Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Álgebra Lineal 09-2 Examen Adicional P1. a) La elipse de la figura pasa por el origen O y su semieje menor mide √ 2. (i) (0,5 ptos.) Escriba la ecuación de la elipse en función de las variables u, v asociadas a los ejes U y V . (ii) (1,5 ptos.) Encuentre la ecuación de la elipse en las variables x, y del sistema XOY . 2 −1 −1 b) Sea A ∈ M3×3 ( ) definida por A = −1 2 −1 −1 −1 2 R (i) (1,0 pto.) Demuestre que el polinomio característico de A es p(λ) = −λ(λ − 3)2 . (ii) (3,0 ptos.) Encuentre matrices P y D de modo que P t = P −1 y D diagonal tal que A = P DP t . 2 a 0 0 2 a 0 0 P2. a) Considere la matriz A ∈ M4×4 ( ) definida por A = 0 2 0 0 0 0 2 b 0 0 0 2 (i) (2,5 ptos.) ¿Para qué valores de a, b ∈ la matriz A es diagonalizable? (ii) (2,5 ptos.) Cuando A es NO diagonalizable, encuentre una base de (ker(A − 2I))⊥ . b) (1,0 pto.) Sea A ∈ Mn×n ( ) con núcleo de dimensión k ≥ 1. Muestre que λ = 1 es valor propio de I + A y determine su multiplicidad geométrica. R R R P3. Sea S2 el espacio vectorial de las matrices simétricas de 2 × 2 con coeficientes reales. Dada B ∈ M2×2 , considere la transformación lineal T : M2×2 ( ) → S2 definida por R x1 T (X) = BX + X B , donde X = x3 t t x2 x4 R ∈ M2×2 ( ). a) (1,0 pto.) Verificar que T (X) está bien definida, es decir, que T (X) ∈ S2 . a b b) (3,0 ptos.) Para B = ∈ M2×2 ( ) encuentre la matriz representante de T con respecto a la c d 1 0 0 1 0 0 base canónica de M2×2 ( ) y la base , , de S2 . 0 0 1 0 0 1 1 1 c) (2,0 ptos.) Para B = encuentre bases y dimensión para ker(T ) e Im(T ). 1 0 R R 15 de diciembre de 2009 Sin consultas Tiempo: 3:00 1