Temas de Física Reducción de la comunicación mediante entrelazamiento: del “descubrimiento más profundo de la ciencia” a la “pseudo-telepatía cuántica” Adán Cabello From any proof of Bell's theorem (that some predictions of quantum mechanics cannot be reproduced by any local realistic theory), a distributed computing problem can be derived in which the classical communication required can be reduced if previous entanglement between the parties is available. We describe two of these problems inspired by two proofs of Bell's theorem, and review some recent proposals for performing a loophole-free Bell experiment. 1. ¿Telepatía? La mecánica cuántica nos enseña que pueden suceder cosas aparentemente inexplicables. Si no me cree, preste atención a la siguiente historia. Tengo tres amigos que nunca hablan entre sí. Siempre les visito a los tres el mismo día: primero me presento en casa de uno, luego voy a casa del otro, y luego a la del tercero. Uno de cada cuatro días, al entrar en sus casas, les saludo efusivamente a todos; el resto de los días sólo saludo efusivamente a uno de ellos, elegido al azar (al resto les saludo, pero sin tanta efusión). Lo curioso es que, los días en los que les saludo efusivamente a todos, siempre un número impar de ellos no me saluda efusivamente a mí (me saludan, pero sin tanta efusión); pero los días en que sólo saludo efusivamente a uno de ellos, siempre un número impar de ellos me saluda efusivamente a mí. ¿Cómo diablos se las ingenian? Detengámonos a analizar por qué encuentro sorprendente su proceder. Por un lado, tengo razones para pensar que el comportamiento de cada uno de mis amigos depende de cómo les salude yo, y está decidido de antemano. ¿Por qué pienso eso? Pues porque tras visitar a dos de ellos, siempre sé lo qué va a hacer el tercero, aunque él no sabe si he visitado o no a los demás, pues nunca hablan entre ellos. Pero, por otro lado, ésa no puede ser la explicación. Fijémonos en cuatro días concretos: en uno saludo efusivamente a todos, en otro saludo efusivamente sólo al primero, en otro sólo al segundo, y en otro sólo al tercero. Si cada uno de mis amigos tuviese decidido qué hacer, como a cada uno de ellos le he saludado efusivamente dos días sí y dos no, lo que espero es que en esas 12 visitas reciba en total un número par de saludos efusivos... ¡pero siempre recibo un número impar! ¿Cómo lo hacen? No parece haber ninguna explicación, a menos que estén haciendo trampas y estén usando algún tipo de comunicación. Parece que existiese una especie de telepatía entre ellos. Si calculo cuál es la probabilidad de que cumplan el requisito de que “los días en los que les saludo efusivamente a todos, siempre un número impar de ellos no me saluda efusivamente a mí; pero los días en que sólo saludo efusivamente a uno de ellos, siempre un número impar de ellos me saluda efusivamente a mí”, suponiendo que mis amigos han decidido su comportamiento de antemano y siguen una estrategia óptima (por ejemplo, saludar siempre efusivamente), REF Abril-Junio 2007 obtengo que tal probabilidad es sólo el 75%... ¡pero yo he visto que ellos logran cumplir el requisito el 100% de las veces! Sea cual sea el truco que usan, lo que tienen es un método para resolver un problema de computación distribuida (puesto que cada uno de mis amigos recibe un input y sus outputs deben satisfacer determinadas condiciones) de una manera que requiere menos comunicación entre ellos (de hecho, en este caso no requiere ninguna comunicación) que la que requeriría una estrategia óptima en la que sus comportamientos estuviesen decididos de antemano. El “truco” lo proporciona la mecánica cuántica. Lo que he descrito más arriba es una versión de un juego inventado por Vaidman [1] a partir de la simplificación que hizo Mermin [2] del descubrimiento de Greenberger, Horne y Zeilinger (GHZ) [3] (ver la figura 1). El nombre “pseudotelepatía cuántica” se introdujo en [4]. Figura 1. Greenberger, Horne y Zeilinger en Viena, en 2005. Desde un punto de vista histórico, lo curioso es que el descubrimiento de GHZ, que marcó el nacimiento de dos de las ramas más activas de la Información Cuántica –la teoría del entrelazamiento y el estudio de la complejidad en la comunicación si se usan recursos cuánticos–, tenía inicial- http://www.rsef.org Reducción de la comunicación mediante entrelazamiento 59 mente un propósito distinto: demostrar, como ya había hecho Bell [5], que Einstein, Podolsky y Rosen estaban equivocados cuando pensaban que la mecánica cuántica se podía “completar” con variables ocultas locales [6], puesto que las predicciones de la mecánica cuántica no pueden reproducirse con ninguna teoría realista local. El resultado de Bell ha sido descrito como “el descubrimiento más profundo de la ciencia” [7] o, cuando menos, “uno de los más grandes descubrimientos de la ciencia moderna” [8]. Como demostración del teorema de Bell, la historia de mis amigos requiere un par de modificaciones. Primera: para asegurarnos de que efectivamente no están haciendo trampas, tenemos que separar a mis amigos de manera que sea físicamente imposible que la decisión de saludar efusivamente o no a uno de ellos pueda afectar al comportamiento de los otros dos. La decisión de saludar o no efusivamente a uno cualquiera de mis amigos tiene que estar lo suficientemente alejada de la respuesta de los otros dos para que ni siquiera la luz viajando en el vacío tenga tiempo de llegar de unas a las otras. Segunda: como tampoco yo puedo viajar más rápido que la luz en el vacío, necesitaría que sean mis hermanos gemelos los que visiten a mis otros dos amigos (y les saluden efusivamente o no) mientras yo hago lo propio con el tercero. Y, como no conviene que ni mis hermanos ni yo sepamos lo que van a hacer los demás, saludaremos efusivamente o no a nuestros respectivos amigos aleatoriamente, sin acordar nada de antemano (y luego nos fijaremos sólo en lo que pasa las veces en las que hemos saludo efusivamente a todos y en las que sólo hemos saludado efusivamente a uno). Aprovechemos para desvelar el “truco” de GHZ. Mis amigos preparan tríos de qubits en el estado |ψ〉 que queda determinado por las tres ecuaciones siguientes: σx ⊗σ z ⊗σ z ψ = ψ , (1) σz ⊗σx ⊗σ z ψ = ψ , (2) σz ⊗σz ⊗σ x ψ = ψ , (3) laciones cuánticas de desigualdades de Bell. En el primer caso, el problema de computación distribuida correspondiente consiste en que los outputs tengan que satisfacer una serie de condiciones [dictadas por ecuaciones como las ecuaciones (1)-(4) de la sección anterior] que no pueden ser satisfechas por descripciones realistas locales. En el caso de las demostraciones que usan desigualdades de Bell, se trata de evaluar una función de los inputs distribuidos entre las partes, elegida de modo que el entrelazamiento previo entre las partes proporcione una solución más eficiente. Para una amplia familia de desigualdades de Bell, una receta para definir esas funciones puede encontrarse en [9]. El propósito de esta sección es describir un problema de computación distribuida entre dos partes propuesto en [10], inspirado en la más famosa de las desigualdades de Bell, la de Clauser, Horne, Shimony y Holt (CHSH) [11]. Las reglas del juego son las siguientes: Supongamos dos partes, Alicia y Bob, separadas y entre las que no existe ninguna comunicación aparte de la mencionada explícitamente más abajo. Alicia recibe dos bits: xA ∈ {0,1} y yA ∈ {–1,1}; y Bob recibe otros dos bits: xB ∈ {0,1} y yB ∈ {–1,1}. Supondremos que las 16 posibles variaciones ocurren con la misma frecuencia. Alicia manda un bit sA a Bob, y Bob manda un bit sB a Alicia. El propósito es que ambos acierten el valor de la función f ( xA , y A , xB , y B ) = y A y B (−1)xA xB , (5) el mayor número de veces posible (ver la figura 2). Alicia y Bob aciertan si y solamente si el valor que anuncian ambos es el correcto. donde σx y σz son las correspondientes matrices de Pauli. Lo interesante de este estado cuántico es que además satisface la siguiente ecuación: −σ x ⊗ σ x ⊗ σ x ψ = ψ , (4) simplemente porque, en mecánica cuántica el producto de los tres operadores que aparecen en (1)-(3), es el operador que aparece en (4). Cada uno de mis amigos mide σx sobre su qubit, si recibe saludos efusivos, o mide σz, si no son efusivos. Después, cada uno de ellos saluda efusivamente, si el resultado de su medida es +1, o no tan efusivamente, si es –1. Ingenioso. 2. Desigualdades de Bell y reducción de la comunicación Cualquier demostración del teorema de Bell puede convertirse en un problema de computación distribuida en el que la comunicación clásica necesaria para resolverlo puede reducirse si se dispone de entrelazamiento previo entre las partes. Esto es cierto, tanto para las demostraciones del teorema de Bell sin desigualdades (como la de GHZ de la sección anterior), como para las demostraciones basadas en vio- Figura 2. Problema de computación distribuida inspirado en la desigualdad de Bell-CHSH: Alicia y Bob reciben dos bits cada uno, e intercambian sendos bits. El propósito es lograr la mayor probabilidad de que ambos acierten el valor de la función yA yB (–1)xA xB. Una estrategia óptima sin usar entrelazamiento es la siguiente: Tanto si Alicia recibe xA = 0 como si recibe xA = 1, ella manda el valor sA = yA a Bob. Análogamente, tanto si Bob recibe xB = 0 como si recibe xB = 1, él manda el valor sB = yB a Alicia. Ambos dan sA sB como respuesta. Es fácil ver que con esta estrategia, Alicia y Bob aciertan el 75% de las veces; sólo fallan cuando xA = 1 y xB = 1. Sin embargo, una estrategia óptima usando entrelazamiento es la siguiente: Inicialmente, Alicia y Bob comparten pares de qubits preparados en el estado singlete 1 ψ− = ( 01 − 10 ). (6) 2 Si Alicia recibe xA = 0, entonces mide A0 = σx en su qubit; si recibe xA =1, mide A1 = σy. El resultado de esta medida es http://www.rsef.org REF Abril-Junio 2007 60 Temas de Física rA ∈ {–1,1}. Si Bob recibe xB = 0, entonces mide B0 = –(σx + σy)/√2 en su qubit. Si recibe xB = 1, mide B1 = (σy – σx)/√2. El resultado de esta medida es rB. Alicia manda el valor sA = yA rA a Bob. Bob manda el valor sB = yB rB a Alicia. Ambos dan sAsB como respuesta. Se puede comprobar que cuando xA = 0 y xB = 0, o cuando xA ≠ xB, Alicia y Bob aciertan si rA = rB, y se equivocan si rA = –rB; cuando xA = 1 y xB = 1, aciertan si rA = –rB, y se equivocan si rA = rB. Por tanto, usando este método basado en entrelazamiento, la probabilidad de éxito es 1 Pf = [P ( A0 B0 = 1) + P ( A0B1 = 1) 4 (7) + P ( A1 B0 = 1) + P ( A1B1 = –1)] 1 1 = 1 + ≈ 0,853. (8) 2 2 Para ver la conexión entre este problema (y el correspondiente método para resolverlo usando entrelazamiento) y la violación cuántica de desigualdad de Bell-CHSH, −2 ≤ A0 B0 + A0 B1 + A1B0 − A1B1 ≤ 2, (9) basta con tener en cuenta que 〈Ai Bj〉 = P(Ai Bj = 1) – P(Ai Bj = –1) y P(Ai Bj = 1) + P(Ai Bj = –1) = 1, con lo que 1 1 Pf = + ( A0 B0 + A0 B1 + A1 B0 − A1B1 ), (10) 2 8 por lo que, teniendo en cuenta la desigualdad de Bell-CHSH (9), si no se usa entrelazamiento, 1 3 ≤ Pf ≤ . (11) 4 4 3. Propuestas recientes para un experimento de Bell sin escapatorias Uno de los problemas pendientes más importantes de la mecánica cuántica es hacer un experimento de Bell concluyente, un experimento sin escapatorias. Resulta curioso que, 43 años después del artículo original de Bell, todavía no se haya conseguido hacer tal experimento. Los motivos por los que es interesante el experimento son, por un lado, descartar definitivamente la posibilidad de cualquier descripción realista local de la naturaleza y, por otro, demostrar experimentalmente la seguridad de una amplia familia de métodos cuánticos de distribución de claves. Existen dos problemas experimentales que hacen que ninguno de los experimentos realizados hasta la fecha sea concluyente. Por un lado, como decíamos antes, tenemos que asegurarnos de que es físicamente imposible que la decisión de un observador pueda afectar el resultado de un experimento distante. La escapatoria de la localidad ocurre en todos los experimentos en los que la distancia entre las mediciones locales es demasiado pequeña para descartar que se esté produciendo algún tipo de comunicación a la velocidad de la luz entre la elección de uno de los observadores y el resultado de la medida de otro. Para evitar la escapatoria de la localidad, debe existir una separación de género espacio. Separar suficientemente átomos entrelazados o partículas masivas entrelazadas es extremadamente dificil. Los fotones de alta energía entrelazados en polarización no son adecuados porque para ellos no existen analizadores de polarización apropiados. Los mejores candidatos para cerrar la escapatoREF Abril-Junio 2007 ria de la localidad son los fotones ópticos. Sin embargo, hasta la fecha todos los experimentos con fotones ópticos entrelazados tienen otra escapatoria, la escapatoria de la detección. La ineficiencia de los detectores de fotones ópticos hace que todos los experimentos realizados sean compatibles con una descripción realista local. Por lo que sabemos, en los experimentos con pares de fotones, harían falta detectores tales que la efficiencia total con la que detectamos los fotones fuese superior al 67% (o incluso mayor del 75%, dependiendo del nivel de ruido del experimento). Existen detectores de fotones con una eficiencia cuántica de más del 90%, pero existen otras dificultades que hacen que, en la práctica, la eficiencia total típica no llegue al 30%. El trabajo más prometedor para eludir ambas escapatorias es el experimento que el grupo de Kwiat está montando en Urbana (Illinois, EE.UU.) usando parejas de fotones (no máximamente) entrelazados en polarización, producidos mediante un proceso de conversión paramétrica descendente, y sobre los que se hacen medidas de polarización (separadas 60 m) usando una nueva generación de contadores de fotones de luz visible que requieren bajísimas temperaturas y permiten detectar más del 80% de los fotones. Hay, además, otras propuestas recientes para eludir ambas escapatorias simultáneamente. Una es usar pares átomo-fotón entrelazados. La ventaja viene del hecho de que la eficiencia total de detección de los átomos es del 100%, por lo que la eficiencia total requerida para el fotón baja hasta el 50%. Otra propuesta, consiste en crear entrelazamiento entre átomos distantes. Para conseguirlo, se preparan, en lugares distantes, pares átomo-fotón entrelazados y, mediante una medida sobre los fotones que vienen de ambos pares, se induce un canje del entrelazamiento inicial desde los dos sistemas átomo-fotón a los sistemas fotón-fotón y átomoátomo. Otra propuesta se basa en usar pares de fotones entrelazados no sólo en polarización sino también en momento y una nueva familia de desigualdades de Bell basadas en la idea original de Einstein, Podolsky y Rosen de elementos de realidad. En [12] puede encontrarse una lista completa de referencias sobre intentos recientes para realizar un experimento que demuestre de manera concluyente la imposibilidad de descibir la naturaleza mediante teorías realistas locales. Bibliografía [1] L. VAIDMAN, Found. Phys. 29, 615 (1999). [2] N. D. MERMIN, Phys. Today 43 (6), 9 (1990). [3] D. M. GREENBERGER, M. A. HORNE, Y A. ZEILINGER, en Bell's Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the Universe, editado por M. Kafatos (Kluwer Academic, Dordrecht, 1989), p. 69. [4] G. BRASSARD, A. BROADBENT, Y A. TAPP, Found. Phys. 35, 1877 (2005). [5] J. S. BELL, PHYSICS (Long Island City, NY) 1, 195 (1964). [6] A. EINSTEIN, B. PODOLSKY, Y N. ROSEN, Phys. Rev. 47, 777 (1935). [7] H. P. STAPP, Nuovo Cimento Soc. Ital. Fis. 29B, 270 (1975). [8] M. ZUKOWSKI, Stud. Hist. Philos. Mod. Phys. 36, 566 (2005). [9] C. BRUKNER, M. ZUKOWSKI, J. W. PAN, Y A. ZEILINGER, Phys. Rev. Lett. 92, 127901 (2004). [10] H. BUHRMAN, R. CLEVE, Y W. VAN DAM, SIAM J. Comput. 30, 1829 (2001). [11] J. F. CLAUSER, M. A. HORNE, A. SHIMONY, Y R. A. HOLT, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969). [12] A. CABELLO Y J.-Å. LARSSON, quant-ph/0701191. Adán Cabello está en el Dpto. de Física Aplicada II. Univ. de Sevilla http://www.rsef.org