ... a 2 n (t )  1 
 x2  
 x 2 
.
d   .
 .  +
.
=
.  
dt    .
.  
 . 
.  
  .
 x n   a (t ) a (t ) a (t )  x n 
n2
nn
 n1

 f1 (t ) 


 f 2 (t ) 
.
 (2)


.



 f n (t ) 
,
o simplemente
convierte en
dX
= A(t ) X + F (t ) . (3),
dt
si el sistema es homogéneo, (3) se
dX
= A(t ) X . (4)
dt
Problema.
Dado el Sistema no homogéneo
dx
= − 2 x + 5 y + e t − 2t
dt
en forma matricial puede ser escrito como
dy
= 4 x − 3 y + 10t
dt
 e t − 2t 
x
 − 2
1 
 − 2 5
dX  − 2 5 
 o X ′ = 
 X + 
 X +   e t +   t , donde X =  
= 

dt  4 − 3 
10t 
 y
10 
 0
 4 − 3

Definición: Un vector solución en un intervalo I es cualquier matriz columna
 x1 (t ) 


 x2 (t ) 
 cuyos elementos diferenciables, y tal que satisface el sistema (3) en el
X = .



.


 xn (t ) 
intervalo.
A continuación veremos un conjunto de vectores
dependiente e independiente de un sistema homogéneo.
Definición. Sea
soluciones
linealmente
X 1 , X 2 , ... , X n un conjunto de vectores solución del sistema
homogéneo (4) en un intervalo I. Decimos que el conjunto es linealmente
dependiente en el intervalo si existen constantes c1, c2, . . ., ck, no todas nulas,
tales que c1X1 + c2X2 + . . . + ckXk = 0 para todo t del intervalo. Si el conjunto de
vectores no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente
independiente.
Como hicimos en la teoría de una sola ecuación diferencial ordinaria, nos
apoyaremos en el determinante Wronskiano para verificar la independencia lineal.
En el ejemplo,
Son soluciones del sistema
homogéneo.
El Wronskiano es distinto de
cero para todos los valores
reales de t. Por lo tanto X, Y
son linealmente independientes.
Conjunto fundamental de soluciones.
Definición.
Si X1, X2, . . . , Xn es un conjunto cualquiera de n vectores solución linealmente
independiente del sistema homogéneo (4) en un intervalo I, entonces es un
conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.
Teorema.
Sea X1, X2, . . . , Xn un conjunto fundamental de soluciones del sistema
homogéneo(4) en el intervalo I. la solucion general del sistema en el intervalo se
define como:
X= c1X1+c2 X2 + . . . + cnXn , donde los ci , siendo i = 1, 2, …, n, son constante
arbitrarias.
Teorema.
Sea X1, X2, . . . , Xk un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (4) en
un intervalo I y sea Xp cualquier vector solución del sistema no homogéneo (3) en
el mismo intervalo. Entonces X= c1X1+c2 X2 + . . . + ckXk +Xp también es una
solución del sistema no homogéneo en el intervalo, cualquiera que sean las
constante c1, c2, . . . , ck.
Retomando el problema podemos observar
correspondiente sistema homogéneo es:
que
la
solución
general
del
Nos faltaría encontrar un vector solución Xp del sistema no homogéneo que lo
podemos encontrar por los métodos de coeficientes indeterminados y de variación
de parámetros que ya fueron estudiados cuando se trabajaron las ecuaciones
diferenciales ordinarias y estos métodos se pueden adaptar para la solución de
sistemas lineales no homogéneos. De estos dos métodos el más potente es el de
variación de parámetros, sin embargo, existen algunos casos en donde el método
de coeficientes indeterminados proporciona un medio rápido para obtener una
solución particular Xp.
A continuación daremos una metodología o secuencia para aplicar el método de
coeficientes indeterminados a la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales.
Solución del sistema homogéneo.(Xc)
• Matriz asociada del sistema homogéneo.
• Ecuación matricial.
• Ecuación característica.
• Obtener lo valores y vectores propios.
• Plantear la solución general del sistema homogéneo.
Encontrar un vector solución Xp del sistema no homogéneo.
• Proponer una solución particular de la parte no homogénea.
• Ajustar correctamente tal propuesta.
• Utilizar el método de los coeficientes indeterminados.
• Y plantear X = Xc +Xp.
Es interesante en esta experiencia docente como los estudiantes tienen que
retomar contenidos ya estudiados en el curso anterior para resolver sistemas de
ecuaciones diferenciales, según (Maldonado. M. A) De acuerdo al aprendizaje
significativo, los nuevos conocimientos se incorporan en forma sustantiva en la
estructura cognitiva del alumno. Esto se logra cuando el estudiante relaciona los
nuevos conocimientos con los anteriormente adquiridos; pero también es necesario
que el alumno se interese por aprender lo que se le está mostrando. (Valdés,
1950). Apunto…" debéis buscar con habilidad aquello conocimientos que pueden
servir de paso para otras, a modo de grandes pilares sobre los que descansa la
armazón del edificio.
Como la matriz de los coeficientes A es de 2x2 y dado que se han obtenido dos
soluciones linealmente independientes, concluimos que la solución general del
sistema homogéneo es:
Se puede observar que todo este trabajo matricial se realizó con el Asistente
Matemático DERIVE, es otra forma de articular con el uso de las nuevas tecnología,
pero también veremos algunos ficheros para calcular los valores propios y vectores
propios correspondientes, donde se darán cuenta que es más práctico y rápido.
El método de los coeficientes indeterminados no es tan simple, el método puede
aplicarse solamente cuando los elementos de la matriz F(t) son constante,
polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos, o bien sumas infinitas y
productos de estas funciones. Pueden notar también que no hemos visto los casos
donde los valores propios se repiten o son complejos. En esta experiencia solo
queremos tratar la articulación entre las asignaturas como un modo donde los
estudiantes vean la necesidad de retomar contenidos anteriores para poder
entender nuevos conocimientos. Esta articulación que esta sustenta la resolución de
problemas que se apoya en las ventajas y requisitos del aprendizaje significativo.
Según (Maldonado, M. A) Ventajas del Aprendizaje Significativo:
Produce una retención más duradera de la información.
• Facilita el adquirir nuevos conocimientos relacionados con los anteriormente
adquiridos de forma significativa, ya que al estar claros en la estructura
cognitiva se facilita la retención del nuevo contenido.
• La nueva información al ser relacionada con la anterior, es guardada en la
memoria a largo plazo.
• Es activo, pues depende de la asimilación de las actividades de aprendizaje
por parte del alumno.
• Es personal, ya que la significación de aprendizaje depende los recursos
cognitivos del estudiante.
Requisitos para lograr el Aprendizaje Significativo:
• Significatividad lógica del material: el material que presenta el maestro al
estudiante debe estar organizado, para que se de una construcción de
conocimientos.
• Significatividad psicológica del material: que el alumno conecte el nuevo
conocimiento con los previos y que los comprenda. También debe poseer
una memoria de largo plazo, porque de lo contrario se le olvidará todo en
poco tiempo.
• Actitud favorable del alumno: ya que el aprendizaje no puede darse si el
alumno no quiere. Este es un componente de disposiciones emocionales y
actitudinales, en donde el maestro sólo puede influir a través de la
motivación.
Conclusiones
En la experiencia que acabamos de exponer se ha explicado como utilizar los
conceptos del álgebra lineal en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales
de primer orden, los estudiantes se sintieron motivados en el momento que ellos
tuvieron que retomar los contenidos de valores propios y vectores propios, lo
sintieron como algo que no dieron en vano en el curso anterior y por ende
reafirmaron y guardaron a largo plazo lo estudiado en su memoria, el Aprendizaje
Significativo,
ayuda al
alumno
a este
resultado y
además que
vaya
construyendo sus propios esquemas de conocimiento y para una mejor
comprensión de los conceptos.
Para conseguir este aprendizaje se debe tener un adecuado material, las
estructuras cognitivas del alumno, y sobre todo la motivación.
También el uso del asistente matemático les facilito el trabajo algebraico que en
ocasiones es engorroso, donde se vieron algunas ventajas pedagógicas:
nos permite defender la idea sobre el rol que deben cumplir las TICs en los
procesos formativos: Todo conocimiento que se adquiere de manera intencionada,
mediante un proceso diseñado para ello, implica una mediación en el tratamiento
de la información, las estrategias y los medios que promueven el aprendizaje.
Bibliografia
1. Judson, T. (1997). University Mathematics Education in the United States.
Recuperado el 7 de julio de 2003 de:
http://skk.math.hc.keio.ac.jp/mathsoc/rep97/etrang/judson/node14.html
2. (Maldonado . M. A). El aprendizaje significativo de David Paul Ausubel.
www.monografias.com/trabajos10/dapa/dapa.shtml#teo
3. Valdés, M. (1950). El maestro y la educación popular. Recopilación realizada por
la Dra. Dulce M. Escalona, MINED, La Habana, 1950.
4. Fernández de Alaiza, B.(1998). Una estrategia de articulación interdisciplinaria
para el perfeccionamiento curricular en la Educación Superior. Tesis de
Maestría. CEPES. Ciudad Habana, 1998.
Pedro CASTAÑEDA PORRAS
pcasta@mat.upr.edu.cu
Arelys QUINTERO SILVERIO
arelys@mat.upr.edu.cu
Eugenio HERNANDEZ VARGAS
Eugenio@mat.upr.edu.cu
Universidad de Pinar del Río “Hermanos Saíz Montes de Oca”, Cuba
Universidad Politécnica de Valencia, España