Cimat

El Proceso de Poisson en
Confiabilidad
Enrique Villa Diharce
Verano de Probabilidad y Estadística 2009
CIMAT, Guanajuato, Gto. 15 de Julio de 2009.
Resumen:
El objeto de estudio en confiabilidad son la fallas de
componentes o sistemas, por esta razón una parte
importante de los estudios en confiabilidad, consiste en
modelar procesos de falla y estimar las cantidades de
interés, como son principalmente: tasas de falla, y tiempo
esperado de falla.
En esta platica se discute la modelación de procesos de
fallas utilizando procesos de Poisson, ilustrando, como
diferentes restricciones de los procesos de fallas pueden ser
consideradas a través de diferentes tipos de procesos de
Poisson. Se ilustran los modelos considerados, con
ejemplos de datos de confiabilidad reales.
Contenido
Sistemas y componentes no reparables
Sistemas reparables
Procesos de Poisson
Homogéneo
No homogéneo
Inferencia
Calidad a través del tiempo
LSE
tiempo
LIE
1.0
Confiabilidad: Probabilidad de estar
dentro de especificaciones
0
Modelos de confiabilidad
Los tiempos de vida de la unidades que fallan, tienen un
patrón aleatorio.
Para modelar los tiempos de vida o tiempos a la falla
utilizamos variables aleatorias no negativas.
Toda la información de una variable aleatoria se
encuentra en su distribución.
La materia prima en los estudios de confiabilidad son
los tiempos de vida de las unidades estudiadas.
Funciones de confiabilidad:
Función de distribución acumulada
Función de confiabilidad
F (t ) = P (T ≤ t )
C (t ) = P(T > t ) = 1 − F (t )
Función de densidad de probabilidades
Función de riesgo
h(t ) = f (t ) / C (t )
Función de riesgo acumulado
También se cumple:
f (t ) = dF (t ) / dt
t
H (t ) = ∫ h(u )du
0
C (t ) = exp{− H (t )}
Función de riesgo
dF (t ) / dt
h(t ) = f (t ) / C (t ) =
C (t )
F (t + δ ) − F (t )
1 P (T ≤ t + δ ) − P (T ≤ t )
= limδ →0
= limδ →0
δC (t )
δ
P (T > t )
1 P (t < T ≤ t + δ )
1
= limδ →0 P (t < T ≤ t + δ | T > t )
= limδ →0
δ
P (T > t )
δ
Para delta pequeña:
h(t ) ≅ δ × P (t < T ≤ t + δ | T > t )
Distribuciones más comunes en confiabilidad
Distribución Exponencial
f (t ) = λ exp(−λt )
F (t ) = 1 − exp(−λt )
C (t ) = exp(−λt )
h(t ) = λ
Esta distribución modela adecuadamente el patrón de falla de
componentes que no envejecen, como por ejemplo algunos
componentes electrónicos.
0.0
0.6
0.2
1.0
0
1.0
1
1
2
3
2
3
Tiempo
4
4
5
0.6
1.4
0
0.4
0.8
1.2
Confiabilidad
0.8
Riesgo
0.0
0.0
0.2
0.2
0.6
0.4
0.6
Distribución
0.4
Densidad
0.8
0.8
1.0
1.0
Distribución Exponencial λ = 1, θ = 1 / λ = 1
5
0
0
1
1
2
Tiempo
Tiempo
2
Tiempo
3
4
5
3
4
5
Distribuciones más comunes en confiabilidad
Distribución Weibull
f (t ) = ( β / η )(t / η ) β −1 exp[−(t / η ) β ]
β
F (t ) = 1 − exp(−(t / η ) )
C (t ) = exp(−(t / η ) β
h(t ) = ( β / η )(t / η ) β −1
Esta es una distribución muy flexible, que puede modelar
patrones de falla con función de riesgo constante, creciente o
decreciente. El parámetro de forma es β y η es el
parámetro de escala.
β = 2, σ = 1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.0
0.2
pweibull(tiempo, 2, 1)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
dweibull(tiempo, 2, 1)
Distribución Weibull
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.0
0.5
1.0
2.5
3.0
2.0
2.5
3.0
tiempo
0.8
0.6
0.4
0.0
0.2
1 - pweibull(tiempo, 2, 1)
6
5
4
3
2
1
0
2 * tiempo
2.0
1.0
tiempo
1.5
0.0
0.5
1.0
1.5
tiempo
2.0
2.5
3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
tiempo
Distribuciones más comunes en confiabilidad
Distribución Lognormal
f (t ) = (1 / tσ )φ[(ln(t ) − μ ) / σ ]
F (t ) = Φ[(ln(t ) − μ ) / σ ]
C (t ) = 1 − Φ[(ln(t ) − μ ) / σ ]
h(t ) = f (t ) / C (t )
Esta distribución es muy flexible y frecuentemente compite
con la distribución Weibull en la modelación de patrones de
falla.
0.0
0.2
0
0.8
1.0
1
1
2
3
2
3
Tiempo
4
4
5
0.6
0
0.4
Confiabilidad
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Riesgo
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.4 0.5
Distribución
0.1 0.2 0.3
Densidad
Distribución Lognormal
5
μ = .5, σ = .5
0
0
1
1
2
Tiempo
Tiempo
2
Tiempo
3
4
5
3
4
5
Componentes o sistemas noreparables:
Son aquellos que al fallar se eliminan.
Componentes o sistemas reparables:
Tenemos este tipo de componentes,
cuando al fallar se reparan y vuelven a
funcionar.
Proceso de Poisson
Falla y se repara
0
t1 t 2
t3
t 4 t5
t6
t7
Proceso de Poisson
7
6
N(t)
5
4
3
2
1
0
t1 t 2
t3
t 4 t5
t6
t7
Proceso de Poisson
Un proceso estocástico {N (t ), t ≥ 0} es un proceso de conteo si
N(t) satisface
1. N( 0 ) = 0.
2. N (t ) es entero.
3. Si s < t , entonces N ( s ) ≤ N (t ).
4. Para s < t , [ N(t)-N(s)] representa el número de fallas que
han ocurrido en el intervalo (s, t].
Proceso de Poisson
Tasa del proceso. La tasa del proceso de conteo al tiempo es :
d
d
λ (t ) = W (t ) = E[ N(t)],
dt
dt
donde W (t ) = E[ N(t)] denota el número medio de fallas en el
intervalo de tiempo (s, t].
ROCOF
Cuando los eventos de un proceso de conteo son fallas, la tasa
λ(t) del proceso se llama tasa de ocurrencia de fallas (ROCOF).
Proceso de Poisson
El proceso de conteo {N (t ), t ≥ 0} es un PPH que tiene una
tasa λ ≥ 0, si
1. N( 0 ) = 0.
2. El proceso tiene incrementos independientes.
3. Existe una función λ (t) tal que
4.
P ( N (t , t + Δt) = 1)
λ (t) = lim Δt →0
.
Δt
P ( N (t , t + Δt) = 1)
λ (t) = lim Δt →0
.
Δt
Proceso de Poisson
El proceso de conteo {N (t ), t ≥ 0} es un PPH que tiene una
tasa λ ≥ 0, si
1. N( 0 ) = 0.
2. El proceso tiene incrementos independientes.
3. Para cualesquier a < b, N ( a, b] tiene distribuci ón
Poisson con media
b
E ( N ( a, b]) = ∫ λ (t)dt.
a
Proceso de Poisson
7
6
N(t)
5
4
3
2
1
0
W (t )
t1 t 2
t3
t 4 t5
t6
t7
Proceso de Poisson
7
6
5
4
3
2
1
0
N(t)
W (t )
t1
t2
t3 t 4
t5 t 6 t 7
Proceso de Poisson
W (t )
7
6
5
4
3
2
1
N(t)
0t
1
t 2 t3 t 4
t5
t6
t7
Proceso de Poisson
Ejemplo. Suponga que un proceso de Poisson tiene función
de intensidad
λ (t ) = 0.002t 1.25
La función media es
b
b
a
a
Λ (t) = ∫ λ (x)dx = ∫ 0.002x 1.25 dx = 0.00089t 2.25 .
El número de fallas N en el intervalo [50,100] tiene una
distribuci on Poisson con media
100
Λ (199) − Λ (50) = ∫ 0.002x 1.25 dx = 22.2.
50
asi, la probabilidad de tener 30 o mas fallas en el intervalo [50,100] es
exp(-22.2)22.2 n
≅ 0.0658.
∑n =30 P(N = n) =∑n =30
n
∞
∞
Proceso de Poisson
El proceso de conteo {N (t ), t ≥ 0} es un PPH que tiene una
tasa λ ≥ 0, si
1. N( 0 ) = 0.
2. El proceso tiene incrementos independientes.
3. El número de eventos en cualquier intervalo de longitud t tiene
distribuci ón Poisson con media λt. Esto es, para todo s, t > 0,
(λ t ) n − λ t
P ( N (t + s ) − N ( s ) = n) =
e , n = 0,1,2,...
n
Proceso de Poisson
7
6
5
4
3
2
1
0
x1
x2
t1 t 2
x4
x3
x5
x7
x6
N(t)
t3
t 4 t5
t6
t7
Un proceso es un PPH con intensidad λ , si y solo si los
tiempos entre fallas son v.a.i.i distribuidas exponencialmente,
con media θ = 1 / λ .
Proceso de Poisson
Ejemplo. Se tienen los tiempos en horas de operación de
acciones de mantenimiento no programado de un motor de
diessel del submarino USS Grampus, Lee (1980).
860
1258
1317
1442
1897
2011
2122
2439
3203
3298
3902
3910
4000
4247
4411
4456
4517
4899
4910
5676
5755
6137
6221
6311
6613
6975
7335
8158
8498
8690
9042
9330
9394
9426
9872
10191
11511
11575
12100
12126
12368
12681
12795
13399
13668
13780
13877
14007
14028
14035
14173
14173
14449
14587
14610
15070
30
20
10
0
Num. de falla
40
50
Proceso de Poisson
2000
4000
6000
8000
Tiempo(Horas)
10000
12000
14000
Proceso de Poisson
Tiempos en que falla y se repara el motor. Aquí se
considera despreciable el tiempo que tarda la
reparación.
860
1258
1317
1442
1897
2011
2122
2439
3203
3298
3902
3910
4000
4247
4411
4456
4517
4899
4910
5676
5755
6137
6221
6311
6613
6975
7335
8158
8498
8690
9042
9330
9394
9426
9872
10191
11511
11575
12100
12126
12368
12681
12795
13399
13668
13780
13877
14007
14028
14035
14173
14173
14449
14587
14610
15070
Proceso de Poisson
Tiempos entre fallas(y reparaciones) del motor.
860
398
59
125
455
114
111
317
764 61
95 382
604 11
8 766
90 79
247 382
164 84
45 90
302 64
362 32
360 446
823 319
340 1320
192
64
352 525
288
26
242 21
313
7
114 138
604
0
269 276
112 138
97
23
130 460
Proceso de Poisson
Probability Plot of xGrampus
Exponential - 95% CI
99.9
Mean
N
AD
P-Value
Percent
99
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
3
2
1
1
10
100
xGrampus
1000
274.0
55
0.296
0.827
Proceso de Poisson
Ejemplo. Las fallas de un sistema reparable son modeladas
por un proceso de Poisson con una tasa de fallas
λ (t ) = 1 / 50, 0 ≤ t ≤ 365,
con el tiempo medido en días. La compañía que posee esta
máquina tiene tres opciones para el plan de mantenimiento
anual. Cual de las siguientes tres opciones es mejor?
Plan de Mantenimiento 1:
$12,000 sin cargo por cada reparación.
Plan de Mantenimiento 2:
$4,000 mas $1,000 por cada reparación.
Plan de Mantenimiento 3:
$1,500 por cada reparación.
Proceso de Poisson
Ejemplo.
Costo esperado:
EC (t ) = c0 + c1 E{N (0,365]}
EC (t ) = 12,000 + 0 × 7.3 = 12,000
EC (t ) = 4,000 + 1,000 × 7.3 = 11,300
EC (t ) = 0 + 1,500 × 7.3 = 10,950
Utilizando como criterio el costo esperado, el mejor plan de
mantenimiento es el último.
PPNH Definiciones
Cuando la función de intensidad es constante, tenemos un
proceso de Poisson homogeneo (PPH).
Tenemos un proceso de Poisson no homogeneo (PPNH),
cuando la función de intensidad no es constante.
PPNH Definiciones
El PPNH es un modelo adecuado para un sistema reparable
con reparación mínima, esto es, una reparación que consiste
en reemplazar o restaurar solo un número pequeño de
componentes del sistema.
Esta reparación dejará al sistema aproximadamente en el
mismo estado (envejecimiento) que se encontraba antes de
fallar.
Dos funciones de intensidad de uso común en confiabilidad
son:
Loglineal : λ (t ) = exp( β 0 + β1t )
Potencia :
λ (t) = γβt β -1
Procesos de Poisson no homogeneos.
Tipo de reparación
Reparación perfecta
o reemplazo
(as good as new)
HPP
Proceso de
renovación
Reparación imperfecta
(reparación normal)
Reparación mínima
(as bad as old)
Modelos de
Reparación
imperfecta
NHPP
Proceso de Poisson
7
6
Reparación perfecta
5
4
3
2
1
0
t1
t2
t3
t4
Proceso de Poisson
7
6
Reparación mínima
5
4
3
2
1
0
t1
t2
Proceso de Poisson
7
6
Reparación imperfecta
5
4
3
2
1
0
t1
t2
t3
t4
Inferencia:
Estimacion y PH
Inferencia:
Estimacion y PH
Esquemas de observación:
Esquema 1. Observamos el sistema en un intervalo de
tiempo (0,t0] y ocurren fallas en los tiempos t1, t2, … ,tn.
Esquema 2. Observamos el sistema hasta la n-ésima falla y
registramos los tiempos t1, t2, …,tn.
Esquema 3. No observamos las fallas y solo conocemos los
números de fallas n1, n2, …,nm en los intervalos ajenos (a1,
b1], (a2, b2], …,(am, bm].
Inferencia:
Estimacion y PH
Esquema 1.
(0, t1 ] 0 fallas
(t1 , t1 + δt1 ) 1 falla
P{N (t1 , t 2 ] = 0}
(t1 + δt1 , t 2 ) 0 fallas
= exp − ∫ ν (t )dt
(t 2 , t 2 + δt 2 ) 1 falla
(t 2 + δt 2 , t3 ) 0 fallas
.....
.....
(t n + δt n , t0 ) 0 fallas
{
t2
t1
P{N (t1 , t 2 ] = 1}
{
t2
}
}
t2
= exp − ∫ ν (t )dt × ∫ ν (t )dt
t1
t1
Inferencia:
Esquema 1.
Función de verosimilitud
L=
{∏
n
} {
t0
(
)
exp
(
)
ν
t
−
ν
t
dt
i
∫
i =1
0
}
Función logverosimilitud
l = ∑i =1 log[ν (ti )] − ∫ ν (t )dt
n
t0
0
Esquema 2.
Las funciones L y l igual que el Esquema 1,
sustituyendo t0 por t n .
Inferencia:
Esquema 3.
Función de verosimilitud
⎛
⎞
ν
(
t
)
dt
⎜
⎟
m
m
∫
b
⎫
⎧
ai
i
⎝
⎠
L = exp⎨− ∑ ∫ ν (t )dt ⎬ ∏
ni
⎭ i =1
⎩ i =1 ai
bi
Función logverosimilitud
bi
bi
⎧
⎡
⎤
l = ∑i =1 ⎨ni log ∫ ν (t )dt − ∫ ν (t )dt ⎫⎬
⎢⎣ ai
⎥⎦ ai
⎩
⎭
m
ni
Inferencia:
Modelo Loglineal, esquema 1.
Función de intensidad
ν (t) = exp( β 0 + β1t)
Función logverosimilitud
l = nβ 0 + β1 ∑i =1 ti −
n
exp( β 0 ){exp( β1t0 ) − 1}
β1
Inferencia:
Matriz de información observada
I = (−∂ l / ∂β 0 ∂β1 )
2
Matriz de varianzas y covarianzas
Cov( β 0 , β1 ) = I
−1
En particular, el error estándar de β̂1 es
se( βˆ1 ) = ⎧⎨βˆ1−1
⎩
{
} (∑ t ) / n⎫⎬⎭
ˆ t − 2) + nt −
t
(
β
∑i =1 i 1 0
0
n
n
i =1 i
2
1/ 2
Inferencia:
Bondad de ajuste. Prueba de Laplace
Hipótesis Nula a probar: El proceso de Poisson es
Homogeneo, esto es, β1 = 0 .
Esta prueba se basa en el estadístico
∑
U=
n
−
(
1
/
2
)
t
nt
0
i
i =1
t0 (n / 12)
1/ 2
Bajo la hipótesis nula, esta estadística tiene una distribución
aproximadamente normal.
Inferencia:
Ejemplo. Fallas del motor del submaríno.
Modelamos de los tiempos de falla no programados, con un
PPNH loglineal, con función de intensidad
λ (t ) = exp( β 0 + β1t )
Los estimadores de máxima verosimilitud de los parámetros,
son los valores que maximizan la función logverosimilitud
l = 56 β 0 + 461731β1 −
exp( β 0 ){exp(15070 β1 ) − 1}
β1
Inferencia:
Ejemplo. Fallas del motor del submarino.
Los estimadores son
βˆ0 = 3.73, βˆ1 = 0.57, se( βˆ1 ) = 0.47
Estos valores sugieren que el valor de βˆ1 no es significativo
estadísticamente. Utilizando la prueba de homogeneidad de
Laplace, tenemos
∑
U=
n
t − (1 / 2)nt0
i =1 i
t0 (n / 12)1/ 2
461731 − 56 ×15070 / 2
=
= 1.22
15070 56 / 12
El valor del estadístico de prueba es muy pequeño, por lo
cual no podemos rechazar la hipótesis de función de
intensidad constante para estos datos.
Crecimiento de la confiabilidad
El objetivo de las pruebas de crecimiento de confiabilidad es
mejorar la confiabilidad a través del tiempo, introduciendo
cambios en el diseño del producto y en el proceso de
manufactura.
Diseño inicial
Prueba de
crecimiento
Evaluación de
confiabilidad
Rediseño
Análisis de
ingeniería
El ciclo del crecimiento de la confiabilidad
Crecimiento de la confiabilidad
M (t )
MTTF objetivo
MF
Mi
MTTF en la i-ésima prueba
MI
MTTF en el ciclo inicial de prueba
t1
ti
El ciclo del crecimiento de la confiabilidad
Crecimiento de la confiabilidad
λ (t )
Tasa de fallas
λ1
λ (t ) = abt
λ2
λ3
t=0
b −1
s1
s2
s3
λ4
s4
Modelo AMSAA de crecimiento de confiabilidad
(Army Material Sistems Analysys Activity , 1984)
Crecimiento de la confiabilidad
Sean 0 < s1 < s2 < ... < sk los tiempos de prueba
acumulados en los que se hacen modificaciones al diseño.
Suponemos que las tasas de falla son constantes entre los
cambios de diseño.
El número de fallas durante el i-ésimo período de prueba,
tiene una función de probabilidad Poisson dada por
[λi ( si − si −1 )] exp( −λi ( si − si −1 ))
P ( N i = n) =
n
n
Crecimiento de la confiabilidad
Si t es el tiempo de prueba acumulado y n(t) es el número
acumulado de fallas al tiempo t de pruebas, entonces
[λ (t )] exp( −λ (t ))
P (n(t ) = n) =
n
n
donde la tasa de fallas acumulada es de la forma
⎧
⎪ λ1t
0 ≤ t < s1
⎪
λ (t ) = ⎨ λ1s1 + λ2 (t − s1 )
s1 ≤ t < s2
⎪λ1s1 + λ2 s2 + λ (t − s2 ) s2 ≤ t < s3
⎪
⎩..........
Crecimiento de la confiabilidad
En la practica se aproxima el modelo por un PPNH con la
función de intensidad de potencia,
λ (t ) = abt b −1
Los procesos de Poisson en confiabilidad son
de gran utilidad para modelar procesos de
fallas en:
Sistemas reparables
Mantenimiento
Crecimiento de la confiabilidad
Confiabilidad de software
GRACIAS