Trianngulos y medida de los triangulos

MEDIDA DE LOS ÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN.
El ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado “vértice”.
Las semirrectas reciben el nombre de “lados”. Los ángulos se pueden designar por una letra
mayúscula ( A, B, C, D, etc.) situada en el vértice, a veces se usa una letra griega dentro
del ángulo ( θ , α , β , etc.), también podemos usar tres letras mayúsculas de manera que
quede en medio la letra que está situada en el vértice del ángulo.
θ
A
A
B
C
Medidas de ángulos.
Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad de medida; existen tres
formas de medirlo las cuales se explican a continuación.
SISTEMA SEXAGESIMAL.
Si consideramos a una circunferencia y la dividimos en 360 partes iguales, de tal manera
que un grado es el que tiene el vértice en el centro y sus lados pasan por dos divisiones
consecutivas. Cada división de la circunferencia se llama grado. Un grado a su vez se puede
dividir en sesenta partes iguales llamadas minuto, cada minuto se puede dividir en sesenta
partes iguales llamada segundos. Los símbolos para estas unidades son:
Grados °
Minutos ’
Segundos”
Para pasar de una magnitud superior a una magnitud inferior multiplicamos por 60 y para
pasar de una magnitud inferior a una superior dividimos entre 60, como se muestra en la
siguiente figura.
Grados º
Multiplicar X 60
,
Minutos
,,
Segundos
Dividir entre 60
Ejemplos resueltos de ángulos en el sistema sexagesimal.
,,
1. Expresar 5º en minutos ( , ).
7. Expresar 12530
,
5º = (5)(60)= 300
2. Expresar 28º en segundos ( ,, ).
,,
28º = ( 28)(60)(60) = 100800
,
,,
= 208 50
,,
,
y 12530
,,
= 3° 28 50
a º
,
,
4. Expresar 20º 35 a segundos ( ,, ).
,
,
,
20º = (20)(60) = 1200 + 35 = 1235
,
,,
1235 = (1235)(60) = 74100
,,
5. Expresar 1250 a minutos.
238
60 14327
3
60 238
232
527
47
58
,,
14327
,,
20
60 1250
14327
050
,,
,
,
,,
,
,,
= 238 47
,
,,
,,
= 238 47 = 3º 58 47
9. Expresar 48.654º a º
, ,,
,
1250 = 20 50
,
6. Expresar 365 a grados.
6
60 365
,
28
8. Expresar 14327
240 + 37 = 277
05
0530
50
,,
,
,
3
60 208
12530
4º = (4)(60) = 240
,
208
60 12530
,,
,
3. Expresar 4º 37 a ( , ).
a º
(0.654)*(60) = 39.240
48.654º = 48º 39.240
,
,,
(0.240)*(60) = 14.4
,
,
,
,,
48.654º = 48º 39.240 = 48º 39 14.4
365 = 6º 5
SISTEMA CENTESIMAL.
También se puede considerar a la circunferencia dividida en 400 partes iguales llamadas
“grados centesimales”. Cada grado se divide en 100 partes iguales llamadas “minutos
centesimales” y cada minuto se divide en 100 partes iguales llamada “segundo
centesimales”. Este sistema es el que menos se utiliza por eso sólo lo mencionamos.
SISTEMA CIRCULAR.
En este sistema se utiliza como unidad de medida el ángulo llamado “radián”.
Un radián es el ángulo cuyos lados comprende un arco cuya longitud es igual al radio de la
circunferencia.
Así, si la longitud del arco AC de la siguiente figura es igual a r, entonces ∠ ABC = 1 radián.
A
r
r
B
r
C
Como el perímetro de cualquier circunferencia es 2 π r, resulta entonces que un ángulo de
360º equivale a 2 π r, es decir, si a π se le asigna un valor de 3.1416 entonces 360º = 6.28
radianes, por lo que 1 radián = 360 / 6.28, quedando que 1radián = 57.3º
Relación entre los grados sexagesimales y el radián.
Si representamos a los grados con la letra G y a los radianes con la letra R, se establece la
siguiente proporción.
G
R
=
360 º 2π
R=
Por lo que
2πG
360 º
R=
simplificando
(π )(G )
180 º
y
G=
(180 º )(R )
π
Ejemplos resueltos de ángulos en el sistema circular.
1. Expresar 60º a radianes.
R=
(π )(60º )
R=
180 º
(π )
R=
3
3. Expresar 120º a radianes.
R=
(π )(120º )
180 º
(2)(π )
R=
=
2. Expresar 45º a radianes.
R=
180 º
30 º
G=
3
G=
(180º ) π 
π
4
 6  cancelamos π
(180º )
6
(π )
π
a grado sexagesimal.
6
4. Expresar
(π )(60º ) = (π )(20 º )
90 º
(π )(45º )
G= 30º
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS.
Los ángulos se pueden clasificar en dos categorías; de acuerdo al valor de su medida y a su
relación como pares de ángulos.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA.
a) Ángulo nulo. Si su medida es 0º, que es el definido por dos semirrectas que coinciden.
B
A
∠AOB = 0º
O
b) Ángulo agudo. Si su medida es mayor de 0º y menor de 90º.
A
∠AOB = Ángulo agudo
O
B
c) Ángulo recto. Es el ángulo que su medida es de 90º
A
∠AOB = Ángulo recto
O
B
d) Ángulo obtuso. Es el ángulo que mide más de 90º pero menos de 180º.
A
∠AOB = Ángulo obtuso
O
B
e) Ángulo llano. Es aquel ángulo que mide 180º.
A
B
∠AOB =
O
Ángulo llano.
f ) Ángulo entrante: es un ángulo mayor de 180º y menor de 360º.
B
∠AOB =
A
Ángulo entrante
O
g ) Ángulo Perígono. Es el ángulo cuya medida es 360º.
A
∠AOB = Ángulo perígono
O
B
h) Ángulo cóncavo. Es aquel ángulo cuya medida es menor de 180º y comprende los
ángulos agudos, rectos y obtusos.
A
A
A
O
B
O
O
B
B
i) Ángulo convexo. Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 180º y comprende los
ángulos entrante y perígono.
B
A
O
A
O
B
CLASIFICACIÓN COMO PARES DE ÁNGULOS.
a) Ángulos adyacentes. Son dos ángulos consecutivos que tienen el mismo vértice y tienen
un lado común.
∠θ
∠α
b) Ángulos complementarios. Son los ángulos que sumados forman un ángulo recto ( 90º).
∠θ
∠α
∠ θ + ∠ α = 90º
c) Ángulos suplementarios. Son los ángulos que sumados valen 180º.
∠α
∠θ
∠ θ + ∠ α = 180°
d) Ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos,
son las prolongaciones de los lados del otro, estos ángulos son iguales en valor.
C
A
En la figura de la izquierda
los
ángulos que son opuestos por el
vértice son:
∠ AOB y ∠ COD
O
D
B
∠ AOC y ∠ BOD
Ejemplos resueltos de ángulos complementarios.
1. Hallar el complemento del siguiente 2. Hallar el complemento del siguiente
ángulo.
ángulo.
θ
∠θ
∠ α =22°
∠ θ + ∠ α = 90º por ser complementarios.
∠θ = 90º - ∠ α
∠ θ = 90º - 22º
∠ θ = 68º
∠θ = 57 º
∠α
∠ θ + ∠ α = 90º por ser complementarios.
∠ α = 90º - ∠ θ
∠ α = 90º - 57º
∠ α = 33º
Ejemplos resueltos de ángulos suplementarios.
1. Hallar el
ángulo.
suplemento del siguiente 2. Hallar El valor de los dos ángulos ∠ θ y
el ∠ B.
∠θ = 55º
∠B
∠θ = 2 x
∠ B= 4x
∠ θ + ∠ B = 180°
∠θ
+ ∠ B = 180º
∠ B = 180º - ∠ θ
∠ B = 180º - 55º
∠ B = 125º
2x + 4x = 180º
6x = 180º
180º
x = 30º
x=
6
∠ B= 4x ∴ ∠ B = 4(30º) ∠ B= 120º
∠ θ = 2x ∴ ∠ θ = 2(30º)
∠ θ = 60º