Ejercicios Estática comparativa Cálculo 3 Econom´ıa

Ejercicios Estática comparativa Cálculo 3
Economı́a
Roberto Ortiz
octubre de 2011
1. En un modelo de crecimiento óptimo se llega a las siguientes ecuaciones
que determinan el punto de equilibrio (s∗ , c∗ ):
F (s) − ms − c = 0
F 0 (s) − m − δ = 0
donde s representa el stock de capital, c el consumo, m es la tasa de
depreciación del capital y δ es la tasa subjetiva de descuento. Se supone
que F (0) = 0 F 0 > 0, F 00 < 0 y F 0 (∞) < δ + m.
a) Bosqueje en el plano s − c las gráficas que representan las ecuaciones
anteriores.
Figura 1: diagrama s-c
b) Si hay un aumento en la tasa de depreciación del capital m, hallar
∂s∗
∂c∗
∂m , ∂m
1
SOLUCIÓN
F 1 = F (s) − ms − c = 0
F 2 = F 0 (s) − m − δ = 0
∂F 1
∂F 1
= F 0 (s) − m,
= −1
∂s
∂c
∂F 2
∂F 2
= F 00 (s),
=0
∂s
∂c
∂F 1
∂F 2
= −s,
= −1
∂m
∂m
0
F (s) − m −1
= F 00 (s) < 0
F 00 (s)
0
s −1
J1 =
=1
1 0
De donde tenemos que
J=
J1
1
∂s∗
=
= 00 ∗ < 0
∂m
J
F (s )
0
F (s) − m
J2 =
F 00 (s)
De donde tenemos
s
= F 0 (s) − m − sF 00 = δ − sF 00 (s)
1
que
∂c∗
J2
δ − s∗ F 00 (s∗ )
=
=
<0
∂m
J
F 00 (s∗ )
c) Bosquejar en el plano s − c las nuevas curvas seplazadas. Ubique el
nuevo punto de equilibrio.
SOLUCIÓN
Observe que al aumentar m tanto s como c disminuyeron.El equilibrio
inicial está en eq1 y al aumentar m el equilibrio pasó a eq2.
d ) Los signos coinciden con la nueva ubicación del equilibrion. Tanto c
como s disminuyeron al aumentar m (figura 2).
2. En un modelo de contaminación y crecimiento se llega a las siguientes
ecuaciones que determinan el punto de equilibrio (K ∗ , P ∗ ):
s
Kα
− δK = 0
1+P
K −P =0
donde K representa el stock de capital, P el nivel de contaminación, δ > 0
la tasa de depreciación y s (0 < s < 1), representa la tasa de ahorro
2
Figura 2: Diagrama s-c
a) Bosqueje en el plano K −P las gráficas que representan las ecuaciones
anteriores.
SOLUCIÓN
Ver figura 3
∗
∂P ∗
b) Si hay un aumento en la tasa de ahorro s, hallar ∂K
∂s , ∂s
F1 = s
Kα
− δK = 0
1+P
F2 = K − P = 0
sαK α−1
∂F 1
sK α
∂F
=
− δ,
=−
∂K
1+P
∂P
(1 + P )2
1
"
J =
sK α
(1+P )2
sαK α−1
1+P
1
−δ
∂F 2
∂F 2
= 1,
= −1
∂K
∂P
#
α
sK
− (1+P
)2
−1
=δ−
sαK α−1
1+P
+
>0
∂F 1
Kα
∂F 1
=
,
=0
∂s
1+P
∂s
Kα
sK α
α
− 1+P − (1+P
)2 = K
J1 =
1+P > 0
0
−1
∂K ∗
J1
=
>0
∂s
J
α K
−δ(1 − α) − 1+P
Kα
J2 =
>0
= 1+P
1
0
∂P ∗
J2
=
>0
∂s
J
3
sK α
(1+P )2
= δ(1 − α) +
Figura 3: Diagrama K-P
c) Bosquejar en el plano K − P las nuevas curvas desplazadas. Ubique
el nuevo punto de equilibrio.
Figura 4: Diagrama K-P
∗
∗
∂P
d ) Puede decir algo acerca de los signos de ∂K
∂s , ∂s ?. Coinciden estos signos con la nueva ubicación del equilibrio en la gráfica? Ambas
derivadas son positivas y coinciden con la nueva ubicación del equilibrio (gráfica 4).
3. Considere el modelo IS − LM dado por las siguientes ecusciones que determinan el punto de equilibrio (y ∗ , r∗ ):
(IS) : y = c(y − τ y) + i(r, y) + g
4
(LM ) : m = l(r) + k(y)
donde y representa el ingreso, r la tasa de interés, g los gastos gubernamentales, τ (0 < τ < 1) la tasa de impuestos, c la función de consumo que
depende del ingreso disponible y − τ y, c0 > 0, i es la función de inversión,
∂i
∂i
∂r < 0, ∂y > 0, m representa la oferta de dinero, l es una función de
liquidéz que representa la demanda de dinero en función de r, l0 < 0 y k
es una función de demanda de balances, k 0 > 0.
a) Bosqueje en el plano y − r las gráficas que representan las ecuaciones
(IS) y (LM ) dadas.
SOLUCIÓN
∂i
1+c0 + ∂y
dr
=
< 0, por lo tanto la curva
Para la curva (IS) tenemos dy
∂i
∂r
y(r) es una curva decreciente. Para la curva (LM ) tenemos
0
(y)
− kl0 (r)
dr
dy
=
> 0, y por ende la cueva es creciente.
Figura 5: Diagrama y-r
b) Si hay un aumento en los gastos gubernamentales g, halle
∂y ∗ ∂r ∗
∂g , ∂g
F 1 = y − c(y − τ y) − i(r, y) − g = 0
F 2 = m − l(r) − k(y) = 0
∂F 1
∂i ∂F 1
∂i ∂F 1
= 1 − (1 − τ )c0 −
,
=− ,
= −1
∂y
∂y ∂r
∂r ∂g
∂F 2
∂F 2
∂F 2
= −k 0 (y),
= −l0 (r),
=0
∂y
∂r
∂g
h
i
∂i
∂i
1 − (1 − τ )c0 − ∂y
− ∂r
∂i
∂i
= l0 (r) (1 − τ )c0 + ∂y
J=
− 1 −k 0 (y) ∂r
0
0
−l (r)
−k (y)
∂i
Observe que si (1 − τ )c0 + ∂y
− 1 < 0 entonces J > 0.
5
∂i
1 − (1 − τ )c0 −
1 − ∂r
0
= −l (r) > 0, J2 =
J1 =
0
0 −l (r)
−k 0 (y)
0
k (y) > 0, de donde tenemos que
∂i
∂y
1
=
0
J1
−l0 (r)
∂r
J2
k 0 (y)
∂y
h
i
h
i
=
=
,
=
=
∂i
∂i
∂i
∂i
∂g
J
∂g
J
l0 (r) (1 − τ )c0 + ∂y
− 1 − k 0 (y) ∂r
l0 (r) (1 − τ )c0 + ∂y
− 1 − k 0 (y) ∂r
c) Bosqueje en el plano y − r las nuevas curvas desplazadas. Ubique el
nuevo punto de equilibrio.
SOLUCIÓN
∂i
− 1 < 0 tenemos :
Si se cumple la condición (1 − τ )c0 + ∂y
Figura 6: Diagrama y-r
d ) Puede decir algo acerca de los signos de
∂y ∗ ∂r ∗
∂g , ∂g
? Coinciden con las
gráficas? SOLUCIÓN
∂r
En este caso tanto ∂y
∂g como ∂g son positivas y coinciden con la gráfica
6. Si no se cumple esta condición el resultado es ambiguo.
4. En un modelo de ajuste de stock de capital se obtienen las siguientes
ecuaciones que determinan el punto de equilibrio (K ∗ , I ∗ ):
(r + ψ)C 0 (I) − R0 (K) = 0
I − ψK = 0
donde K es el stock de capital de la empresa que se deprecia a la tasa
ψ, la función de ingreso es R(K), la inversión es I, los costos de ajuste
estan dados por C(I) y la tasa de descuento es r. Las funciones R y
C satisfacen: R(K) ≥ 0 si K ≥ K̄ y R(K) ≤ 0 si K ≤ K̄, K̄ > 0,
R0 (K) ≥ 0 si K ≥ K ∗ y R0 (K) ≤ 0 si K ≤ K ∗ , 0 < K ∗ < K̄, R00 (K) < 0,
6
C(I) > 0, I 6= 0, C(0) = 0, C 0 (I) ≥ 0, si I ≥ 0, C 0 (I) ≤ 0, si I ≤ 0,
C 00 (I) > 0, donde K̄, K ∗ son constantes dadas.
a) Bosqueje en el plano K −I las gráficas de las ecuaciones de equilibrio.
SOLUCIÓN
De la primera ecuación tenemos que
dI
R00 (K)
=
<0
dK
(r + ψ)C 00 (I)
por lo tanto I es decreciente con respecto a K
Figura 7: Diagrama K-I
b) Si hay un aumento en la tasa de depreciación ψ halle
∂K ∗
∂I ∗
∂ψ , ∂ψ
F 1 = (r + ψ)C 0 (I) − R0 (K)
F 2 = I − ψK
∂F 1
∂F 1
∂F 1
= −R00 (K),
= (r + ψ)C 00 (I),
= C 0 (I)
∂K
∂I
∂ψ
∂F 2
∂F 2
∂F 2
= −ψ,
= 1,
= −K
∂K
∂I
∂ψ
−R00 (K) (r + ψ)C 00 (I)
J=
= −R00 (K) + (r + ψ)C 00 (I)ψ > 0
−ψ
1
−C 0 (I) (r + ψ)C 00 (I)
J1 =
= −C 0 (I)−K(r+ψ)C 00 (I) < 0(si I ≥
K
1
0)
−R00 (K) −C 0 (I)
J2 =
= −KR00 (K) − ψC 0 (I)
−ψ
K
7
Observe que J2 puede ser mayor o menor que cero.
∂K ∗
J1
∂I ∗
J2
=
< 0,
=
=?
∂ψ
J
∂ψ
J
c) Bosqueje el plano K − I las nuevas curvas desplazadas. Ubique el
nuevo punto de equilibrio.
SOLUCIÓN
Si J2 > 0 tenemos:(gráfica 8) Si j2 < 0 tenemos (gráfica 9)
Figura 8: Diagrama K-I
Figura 9: Diagrama K-I
8
d ) Puede decir algo acerca de los signos de
∂K ∗
∂I ∗
∂ψ , ∂ψ ?
Coincide con los
gráficos? SOLUCIÓN
K disminuye para cualquier nivel de inversión positiva, mientras que
I puede aumentar o disminuir dependiendo del signo de J2 (fig9)
9