Teoría y problemas Clasificación de métricas

Clasificación de métricas simétricas sobre 
Gloria Serrano Sotelo
Diagonalización de métricas simétricas
Sea E un espacio vectorial real de dimensión n.
Sean T2 una métrica simétrica y T 2 una métrica euclídea de matrices respectivas G y S en una base {e1 , e2 ,...., en }
de E .
f
y
Si E Ø E* y E Ø E* son las polaridades de las métricas T2 y T 2 respectivamente, la aplicación lineal E
y-1 Îf
E
es el endomorfismo T asociado a esta pareja de métricas (T2 , T 2 ) y su matriz en la base {e1 , e2 ,...., en } es S-1 × G.
En particular, si la matriz de la métrica euclídea en esa base es la identidad, la matriz del endomorfismo coincide con la
matriz G de la métrica.
Teorema. El endomorfismo T asociado a la pareja de métricas (T2 , T 2 ) es autoadjunto: Te·e'=e·Te' , "e, e'œ E, donde ·
reperesenta el producto escalar de la métrica euclídea.
Esta propiedad permite demostrar que todos los valores propios de T son reales y de multiplicidad 1 en su polinomio
anulador y, por tanto:
el endomorfismo T asociado a la pareja de métricas (T2 , T 2 ) es diagonalizable. Además, los vectores propios de
valores propios diferentes son ortogonales para ambas métricas.
Teorema de diagonalización. Existe una base ortonormal en la que la matriz de la métrica simétrica T2 es diagonal.
Demostración.
Sea G la matriz de T2 en la base {e1 , e2 ,...., en } de E. Si consideremos la métrica euclídea auxiliar que en esa base tiene
por matriz la identidad, entonces la matriz del endomorfismo T asociado a esta pareja de métricas coincide con G.
Como el endomorfismo T es diagonalizable existe una base de vectores propios {v1 , v2 ,...., vn }; ortonormalizando esta
base para la métrica euclídea auxiliar se obtiene una nueva base {u1 ,u2 ,...., un } en la que la matriz de la métrica euclídea
es la identidad y, por tanto, la matriz de la métrica simétrica T2 coincide con la del endomorfismo asociado. Así, en la
base {u1 , u2 ,...., un } la matriz de T2 es diagonal y los coeficientes de la diagonal son los valores propios del endomorfismo asociado T. Llamaremos a esta base base ortonormal de diagonalización, entendiendo que es ortonormal para la
métrica euclídea auxiliar y, claro está, ortogonal para la métrica T2 ya que en ella diagonaliza.
4 0 -2
0 4 -4 y calculemos una base ortonormal de diagonalización.
-2 -4 5
El polinomio característico del endorfismo asociado de matriz G es cHxL = xHx - 4L Hx - 9L.
Valores propios del endomorfismo asociado T de matriz G: {0, 4, 9}
Subespacios de vectores propios: Ker(T)=Xv1 =(1, 2, 2)\ , Ker(T-4I )=Xv2 =(-2, 1, 0)\ , Ker(T-9I)=Xv3 =(-2, -4, 5)\
0 0 0
Forma diagonal de la métrica 0 4 0
0 0 9
Ejemplo. Diagonalicemos la métrica de matriz
Base ortonormal de diagonalización: u1 =
v1
v1
1
3
= (1, 2, 2) , u2 =
v2
v2
=
1
5
(-2, 1, 0) , u2 =
v2
1
v2 3 5
(-2, -4, 5)
(Recuerda que vectores propios de valores propios diferentes son ortogonales, luego para calcular la la base ortonormal de diagonalización basta dividir cada vector propio por su módulo para el producto escalar habitual de R3 )
2
ClasificacionMetricas.nb
Invariantes (Ley de Inercia). Forma reducida. Teorema de clasificación
Ecuación secular de una métrica simétrica T2 . Si G es la matriz de la métrica en una base, su ecuación secular es det
(xI-G)=0.
El polinomio det (xI-G) no es invariante por cambios de base, pues si M es la matriz de T2 en otra base y B es la matriz
del cambio de base se verifica que M = Bt .G.B y se tiene que det (xI -M)=det (xI -Bt .G.B)≠ det (xI-G), salvo que
Bt .B=I, es decir, salvo que B sea una matriz ortogonal. Por tanto, si cambiamos de base la métrica cambia también el
endomorfismo asociado, por lo que los coeficientes de su forma diagonal serán otros. Sin embargo, permanacen invariantes el número de coeficientes nulos r0 , el número de coeficientes positivos r+ y el número de coeficientes negativos r- de la diagonalización, que son el número de raíces nulas, el número de raíces positivas y el número de
raíces negativas de la ecuación secular de T2 . Este resultado se conoce con el nombre de Ley de Inercia de Sylvester.
Cálculo efectivo de los invariantes r0 , r+ y rSea G la matriz de orden n que define la métrica simétrica T2 , se tiene:
r0 = nº raíces nulas del polinomio det (xI-G)
r+ = nº de variaciones de signo entre los coeficientes no nulos del polinomio det (xI-G)
r- = n - r+ - r0
Forma reducida de T2 . Existe una base de
0 .
. ..
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
E (base reducida) en la que la matriz de la métrica es de la forma:
. . . . . .
. . .
. . . . . .
. . .
0 . . . . .
. . .
. 1 . . . .
. . .
. . 1 . . .
. . .
. . . .. . .
. . .
. . . . 1 .
. . .
. . . . . -1 . . .
. . . . . . -1 . .
. . . . . .
. .. .
. . . . . .
. . -1
Si {u1 , u2 ,...., un } es una base ortonormal de diagonalización, dividiendo cada vector u de ella, que no esté en el radical,
por
T2 Hu, uL
si T2 Hu, uL>0 o por
-T2 Hu, uL si T2 Hu, uL<0 se obtiene una base reducida.
Torema de clasificación de métricas simétricas reales. Dos métricas simétricas son equivalentes si tienen la misma
forma reducida.
ClasificacionMetricas.nb
Subespacios hiperbólicos y elípticos. Teorema de descomposición. Rango,
índice y signo de una métrica simétrica.
Radical de la métrica T2 : Rad T2 ={eœE : T2 (e,e')=0 para todo e'œ E }=Ker fT2 , siendo fT2 la polaridad asociada a la
métrica.
T2 es irreducible o no singular si Rad T2 ={0} ó Ker fT2 ={0}
Un vector eœE es isótropo respecto de T2 si T2 (e,e)=0. Todos los vectores del Rad T2 son vectores isótropos.
Un subespacio V de E es no singular si la restricción de T2 a V es una métrica irreducible.
Un plano hiperbólico es un subespacio no singular de E de dimensión 2 que contiene algún vector isótropo no nulo.
Un subespacio H de (E , T2 ) es hiperbólico si es suma ortogonal de planos hiperbólicos.
Un subespacio W de (E , T2 ) es elíptico si no tiene vectores isótropos.
En particular, los subespacios hiperbólicos y los elípticos son subespacios no singulares.
Teorema de descomposición. Sea T2 una métrica simétrica sobre un -espacio vectorial E.
E descompone en suma ortogonal del radical de la métrica, un subespacio hiperbólico H y un subespacio elíptico W:
E=Rad T2 ⊕H⊕ W , siendo dim Rad T2 =r0 , dim H=2 min { r+ , r- } y dim W=| r+ - r- |
Como se sigue de reordenar una base reducida para agrupar en la forma reducida parejas (1, -1).
1 0
Observa que si V es un plano hiperbólico la forma reducida de la restricción de T2 a V es
.
0 -1
Rango, índice y signo de una métrica simétrica real
Rango de T2 : r = dim E- dim Rad T2 = n - r0
Indice de T2 : i = nº parejas(1,-1) = min {r+ , r- }
Signo de T2 = Signo( r+ - rSe verifica la relación : r = 2i + | r+ - r- |
Teorema de clasificación de métricas simétricas reales. Dos métricas simétricas son equivalentes si tienen el mismo
rango, el mismo índice y el mismo signo
Ejemplo
5 -2 -2 0
-2 1 0 1
Clasificar sobre  la métrica de matriz
.
-2 0 1 1
0 1 1 -2
• Polinomio característico del endorfismo asociado de matriz G : det (xI-G)=x4 - 5 x4 -13 x4 +21x-4
• Invariantes:
r0 = nº raíces nulas del polinomio det (xI-G) = 0
r+ = nº de variaciones de signo entre los coeficientes consecutivos no nulos del polinomio det (xI-G) = 3
r- = n- r+ - r0 = 4-3-0= 1
Rango de T2 : r = n-r0 = 4
Indice de T2 : i = min{ r+ , r- } = 1
Signo de T2 = Signo(r+ - r- )= +
• Forma reducida de T2
1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
• Teorema de descomposición: E = H⊕W , siendo H un plano hiperbólico y W un subespacio elíptico de dimensión 2
en el que la métrica restricción es definido positiva.
ü Ejercicios
3
4
ClasificacionMetricas.nb
Ejercicios
1. Diagonalizar la métrica simétrica
4 0 -2
0 4 -4 y calcular una base ortonormal (para la métrica euclídea auxiliar) de
-2 -4 5
diagonalización.
2. Sobre un espacio vectorial real E de dimensión 3 se define la métrica T2 de matriz asociada
a 1
0
1 a
0
0 0 a-1
en base
8e1 , e2 , e3 } de E, con aœ R.
(a) Clasificar T2 según los valores del parámetro a.
(b) Encontrar para a =1/2 una base ortonormal de diagonalización.
3. Averiguar si el plano de ecuación 3x-y+2z=0 es hiperbólico para las siguientes métricas:
1 -2 3
0 1 2
2 1 3
1 0 0
0 1 2
3 -3 0
-2 0 1 ; 1 0 -1 ; 1 0 3 ; 0 2 -2 ; 1 0 3 ; -3 3 2
3 1 1
2 -1 3
3 3 0
0 -2 2
2 3 0
0 2 0
4. Clasificar las métricas del ejercicio 3 calculando sus invariantes y la forma reducida.
5. Diagonalizar la métrica simétrica
2 1 1
1 2 1 y calcular una base ortonormal de diagonalización. Clasificarla.
1 1 2
1 0 0 0
0 2 -1 1
6. Clasificar la métrica de matriz
. ¿Es posible encontrar una base de R4 que sea ortonormal para esta
0 -1 2 -1
0 1 -1 2
métrica? En caso afirmativo, calcúlala.
1
1
7. Clasificar la métrica de R4 dada por la matriz G=
0
0
1 0 0
2 1 0
respecto de la base 8e1 , e2 , e3 , e4 } de R4 . Encontrar
1 0 -1
0 -1 -2
una descomposición de R4 en dos subespacios ortogonales en los que la métrica restricción sea definido positiva y definido
negativa, respectivamente.
2 0 -2 0
0 1 0 -2
8. Dadas las métricas de matrices asociadas
,
-2 0 1 0
0 -2 0 1
1 -1 0 0
-1 1 0 1
respecto de una base 8e1 , e2 , e3 , e4 }
0 0 1 0
0 1 0 -1
de R4 , se pide:
(a) Clasificarlas, calculando rango , índice y signatura.
(b) Clasificar la restricción de cada una de estas métricas al subespacio generado por los vectores 8 e2 , e3 , e4 }.
ü