Tema 2: Espacios Vectoriales Base y Dimensión de un espacio

Tema 2: Espacios Vectoriales
Base y Dimensión de un espacio (subespacio) vectorial
Álgebra Lineal
Curso 2004-2005
Prof. Manu Vega
1.
Base y dimensión de un espacio (subespacio) vectorial
Se dice que un conjunto de vectores D = {ū1 , ū2 , ..., ūn } forman una base del espacio vectorial
V si los vectores de {D} pueden generar todo el espacio vectorial V y si dichos vectores son
linealmente independientes. La dimensión del espacio vectorial V es igual al número de vectores
que constituyen su base.
De la misma manera, se dice que un conjunto de vectores E = {v̄1 , v̄2 ,..., v̄n } forman una
base del subespacio vectorial S si los vectores de {E} pueden generar todo el subespacio vectorial
S y si dichos vectores son linealmente independientes. La dimensión del subespacio vectorial S
es igual al número de vectores que constituyen su base, y se denomina cardinal de V (cardV ),
al número de vectores de la base.
Nota
Un conjunto D = {ū1 , ū2 , ..., ūn } es una base de V si todo vector de V puede escribirse de
forma única como combinación lineal de los vectores de D. Se dice que un espacio vectorial V
es de dimensión finita n o n-dimensional si
dim V = n ∈ N
1.1.
1.
Propiedades
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Entonces todas las bases de V tienen el
mismo número de elementos. El espacio vectorial {0} tiene dimensión 0 por definición.
Cuando un espacio vectorial no es de dimensión finita, se dice que es de dimensión infinita.
2.
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n, cualquier conjunto de n+1 o más vectores
son linealmente dependientes.
1
Corolario a la propiedad:
(i) Todo conjunto de vectores linealmente independiente de n elementos es base de V .
(ii) Todo conjunto de vectores de n elementos que sea sistema generador es base de V .
(iii) Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n, entonces cualquier conjunto que resulte
de eliminar un vector de una base de V es linealmente independiente.
(iv) Supongamos que D genera un espacio vectorial V , entonces, cualquier número máximo de
vectores linealmente independientes en D es una base de V .
1.2.
1.2.1.
Teoremas de la dimensión
Primer teorema de la dimensión
Sea S un subespacio vectorial del espacio vectorial V n-dimensional. Entonces dim S ≤ n.
Si, en particular, dim S = n necesariamente S = V . ”La dimensión de cualquier subespacio S
de V es menor o igual que la dimensión del espacio”
dim S ≤ dim V.
1.2.2.
Segundo teorema de la dimensión
Sean S y T dos subespacios vectoriales de dimensión finita de una espacio vectorial V sobre
un cuerpo k. En este caso S + T tiene dimensión finita y se cumple
dim (S + T ) = dim S + dim T − dim (S ∩ T ) .
Nota
Observese que si S y T son suplementarios entonces S ∩ T = 0 y resulta
dim (S + T ) = dim S + dim T.
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