EN TORNO AL ARGUMENTO MAESTRO DE DIODORO CRONOS

EN TORNO AL ARGUMENTO MAESTRO
DE DIODORO CRONOS
Manuel González Riquelme
diodoro@teleline.es
RESUMEN
El Argumento Maestro de Diodoro Cronos fue muy debatido en la Antigüedad. Marca el
comienzo de un largo debate sobre cuestiones tan importantes como determinismo e
indeterminismo, naturaleza de los condicionales y futuros contingentes. Este artículo es un
breve repaso de algunos de estos puntos. Su propósito es derivar el interés hacia estos lugares y subrayar la importancia de Diodoro Cronos a este respecto.
PALABRAS CLAVE: Diodoro de Cronos, determinismo, indeterminismo, condicionales, futuros
contingentes.
«About the Master Argument of Diodorus Cronus». The Master Argument of Diodorus
Cronus was very debated in the Antiquity. It marks the beginning of a long debate on
questions so important as determinism vs. indeterminism, nature of conditionals and
contingent futures. This article is a brief review to some of these points. Their purpose is to
raise the interest for these topics and to highlight the importance of Diodorus Cronus in
this respect.
KEY WORDS: Diodoro Cronos, Determinism, indeterminism, conditionals, contingent futures.
1. PRELIMINARES
Diodoro Cronos (340-280 a. C.) nació en Iaso de Caria, vivió en la corte de
Alejandría durante el reinado de Ptolomeo Soter. Diodoro tomó su sobrenombre de
su maestro Apolonio Crono. Se le llamó «el lógico» y «el máximo lógico». Casi nada
se sabe de la filosofía de Diodoro salvo dos importantes definiciones: 1ª) Una proposición es posible, si y sólo si es verdad o será verdadera; 2) una proposición condicional es
verdadera, si y sólo si ni es ni fue posible que el antecedente sea verdadero y el consecuente
falso. Dejaremos a un lado la implicación diodórica para centrarnos en la primera
definición. Como queda dicho, para Diodoro lo posible es lo que es o será verdadero. Debemos a Boecio las definiciones diodóricas de los términos «imposible», «necesario» y «no necesario». Lo imposible es lo que, siendo falso, no puede ser verda-
REVISTA LAGUNA, 9; julio 2001, pp. 177-185
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ABSTRACT
dero; lo necesario es lo que, siendo verdadero, no será falso; lo no necesario es lo que
es o será falso. Esta es ya, por sí misma, una clasificación de las proposiciones atendiendo a su forma modal1.
Pero sigamos, es para justificar su definición de lo posible por lo que construyó su famoso Argumento Maestro o Capital entendido por los antiguos como
una prueba eficaz a favor del fatalismo. Consistía en yuxtaponer tres proposiciones
de las cuales las dos primeras se consideraban impuestas por su evidencia y la tercera
se presentará como una negación de la definición diodoriana de lo posible:
1ª) Toda proposición verdadera que se refiere al pasado es necesaria.
2ª) Lo imposible no se sigue de lo posible.
3ª) Algo que ni es verdadero ni lo será es posible2.
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En el espíritu de Diodoro estas proposiciones eran incompatibles. La evidencia que era difícil negar a las dos primeras obligaba a concluir rechazando la
última, es decir, a admitir que «si no es verdad ni será verdad que p, no es posible que
p», proposición que por ley de De Morgan autorizaba a Diodoro a considerar como
interdefinible a la proposición «si es posible que p, entonces es verdad que p o será
verdad que p». Veamos esto: «si no es verdad que p ni será verdad que p, no es posible
que p». Traducido a un lenguaje formal, obtendríamos: ¬p$G¬p = ¬Mp. Así como
«si es posible que p, entonces es verdad que p o será verdad que p», que traducido a un
lenguaje formal quedaría de la siguiente manera: p4Fp = Mp. Veremos como posibilidad e imposibilidad resultan interdefinibles:
p4Fp = Mp
p4Fp = ¬(¬p$G¬p), esto es la negación de la tercera tesis diodoriana
p4Fp = p4¬G¬p, por la ley de De Morgan,
p4Fp = p4Fp
De igual modo:
¬p$G¬p = ¬Mp,
¬p$G¬p = ¬(p4Fp), y de aquí, por la ley de De Morgan,
¬p$G¬p = ¬p$¬Fp, por lo que,
¬p$G¬p = ¬p$G¬p.
1
Cf. B. Mates, Lógica de los Estoicos. Madrid, Tecnos, 1985, p. 69 (v.o. B. Mates, Stoic
Logic. Berkeley y Los Angeles, University of California Press, 1973)
2
Varios autores hacen mención de él pero únicamente es tratado por Epicteto. Benson
Mates, op. cit., p. 71.
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2. PRIMERAS CONSECUENCIAS
Cleantes y su escuela aceptaron las proposiciones segunda y tercera, en tanto que rechazaban la primera; Crisipo aceptaba la primera y la tercera mientras que
negaba la segunda. Parece que nadie negó la incompatibilidad de las tres proposiciones. Pero ¿por qué son incompatibles las tres proposiciones? Muchas respuestas.
Entre ellas, Zeller piensa que Diodoro confundía la consecuencia lógica con la consecuencia temporal. Puede ser. Y que su argumento venía a ser este:
¿Tenía razón Zeller? No. No creo que Diodoro confundiera la consecuencia
lógica con la consecuencia temporal. En el debate con filón de Megara queda claro
que la implicación filónica puede expresarse como la implicación russelliana p→q,
fórmula exactamente equivalente a ¬(p$¬q), no podemos, en cambio, dar una formalización conveniente a la implicación diodoriana más que apelando a variables
de tiempo: «sea cual sea el momento t, no se puede dar jamás que p sea verdadera en t y
q sea falsa en t». Lo que podríamos simbolizar como œt¬[Tt(p)$¬Tt(q)]. Según
Diodoro un condicional es verdadero si se satisfacen dos requisitos: 1ª) no es posible que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso; y 2ª) no fue posible que
el antecedente fuera verdadero y el consecuente fuera falso, como señala Benson
Mates, si nos remitimos a la definición diodórica de «es imposible», hallamos que la
condición primera nos informa de que la negación del condicional no es ahora
verdadera en sentido filónico y no lo será en el futuro. La condición segunda añade
que la negación del condicional tampoco fue verdadera en el pasado. Así pues, si se
satisfacen las condiciones primera y segunda —de hecho la condición segunda por
sí sola basta, pero sonaría a paradoja—, la negación del condicional no fue, ni es, ni
será verdadera.
Debemos recordar que el antecedente y el consecuente de un condicional
diodórico son funciones proposicionales, que contienen tácitamente una variable
temporal libre; en tanto que los componentes de un condicional filónico son proposiciones. Así, esto es lo más interesante, junto con Benson Mates, podemos decir
que en correspondencia con cada condicional diodórico tenemos un número infinito de condicionales filónicos (uno para cada momento de tiempo). El condicional
diodórico es verdadero si todos estos condicionales filónicos son verdaderos; pero si
hay un tiempo t tal que el condicional filónico que corresponde a este t es falso,
3
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Ibídem, p. 72.
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Supongamos (de acuerdo con 3) que hay una proposición que es posible pero que
ni es ahora verdadera, ni lo será. En tal caso, su negación es ahora verdadera y será
verdadera siempre. En cuanto el presente se haga pasado, la negación de la proposición se hará necesaria (según la primera tesis). Pero si su negación se hace necesaria, la proposición misma se convierte en imposible. De este modo, una proposición que era posible se habrá convertido en imposible, violando la segunda tesis de
Diodoro3.
entonces es falso el condicional diodórico. El condicional filónico sería un tipo más
débil de condicional.
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3. NECESIDAD EN EL INSTANTE DADO
Dejaremos de lado el debate de los condicionales e incluso aquél que iguala
la implicación diodoriana a la implicación estricta de Lewis. Ahora volvamos a su
Argumento Principal. Diodoro no está definiendo la «Necesidad» sin más, sino la
necesidad en un instante dado y lo mismo cabe decir de las demás modalidades.
Para la tradición megárico-estoica lo posible es lo que está realizado en algún tiempo, de igual modo, lo necesario es lo que está realizado en todo tiempo. Diodoro
introduce un matiz fundamental como el de Necesidad en un instante dado, Posibilidad en un instante dado y así sucesivamente. Pues bien, si los enunciados cambian
de valor de verdad también cambia de modalidad de acuerdo con las definiciones.
Pero no todos los cambios son permitidos por Diodoro. Pues un argumento puede
ser posible en un instante dado y necesario con posterioridad. Por ejemplo, «Se
firmará un acuerdo pesquero con Marruecos». Es posible que se firme un acuerdo con
Marruecos en materia de pesca en el instante en el que escribo, tal acuerdo será
necesario una vez se haya firmado. Hemos de advertir que cuando una proposición
sea necesaria o imposible no podrá cambiar su valor de verdad ni su modalidad de
acuerdo con las definiciones diodorianas. Pero ¿es esto cierto? La primera tesis del
Argumento diodoriano advierte claramente que una proposición verdadera que se
refiere al pasado es necesaria. En la base de esta argumentación está la creencia de
que el pasado está cerrado y es, a su vez, incontestable. Aristóteles indicó esta circunstancia en la Ética a Nicómaco «Nadie delibera acerca del pasado, sino acerca de lo
que está aún por venir y es por ello posible, en tanto que el pasado no puede ya dejar de
haber acontecido; Agazón tiene razón cuando afirma: ‘Este es el único poder del que
hasta Dios se halla desprovisto, a saber, el de lograr que lo ya hecho no haya sucedido»4.
¿Pero es esto efectivamente así?. La proposición «El río Segura arrojó un olor nauseabundo» es verdadera en el instante en el que la enuncio, pero no es necesaria, en el
sentido en que Diodoro define «Necesidad», pues puede que hoy no sea ese el caso
ni mañana.
Respecto de su segunda tesis, «Lo imposible no se sigue de lo posible». Es algo
convenido por Lógica Modal. Lo imposible y lo posible son contradictorios.
Finalmente, el rechazo de su tercera tesis conduciría a su definición de la
posibilidad como aquello que «es o será». Ya vimos como El Argumento da pie a
ciertas ambigüedades como la sugerida por Zeller.
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Cf. Ética a Nicómaco, VI, 2, (1139b7-11).
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4. DESARROLLOS POSTERIORES
Por su parte, A. N. Prior en su libro Past, Present and Future, usa operadores
modales y temporales en su reconstrucción. Interpreta la consecuencia lógica
Diodoriana como implicación estricta. Sostiene que las dos primeras tesis que
Diodoro tiene en cuenta pueden ser reformuladas como sigue:
(1) Si ha sido el caso anteriormente, ahora no puede no haber sido el caso
(Pp→¬M¬Pp).
(2) Si p necesariamente implica q, entonces si q es imposible, p es imposible también L(p→q)→(¬Mq→¬Mp).
Y el rechazo de la tercera, lo que Diodoro prueba como derivada de estas
dos, queda representada como sigue:
(3) Si ninguna cosa es verdad y no será verdad, es imposible (¬p$¬Fp)→¬Mp.
(4) Si una cosa es el caso, necesariamente se sigue que siempre ha sido el caso que
sería el caso L(p→HFp) o, lo que es lo mismo, en todos los eventos necesariamente no ha sido nunca el caso de que sería el caso L(p→¬P¬Fp), y
(5) De cualquier cosa que es y será falsa (es decir, que nada es ni será verdad), ha sido
ya el caso que siempre será falsa (¬p$¬Fp) →P¬Fp.
Adoptando estas premisas, el argumento puede, efectivamente, tomar la
diodórica conclusión. Esquemáticamente, esto queda así:
(¬p$¬Fp) →P¬Fp, por (5).
→¬M¬P¬Fp, por (1), hemos sustituido p por ¬Fp de tal manera que si en
(1) teníamos Pp→¬M¬Pp, es fácil llegar a la conclusión que estimamos.
→¬Mp, por (4) y por (2) sustituyendo q por ¬P¬Fp, es decir,
L(p→¬P¬Fp)→(¬M¬P¬Fp→¬Mp), es decir, lo que no es ni será es imposible. De esta manera, Prior resuelve el trilema diodoriano.
Es así, como A. N. Prior resuelve el Argumento Maestro de Diodoro para
concluir con él que una cosa que no es ni será verdadera es imposible que suceda5.
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Cf. A. Prior, Past, Present and Future. Oxford, Oxford University Press, 1967, pp. 32-33.
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Según Prior, hay algo que no cuadra en esta definición. Por esta razón intentó encontrar algunas adiciones que hicieran el argumento válido. Tales premisas
no pueden incluir la definición diodoriana de lo posible como lo que es o será
verdad. Las premisas adicionales que sugirió son las dos siguientes:
Junto con William y Martha Kneale:
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El Argumento Soberano, reposa, así, sobre una ambigüedad. Lo que se dice necesario en la primera proposición no es lo mismo que se considera imposible en la
segunda». Todo enunciado verdadero acerca del pasado es necesario en la medida
en que lo que se dice en él que ha pasado ha sucedido de verdad. Pero no es un
enunciado acerca del pasado en el sentido de que se siga de un enunciado falso
acerca del futuro, sino sencillamente un enunciado en tiempo pasado. No hay más
razón para atribuir carácter de imposible a un enunciado semejante que para atribuirlo al enunciado en tiempo de futuro del cual fue derivado. Así, pues, el Argumento Soberano falla en tanto que argumento en pro del determinismo6.
Creo que es una distinción importante, es decir, lo que se considera necesario en la primera proposición no es lo mismo que lo que se considera imposible en
la segunda. La negación de lo necesario no es lo imposible sino lo contingente. En
este sentido, lo que se dice necesario en la primera proposición tiene diferente estatus
modal respecto a lo que se dice imposible en la segunda tesis. Por tanto, no considero lícito pensar que lo que fue falso en el pasado es porque era imposible que se
realizara, puede, en su lugar, tener un carácter contingente.
Por un lado, parece que Diodoro extrae unas consecuencias deterministas
dadas su definición de lo necesario y lo posible. Diodoro quiere oponerse a De
interpretatione, y a la noción aristotélica de «Potencia» para hablar de lo que es como
aquello que es actual. Aristóteles pone en duda que sea necesario admitir que si es
ahora verdad que un acontecimiento tendrá lugar, es falso que no tendrá lugar, y
que si es ahora falso que tendrá lugar, es ahora verdadero que no tendrá lugar. Para
Aristóteles, todas las proposiciones son verdaderas o falsas con excepción de aquéllas que afirman que algo pasará o no pasará en el futuro, es decir que se refieren a
un futuro contingente. Estas proposiciones no son verdaderas porque no ha ocurrido aquello de que se trata, pero tampoco son falsas porque no afirman que algo no
es o no niegan que algo es. Sin embargo, la disyunción de una de tales proposiciones
con la negación de ella es necesariamente verdadera. Aristóteles da un ejemplo en su
Física 19a20-30: «necesariamente, mañana habrá o no habrá una batalla naval pero
no que sea necesario que mañana se produzca una batalla naval ni que sea necesario que
no se produzca; sin embargo, es necesario que se produzca o no se produzca». De acuerdo con Jaakko Hintikka en su libro El viaje filosófico más largo7, En contra de la
tradición megárico-estoica Aristóteles trata de evitar conclusiones deterministas con
un desplazamiento de su foco de atención desde enunciados del tipo p en el tiempo
t0 hacia enunciados no limitados en sentido temporal:
6
Cf. W. y M. Kneale, El desarrollo de la lógica. Madrid, Tecnos, 1980, p. 115 (v.o. W. y
M. Kneale, The Development of Logic. Oxford, Oxford University Press, 1962).
7
Cf. J. Hintikka, El viaje filosófico más largo: de Aristóteles a Virginia Wolf. Barcelona,
Gedisa, 1998, pp. 70-73.
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No se preocupa, podemos decir, acerca de la implicación «si (posiblemente p en
t0), entonces (p en t0)», porque o se olvida o menosprecia los tipos de oraciones que
tienen lugar como su antecedente y consecuente.
Según Hintikka, Aristóteles considera que los enunciados de posibilidad
son todos enunciados de frecuencia de tal manera que no tiene mucho sentido
hablar de posibilidad respecto de un momento singular de tiempo si posibilidad se
entiende como probabilidad, en tal caso, los enunciados de posibilidad son enunciados de frecuencia, razón por la cual involucran un conjunto de casos. Decir que
un acontecimiento individual es posible es para él una manera de decir que la frecuencia relativa de los acontecimientos es diferente de cero.
5. LA IDEA DEL TIEMPO RAMIFICADO
A diferencia de Newton y de Schopenhauer, su antepasado no creía en un tiempo
uniforme, absoluto. Creía en infinitas series de tiempos, en una red creciente y vertiginosa de tiempos, divergentes, convergentes y paralelos. Esa trama de tiempos que
se aproximan, se bifurcan, se cortan o que secularmente se ignoran, abarca todas las
posibilidades. No existimos en la mayoría de esos tiempos; en la mayoría existe usted
y no yo; en otros, yo, no usted; en otros los dos. En éste, que un favorable azar me
depara, usted ha llegado a mi casa; en otro, usted al atravesar el jardín, me ha encontrado muerto; en otro yo digo estas mismas palabras, pero soy un error, un fantasma8.
La idea del tiempo ramificado fue sugerida a A. N. Prior por primera vez en
una carta de Saul Kripke el 3 de septiembre de 1958. Esta carta contenía una idea
inicial del sistema del tiempo ramificado:
En un sistema indeterminado, quizás no consideremos el tiempo como una serie
lineal, como usted ha hecho. Desde el instante presente, son varias las posibilidades a través de las cuales el instante siguiente pueda darse (...) y para cada siguiente
momento, tenemos varias posibilidades. Por tanto la situación adopta la forma, no
de una secuencia lineal, sino de un árbol9.
8
Jorge Luis Borges, Ficciones, «El jardín de los senderos que se bifurcan». Alianza. LB320, p. 114.
Cf. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Entrada Arthur Prior. 1996, 1999. J. Copeland.
University of Canterbury.
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Finalmente, diremos que si el tiempo se entiende de una manera lineal es
difícil escapar a un cierto tipo de fatalismo o determinismo si aceptamos las definiciones diodorianas de Posibilidad y Necesidad. Pero que si el tiempo se entiende de
forma ramificada ambas tesis pueden aceptarse claramente y es fácil ver como el
determinismo se desvanece. La idea de un tiempo ramificado estaba en el contexto
lógico-cultural de los años 40 y 50. La obra de Borges El jardín de los senderos que se
bifurcan del año 41 desarrolla esta idea:
Prior se entusiasmó mucho con esta carta y la pasó a Ivo Thomas y John
Lemmon. Kripke escribió de nuevo a Prior el 3 de Octubre de 1958.
Sugirió que podemos considerar el presente como un punto de alineación 0
y los posibles sucesos o estados en el momento siguiente como puntos de alineación
1; por cada posible estado hay varios posibles futuros al momento siguiente desde la
alineación 1, el conjunto que podemos señalar como alineación 2, y así sucesivamente. De esta manera, es posible formar una estructura de árbol que está representando todos los futuros posibles que pueden expandirse desde el presente (alineación 0) —efectivamente, un conjunto de futuros posibles puede identificarse por
algún estado, o nudo en el árbol—. En esta estructura, cada punto determina una
subestructura consistiendo éstos mismos su presente y futuros propios10.
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Alineación 1
Alineación 2
Alineación 3
Prior mejora este esquema e incorpora la idea de la estructura ramificada en
el tiempo mismo:
E8
E4
E2
E9
E5
E10
E0
E1
E6
E3
E11
E12
E7
E13
10
Cf. P. Æhrstrom y P. Hasle, Temporal Logic from Ancient Ideas to Artificial Intelligence,
Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1995, pp. 189-191.
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En relación con el suceso E5, el pasado contiene la disposición lineal de
sucesos representados por E0, E1 y E2. Si consideramos E5 en el momento presente,
los sucesos E9 y E10 son alternativas futuras posibles. En relación con E5, los sucesos
E4, E6 y E7 pueden ser considerados como contrafácticos, esto es, si E5 nunca se realizó, E4, E6 y E7 son efectivamente siguientes posibilidades de realización. Cada Enudo representa un conjunto de sucesos y hechos. Si dos hechos pertenecen al mismo nudo, como en E5, entonces pueden ser considerados como simultáneos con E5,
E4, E6 y E7, la otra rama representa una pseudosimultaneidad con E5, la cual, puede
ser real bajo diferentes condiciones contrafácticas.
Otros autores como Nicholas Rescher11 reaccionaron contra la «rendición»
de Prior del tiempo ramificado. En Rescher tenemos una «ramificación en el tiempo» pero no un «tiempo ramificado12». Storrs McCall señala que el paso del tiempo
es equivalente a la pérdida de las posibilidades13. Esta observación enfatiza como el
tiempo ramificado es dirigido solo hacia el futuro, esto es, por algún punto en el
sistema que allí existe sólo como posible pasado. Desde luego, el problema del estatus
ontológico del futuro posible es algo complicado.
En resumen, no profundizaremos en esta idea del tiempo ramificado ya que
nuestro trabajo se alargaría aún más, pero es evidente que con el modelo de árbol necesidad, y posibilidad se pueden hacer relativas a instantes y a ramas. De modo que lo que
resulte necesario en una rama no tiene por qué darse del mismo modo en otra. Fatalismo
y determinismo desaparecen por sí mismos. Resta decir que Diodoro fue un pionero en
muchos sentidos. En primer lugar, fue el primero en introducir consideraciones modales-temporales en la historia de la Lógica; en segundo lugar, y en relación con lo anterior,
suscitó el problema de la implicación material y estricta en su disputa con Filón de
Megara, tal y como siglos después harían Bertrand Russell y C. I. Lewis; continuó el
debate abierto en De interpretatione IX, por Aristóteles sobre los futuros contingentes y
su valor de verdad, en relación con lo cual quedaba abierta la vía a una lógica alternativa
polivalente como la desarrollada por Lukasiewicz en los años veinte que cuestionaba la
validez del Principio de Bivalencia y el Principio de Tercio Excluso; dependiendo de lo
anterior, levantó la polémica en torno al fatalismo en relación con el libre albedrío; y,
definitivamente, estableció las bases de lo que a partir de los años 50, y representada en
la figura de A. N. Prior, sería la Lógica Temporal.
11
P. Øhrstrøm y P. Hasle, op. cit., pp. 183-220, aluden a N. Rescher, «Truth and Necessity
in Temporal Perspective», en R. Gale (Ed.) The Philosophy of Time, New Jersey, 1968.
12
«To Rescher we have a «branching in time», but not «branching of time»». En P. Øhrstrøm
y P. Hasle, ibídem, p. 192.
13
«The passing of time is equivalent a loss of possibilites!», en S. McCall, «Objective Time
Flow», Philosophy of Science, vol. 43 (1976), pp. 337-362.
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6. RECAPITULACIONES