Programas Basados en Relaciones de Recurrencia.

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA
Programación en Pascal
Capítulo 5. Programas basados en relaciones de recurrencia.
5. PROGRAMAS BASADOS EN RELACIONES DE RECURRENCIA.
Existen numerosas situaciones que pueden representarse mediante relaciones de recurrencia;
entre ellas mencionamos las secuencias y las series. Ambas son casos particulares de
procesos iterativos , que consisten en la repetición de una acción con pequeñas variaciones
cada vez.
Una secuencia corresponde a un conjunto ordenado de valores, tales que un valor puede
obtenerse a partir de los valores anteriores. La relación que permite obtener el valor actual en
términos de los anteriores se denomina relación de recurrencia.
Una serie es una expresión cuyo valor puede calcularse sumando los términos que la
componen. Los términos de una serie son una secuencia. En general puede expresarse como
una sumatoria.
Lo característico de una secuencia es su término general, que permite obtener cada uno de
los elementos de la secuencia. La observación del término general permite obtener la relación
de recurrencia que genera la secuencia.
Empleando notación matemática, podemos visualizar una secuencia como sigue:
V0, V1, V2, .... Vi, .... Vn
Es decir una secuencia de valores, a los cuales puede asociárseles un subíndice, el que
establece una relación de orden.
Una serie puede representarse por:
j=i
Si = ∑V j
j=0
Es decir, la suma indexada de los términos.
Nos interesa desarrollar programas en que una variable tome los valores de una secuencia; y
también poder almacenar la suma de los términos de una serie en el espacio asignado a una
variable.
Prof. Leopoldo Silva Bijit.
07-07-2003
40
UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA
Programación en Pascal
Capítulo 5. Programas basados en relaciones de recurrencia.
5.1 Secuencias.
Antes de desarrollar un esquema general de algoritmos que traten esta situación, veremos un
ejemplo.
5.1.1 Ejemplo. Factoriales
a) Algoritmo.
Sea Fn=n! el término general de la secuencia.
Tenemos F0 = 1
{ valor inicial }
F1 = F0*1
F2 = F1*2
.......
.......
Fj = F(j-1)*j { relación de recurrencia para j>0 }
Debe observarse que es necesario definir un valor inicial, ya que la relación de recurrencia
debe, para poder ser evaluada, partir de un valor conocido.
Si se observa que los valores: 1, 2, 3,....j también forman una secuencia ( sea Ji), puede
escribirse:
Ji = J(i-1) + 1
Fi = F(i-1)*Ji
para i>0.
Con valores iniciales:
J0 = 0
F0 = 1
Es fundamental considerar que en el algoritmo se dispondrá de una variable para almacenar
los valores de la secuencia. En el ejemplo necesitamos espacio para dos variables, una para el
valor actual de F, y otro para el valor actual de J.
En la relación de recurrencia el subíndice i refleja el tiempo del proceso. Si i indica el valor
actual; ( i-1 ) está asociado al valor anterior.
Prof. Leopoldo Silva Bijit.
07-07-2003
41
UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA
Programación en Pascal
Capítulo 5. Programas basados en relaciones de recurrencia.
La notación empleada, hasta el momento, corresponde a la algebraica. No debe confundirse
los signos igual con la asignación o el operador de relación. A continuación veremos un
programa que calcula el valor de N!; donde N es un valor que deberá ser suministrado por el
operador.
Nótese que no interesa almacenar, para un uso futuro, los diferentes valores de la secuencia.
Si este fuera el caso se necesitarían más variables, una por cada valor diferente a recordar.
b) Programa.
Program factorial; { calcula N! }
Var j,f,n:integer;
Begin
Read(n);
j:=0; f:=1;
{inicialización de variables}
while j<n do
begin j:=j+1; f:=f*j end ; {relación de recurrencia}
write(f)
end.
El programa puede escribirse fácilmente a partir de la relación de recurrencia desarrollada
anteriormente. Nótese que el subíndice i, que da el orden en la relación, indica cómo deben
concatenarse las acciones. Específicamente para calcular Fi es preciso conocer Ji; esto indica
que debe calcularse primero el valor actual de j a partir de su valor anterior. Demás está
destacar que el orden es importante, y que un cambio en la concatenación de asignaciones
corresponde a la implementación de otra relación de recurrencia.
5.1.2. Esquema general de secuencias.
A partir del ejemplo anterior puede abstraerse el siguiente esquema de algoritmo:
--V := vo ;
while p(V) do V := f(V);
---
{iniciación de variables}
{generación secuencia}
V simboliza al conjunto de variables cuyos valores son generados por una relación de
recurrencia; ésta es descrita por: V := f(V), que destaca que para calcular los valores actuales
se recurre a los valores anteriores.
Prof. Leopoldo Silva Bijit.
07-07-2003
42
UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA
Programación en Pascal
Capítulo 5. Programas basados en relaciones de recurrencia.
p(V) es un predicado; es decir, una condición que depende de las variables en análisis.
Establece la condición de término de la iteración.
5.1.3. Algunas situaciones representadas por secuencias.
Todas las fórmulas del cálculo financiero son representables mediante relaciones de
recurrencia.
La derivada e integral de una función, pueden evaluarse numéricamente empleando
relaciones de recurrencia.
Debido a lo anterior, la descripción dinámica de sistemas, que suele modelarse mediante
ecuaciones diferenciales, también puede tratarse con los métodos desarrollados antes. En
este caso específico las relaciones de recurrencia se denominan ecuaciones de diferencias.
Algunos métodos numéricos para el cálculo de raíces también se plantean mediante
relaciones de recurrencia.
Los algoritmos clásicos de multiplicación, división, raíz cuadrada, recíproco y otros suelen
también plantearse como procesos iterativos, descritos por relaciones de recurrencia.
5.2. Series.
La mayoría de las funciones pueden calcularse, para un valor de su argumento, mediante una
serie que las aproxima. Este es el caso del seno, coseno, tangente y otras funciones
trigonométricas; también se calculan mediante series finitas, las funciones hiperbólicas.
Logaritmos y exponenciales también suelen estar implementados mediante series.
En los lenguajes de alto nivel, las funciones anteriores están disponibles; es decir están
incorporadas como instrucciones del procesador aritmético que implementa la máquina virtual
del lenguaje. Debido a lo anterior, los algoritmos para estas series han recibido gran
dedicación y suelen estar optimizados, tanto en espacio (número de variables empleadas )
como en tiempo (veces que se efectúan las acciones).
Consideremos la siguiente secuencia:
S0 = t0
= t0
S1 = t0 + t1
= S0 + t1
S2 = t0 + t1 + t2
= S1 + t2
----------------------------------------------
Prof. Leopoldo Silva Bijit.
07-07-2003
43
UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA
Programación en Pascal
Capítulo 5. Programas basados en relaciones de recurrencia.
Si = t0 + t1 + t2 + ... ti
= S(i-1) + ti
para i>0
Se denomina serie a la suma:
j =i
Si = ∑ t j
j =0
El término general puede describirse por la relación:
tj = f(tj - 1)
que genera t1,t2,......ti a partir de t0.
Entonces la serie puede representarse por la siguiente relación de recurrencia:
S0 = t0
Si = Si-1 + ti para i > 0
5.2.1. Esquema general.
El siguiente segmento describe el algoritmo general para la evaluación de una serie:
----t := t0; s := t;
{inicialización}
while p(s, t) do
begin t := f(t) ; s := s + t end;
{serie}
----5.2.2. Serie exponencial.
Se tiene:
x2 x3
+ + .... para todo x.
2! 3!
Puede comprobarse que el término general resulta:
ex = 1 + x +
ti = t(i-1)* x/i para i > 0;
con t0 = 1
Se tiene que:
Prof. Leopoldo Silva Bijit.
07-07-2003
44
UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA
Programación en Pascal
Capítulo 5. Programas basados en relaciones de recurrencia.
lim Si = e x
i →∞
con Si =
j=i
tj
∑
j=0
El siguiente programa calcula, en forma aproximada, el valor de exp(x):
Program exponencial;
var x,s,t,epsilon: real;
i: integer;
begin
read(x);
t := 1; s := t ; i := 0 ; epsilon :=1.0E-6;
while t > epsilon do
begin
i := i + 1; t:= t*x/i ; s:= s + t
end;
write(s)
end.
La computación se efectúa empleando números reales; y la detención de la iteración se logra
cuando el término general es menor o igual al valor de epsilon. El bloque de repetición se
efectúa i veces; mayor será este número cuanto menor sea el valor de epsilon. Como se verá
mas adelante existe un mínimo valor representable como número real, dentro del procesador;
el valor de epsilon debe ser mayor que este valor.
La asignación que calcula el término general efectúa una mezcla de tipos. Ya que t y x son
reales, e i es de tipo entero.
En Pascal se permite mezcla de tipos en expresiones (Report pag 146.). Si uno de los
operadores es real; entonces, el resultado también es real. Un resultado real puede
almacenarse en una variable real; pero no en una entera.
En la mayoría de los lenguajes tradicionales, se acepta la mezcla de tipos en expresiones y
además se contempla la conversión de tipos en asignaciones. Esta libertad suele ser fuente de
innumerables errores en programación; por esta razón los lenguajes modernos imponen la
compatibilidad de tipos. Suelen emplearse funciones especiales que permiten convertir un
valor de un tipo en otro; a esta operación se la denomina conversión explícita.
Prof. Leopoldo Silva Bijit.
07-07-2003
45