Álgebra lineal y Geometrı́a II Daniel Hernández Serrano Darı́o Sánchez Gómez Departamento de MATEMÁTICAS SEMINARIO III. 2. Geometrı́a Euclı́dea 2.1. Problemas de Geometrı́a Euclı́dea. 14. Demuestra que la aplicación: T 2 R C × C −→ (z, z 0 ) 7→ Im(z · z 0 ) = parte imaginaria de z · z 0 define una métrica simétrica sobre el R-espacio vectorial de los números complejos C = h1, ii y calcula su matriz asociada en la base h1, ii. ¿Es euclı́dea? 15. Demuestra que la aplicación: R3 × R3 → R ((x, y, z), (x0 , y 0 , z 0 )) 7→ xx0 + yy 0 + 3zz 0 − 2xz 0 − 2zx0 define una métrica, calcula su matriz asociada en la base canónica y comprueba que es simétrica. 16. Sea: 0 1 0 G = 1 0 0 0 0 1 la matriz de una métrica T2 . a) Comprobar que es simétrica e irreducible. b) Calcular el subespacio ortogonal a V = h(1, 1, 2), (1, 0, 1)i. ¿Son sumplementarios V y V ⊥ ? c) Calcular el subespacio ortogonal al plano π de ecuación y = 0. ¿Son sumplementarios π y π ⊥ ? 17. En el espacio euclı́deo R3 con la métrica habitual calcula los ángulos que forma la recta: x−1 y−2 z−3 = = 2 2 5 con los ejes coordenados. 18. En el espacio euclı́deo R3 calcula la matriz de la métrica euclı́dea en la base {e1 , e2 , e3 } definida por: √ |e1 | = 1, |e2 | = 2, |e3 | = 2, ∠(e1 , e2 ) = 90o , ∠(e1 , e3 ) = 45o , ∠(e2 , e3 ) = 60o Dados los vectores e = 2e1 − 3e2 y e0 = e1 + e2 − e3 calcula su producto escalar e · e0 y el ángulo que determinan. 19. En un plano euclı́deo se da una base con las condiciones siguientes: |e1 | = 1, |e2 | = 2, ∠(e1 , e2 ) = 60o Calcula la matriz de la métrica en esta base y el ángulo que determinan las rectas de ecuaciones 3x + 2y = 0, x − y = 0, siendo {x, y} las coordenadas en esa base. 20. En el espacio euclı́deo tridimensional se considera el sistema de referencia de base {e1 , e2 , e3 } dada por las condiciones: |e1 | = |e2 | = |e3 | = 1, ∠(e1 , e2 ) = 60o , ∠(e1 , e3 ) = ∠(e2 , e3 ) = 90o Calcula la distancia entre los puntos P y Q de coordenadas en este sistema de referencia P = (1, 1, 0) y Q = (−2, 3, 1). √ 21. En un plano euclı́deo se da una base {e1 , e2 } con las condiciones |e1 | = 2, |e2 | = 2, ∠(e1 , e2 ) = 45o . Calcula la ecuación de la circunferencia de radio unidad y centro el punto P = 2e1 + e2 . 22. En el espacio euclı́deo R3 con la métrica habitual, hallar la ecuación de la recta que pasa por el y z−1 punto (1, 1, 1) y corta perpendicularmente a la recta x−1 1 = 2 = 1 . 9 10 Álgebra Lineal y Geometrı́a II. Grado en Fı́sicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano, D. Sánchez Gómez ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO III. 14. Demuestra que la aplicación: T 2 R C × C −→ (z, z 0 ) 7→ Im(z · z 0 ) = parte imaginaria de z · z 0 define una métrica simétrica sobre el R-espacio vectorial de los números complejos C = h1, ii y calcula su matriz asociada en la base h1, ii. ¿Es euclı́dea? Solución: La aplicación T2 define una métrica si es bilineal, es decir si es lineal en cada uno de sus factores. Veámoslo T2 (z1 + z2 , z 0 ) = Im((z1 + z2 ) · z 0 ) = Im(z1 · z 0 + z2 · z 0 ) = = Im(z1 · z 0 ) + Im(z2 · z 0 ) = T2 (z1 , z 0 ) + T2 (z2 , z 0 ) T2 (λz, z 0 ) = Im((λz) · z 0 ) = Im(λ(z · z 0 )) = λIm(z · z 0 ) = λT2 (z, z 0 ) Luego es lineal en el primer factor. Por otro lado como z · z 0 = z 0 · z se tiene la simetrı́a T2 (z, z 0 ) = T2 (z 0 , z), de donde se sigue que T2 es lineal en el segundo factor. Por tanto T2 define una métrica simétrica. Para calcular la matriz asociada a T2 respecto de la base {1, i} calculamos el valor de la métrica sobre los vectores de la base, es decir: T2 (1, i) = T2 (i, 1) = Im(i) = 1 y T2 (i, i) = Im(i2 ) = 0. 0 1 Luego la matriz de T2 respecto de la base {1, i} es T2 = . 1 0 En particular para todo vector e ∈ C tenemos que T2 (e, e) = 2xy siendo x, y ∈ R las coordenadas de e respecto de la base {1, i}, es decir e = x + iy. Tomando por ejemplo x = 1 e y = −1 se tiene que T2 (1 − i, 1 − i) = −2 < 0, luego la métrica T2 no es definida positiva y en consecuencia no es euclı́dea. T2 (1, 1) = Im(1) = 0, 16. Sea: 0 G = 1 0 1 0 0 0 0 1 la matriz de una métrica T2 . a) Comprobar que es simétrica e irreducible. b) Calcular el subespacio ortogonal a V = h(1, 1, 2), (1, 0, 1)i. ¿Son sumplementarios V y V ⊥ ? c) Calcular el subespacio ortogonal al plano π de ecuación y = 0. ¿Son sumplementarios π y π ⊥ ? Solución: a) La métrica es simétrica ya que G = Gt y es irreducible porque detG = −1 6= 0. b) Por definición V ⊥ = {(x, y, z) ∈ R3 : T2 ((x, y, z), (1, 1, 2)) = 0 y T2 ((x, y, z), (1, 0, 1)) = 0}. Operando se obtienen las ecuaciones implı́citas de V ⊥ : x + y + 2z = 0 V⊥ ≡ y+z =0 Como T2 es irreducible, los subespacios V y V ⊥ están en suma directa si la restricción de T2 a V también es irreducible. Calculamos entonces la restricción de la métrica al subespacio V . Para ello hay que calcular el valor de la métrica sobre los vectores de una base de V . Denotando e = (1, 1, 2) y e0 = (1, 0, que: 1) se tiene 0 1 0 1 T2 (e, e) = (1, 1, 2) 1 0 0 1 = 6, 0 0 1 2 0 1 0 1 T2 (e, e0 ) = (1, 1, 2) 1 0 0 0 = 3, 0 0 1 1 Álgebra Lineal y Geometrı́a II. Grado en Fı́sicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano, D. Sánchez Gómez 11 T2 (e0 , e) = T2 (e, e0 ) = 3, por ser simétrica, 0 1 0 1 T2 (e0 , e0 ) = (1, 0, 1) 1 0 0 0 = 2. 0 0 1 1 Ası́ la restricción de T2 a V tiene por matriz, respecto de la base {e, e0 }, 6 3 T2|V = 3 2 cuyo determinante es distinto de 0. Como consecuencia tenemos que V ∩ V ⊥ =Rad T2|V = 0, luego V y V ⊥ están en suma directa. c) Como una base de π ≡ {y = 0} es {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} razonando como en el apartado anterior obtenemos que π ⊥ = {y = 0, z = 0}, siendo una base {(1, 0, 0)}. En particular π y π ⊥ no son subespacios suplementarios ya que π ⊥ ⊂ π. 22. En el espacio euclı́deo hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 1, 1) y corta perpeny z−1 dicularmente a la recta x−1 1 = 2 = 1 . Solución: De las ecuaciones implı́citas de r se tiene que sus ecuaciones paramétricas son: x = 1 + λ r ≡ y = 2λ z =1+λ Por tanto un vector de posición de r es e0 = (1, 0, 1) y el subespacio director es Er = h(1, 2, 1)i. La recta que corta perpendicularmente a r y pasa por el punto (1, 1, 1) está contenida en el plano ortogonal a r que pasa por dicho punto. Si denotamos por π a dicho plano se verifica que π = (1, 1, 1) + Er⊥ , siendo Er⊥ el subespacio de R3 ortogonal a Er . Como nose indicaninguna 1 0 0 métrica se entiende que la ortogonalidad es respecto de la métrica estandar 0 1 0. Luego 0 0 1 Er⊥ = {x + 2y + z = 0} y, en consecuencia, el plano π tiene por ecuación π ≡ x + 2y + z − 4 = 0. La recta pedida será aquella que pasa por el punto (1, 1, 1) y el punto r ∩ π. Para calcular r ∩ π debemos resolver el sistema de ecuaciones lineales: x=1+λ y = 2λ z =1+λ 0 = x + 2y + z − 4 4 2 4 Sustituyendo se tiene que 6λ − 2 = 0, de donde se sigue que r ∩ π = ( , , ). 3 3 3 Finalmente la recta buscada será s ≡ (1, 1, 1) + h(1, −1, 1)i, cuyas ecuaciones implı́citas son x+y−2=0 s≡ y+z−2=0