V - Facultad de Ciencias

Unidad 2
Vectores y
Espacios Vectoriales
Propedéutico 2008
Dra. Ruth M. Aguilar Ponce
Facultad de Ciencias
Departamento de Electrónica
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
1
Vectores
• Un vector es un conjunto ordenado de n
números
r
x = ( x1 , x2 , K , xn )
• Los elementos o componentes del vector son
x1, …, xn.
• El vector cero es aquel en el que todos sus
componentes son cero.
• Un vector es un objeto con magnitud y
dirección.
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
2
Espacio de dos dimensiones
• R2 es el conjunto de vectores (a,b) donde a y b son
números reales.
• Un vector unitario es un vector con magnitud 1
r
r
• La distancia entre dos vectores es v − u
y
Magnitud
r
2
2
v = a +b
r
v = (a, b )
b
Dirección
θ
a
Propedéutico 2008
⎛b⎞
θ = tan ⎜ ⎟
⎝a⎠
−1
x
Facultad de Ciencias
3
Producto Escalar en R2
• El producto escalar o producto punto de dos vectores u =
(a1,b1) y v = (a2,b2) se obtiene por r r
u ⋅ v = a1a2 + b1b2
• La norma de un vector esta definida por r 2 r r
u = u ⋅u
• El ángulo de entre dos vectores u y v esta definido por
r r
u ⋅v
cos ϕ = r r
u v
• La proyección de u sobre v se define por
r r
r u ⋅v r
proyv u = r 2 v
v
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
4
Producto Escalar en R2
r r
u ⋅v
cos ϕ = r r
u v
u
φ
Propedéutico 2008
v
u
v
u
φ
φ
v
r r
r u ⋅v r
proyv u = r 2 v
v
Facultad de Ciencias
5
Espacio de tres dimensiones
• R3 es el conjunto de vectores (x, y, z), donde x, y, z
son números reales.
z
Magnitud
Dirección
r
v = x2 + y2 + z 2
r 1 r
u= r v
v
y r
r
u ± v = ( x1 ± x2 , y1 ± y2 , z1 ± z 2 )
x
Propedéutico 2008
r
αv = (αx, αy, αz )
r r
u ⋅ v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2
Facultad de Ciencias
6
Producto Cruz
• Producto cruz o producto vectorial de u y v
esta definido por
r r
u × v = ( y1 z 2 − z1 y2 , z1 x2 − x1 z 2 , x1 y2 − y1 x2 )
i
r r
u × v = x1
j
y1
k
z1
x2
y2
z2
i = (1,0,0 );
Propedéutico 2008
j = (0,1,0 ); z = (0,0,1)
Facultad de Ciencias
7
Producto Cruz
• Propiedades
– u ·(u × v ) = 0 y v ·(u × v ) = 0
– u × v = -(v × u )
– u × (v + w) = (u × v ) + (v × u )
– (u + v) × w = (u × w) + (v × w)
– c (u × v) = (cu) × v = u ×(cv)
–u × 0 = 0
–u × u = 0
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
8
Espacios Vectoriales
• Un espacio vectorial V sobre R se define como un
conjunto de vectores, junto con dos operaciones
suma vectorial y multiplicación por un escalar que
satisface las siguientes propiedades:
• Suma vectorial
– u, v є V, u + v є V
– u, v, w є V, u+(v+w)= (u+v)+w
– Existe un elemento 0 є V tal que u+0 = 0+u = u
– u є V, existe –u є V tal que u +(-u) = 0
– u, v є V, u + v = v + u
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
9
Espacio Vectorial
• Multiplicación Escalar
–c є R y u є V, entonces cu є V
–c є R y u, v є V; c (u + v) = cu + cv
–a, b є R y u є V; (a + b) u = au + bu
–a, b є R y u є V; (ab)u = a(bu)
–u є V; 1u = u1 = u
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
10
Combinación Lineal
• Sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial V
sobre R. Una combinación lineal de estos vectores
es la siguiente expresión
r
r
r
c1v1 + c2 v2 + L + cn vn
donde c1,c2,…, cn є R
• Ejemplos:
– Cada vector (x, y) es una combinación lineal de los
vectores i = (1,0) y j = (0,1); (x, y) = x (1,0) + y (0,1)
– Cada Vector (x, y, z) є R3 es una combinación lineal de
los vectores i = (1,0,0), j = (0,1,0) y k = (0,0,1)
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
11
Espacios generados por vectores
• Los vectores v1, v2, …, vn generan a V si
cualquier vector w є V se puede escribir como
una combinación lineal de ellos
• Sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio
vectorial V. El espacio vectorial generado por
ellos es el conjunto de combinaciones
lineales definido por:
r r
r
r
r
r
span{v1 , v2 , K , vn } = {c1v1 + c2 v2 + L + cn vn : c1 , c2 , K cn ∈ R}
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
12
Dependencia e Independencia Lineal
• Sean v1, v2, …, vn vectores en el espacio
vectorial V sobre R. Decimos que v1, v2, …, vn
son linealmente dependientes si existe al
menos una ci ≠ 0 tal que
r
r
r
c1v1 + c2 v2 + L + cn vn = 0
• Si todas las ci son iguales a cero entonces
los vectores son linealmente independientes.
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
13
Dependencia e Independencia Lineal
• Sean v1, v2, …, vr vectores en el espacio vectorial
Rn, Si r > n entonces los vectores son linealmente
dependientes.
• Un conjunto de vectores linealmente independiente
en Rn contiene a lo mas n vectores.
• Sean v1, v2, …, vn vectores en Rn y sea A una matriz
de n × n cuyas columnas son v1, v2, …, vn. Entonces
los vectores son linealmente independientes si y
solo si la única solución al sistema Ax=0 es la
solución trivial x=0.
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
14
Rango de una matriz
• Sea A una matriz de n × n. El det A ≠ 0 si y
solo si las columnas de A son linealmente
independientes.
• El rango ρ(A) de una matriz A es el número
de columnas o renglones que son
linealmente independientes.
• Si A es una matriz de m × n entonces el
ρ(A) ≤ min(m,n)
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
15
Bases de un Espacios Vectoriales
• Sean v1, v2, …, vn vectores en el espacio vectorial V
sobre R. Decimos que {v1, v2, …, vn } es una base
de V si cumple con las siguientes dos condiciones:
– span{v1, v2, …, vn } = V
– Los vectores v1, v2, …, vn son linealmente independientes
• Suponga que {v1, v2, …, vn } es una base del espacio
vectorial V sobre R, entonces para cada u є V
existe un conjunto único de escalares tales que:
r
r
r
r
u = c1v1 + c2 v2 + L + cn vn
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
16
Dimensión de un espacio Vectorial
• Si el espacio vectorial V tienen una base
finita, entonces es espacio vectorial es de
dimensión finita.
• Si {v1, v2, …, vn} y {u1, u2, …, un} son bases de
V, entonces m = n.
• La dimensión de un espacio V de dimensión
finita es igual al número de vectores en
cualquier base de V.
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
17
Dimensión de un espacio vectorial
• La dimensión del espacio V = {0} es
dim V = 0.
• Sea V un espacio vectorial sobre R de
dimensión n. Cualquier conjunto de n
vectores en V linealmente independiente es
una base de V.
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
18
Producto Punto
• Sean u = (u1,u2,…,un) y v = (v1,v2,…,vn) dos
vectores. El producto punto o producto
escalar de u y v esta definido por
r r
u ⋅ v = u1v1 + u2 v2 + L + un vn
• Observe que el producto punto de dos nvectores es un escalar
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
19
Norma de un Vector
• La norma de un vector v є Rn denotada por || v||
esta definida por
• Propiedades
r
r r
v = v ⋅v
r
v ≥0
r
r
cv = c v
r r
r
r
u +v ≤ u + v
r r
r r
u −v = v −u
r r
r r
u ⋅v ≤ u v
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
20
Ortogonalidad y Ortonormalidad
• Un conjunto de vectores v1, v2, …, vn en Rn es
ortogonal si
vi·vj = 0 para i ≠ j
• Si u y v son ortogonales, entonces
r r2 r2 r2
u +v = u + v
• Un conjunto de vectores v1, v2, …, vn en Rn es
ortonormal si
– vi·vj = 0 para i ≠ j
– vi·vi = 1
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
21
Base Canónica
• La Base Canónica de Rn es una base
ortonormal formada por los vectores {e1, e2, …, en}
dados por:
⎛1⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎜1⎟
⎜ 0⎟
e1 = ⎜ ⎟, e2 = ⎜ ⎟, K , en = ⎜ ⎟
M
M
M
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
• Un vector v=(x1, x2, …, xn)t se representa en la base
canónica como,
r
v = x1e1 + x2 e2 + L + xn en
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
22
Representación de Vectores en una Base
• Sea B = {v1, v2, …, vn} una base de Rn y u є
Rn. Entonces existen escalares b1, b2, …, bn
tales que
r
r
r
r
u = b1v1 + b2 v2 + L + bn vn
• El vector (u)B = (b1, b2, …, bn) es la representación
de u en la base B
r
(u )B
Propedéutico 2008
⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟
r r
r ⎜ b2 ⎟
= (v1 , v2 , L , vn )⎜ ⎟
M
⎜ ⎟
⎜b ⎟
⎝ n1 ⎠
Facultad de Ciencias
23
Cambio de Base
• Sean B1 = {v1, v2, …, vn} y B2 = {u1, u2, …, un} bases de Rn,
cada elemento de B1 puede expresarse en términos de B2
r
r
r
r
v j = a1 j u1 + a2 j u2 + L + anj u n
• La matriz A se conoce como la matriz de transición de la
base B1 a la base B2
• Sean B1 y B2 bases para un espacio vectorial V. Sea A la
matriz de transición de B1 a B2, entonces para todo x є V
r
r
(x )B2 = A(x )B1
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
24
Subespacio Vectorial
• Suponga que V es un espacio vectorial
sobre R, y que W es un subconjunto no
vació de V. Entonces W es un
subespacio de V si satisface las
siguientes condiciones:
–u, v є W entonces u + v є W
–c є R y u є W entonces cu є W
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
25
Proyecciones
• Sean u, v є Rn. La componente de u en la dirección
de v es
r r
u ⋅v
r
v
• La proyección de u sobre v esta definida por
r r
r u ⋅v r
proyv u = r 2 v
v
• Sea H un subespacio de Rn con base ortonormal {u1, u2, …,
un}. La proyección ortogonal de v є Rn sobre H esta definida
por.
r r r r
r r r
r r r
proy H v = (v ⋅ u1 )u1 + (v ⋅ u 2 )u 2 + L + (v ⋅ u k )u k
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
26
Complemento Ortogonal
• Se H un supespacio de Rn . El complemento
ortogonal de H┴ se define como:
{
r
r
r
r
H ⊥ = x ∈ R n : x ⋅ h = 0, ∀ h ∈ H
}
• Propiedades
– H┴ es un subespacio de Rn
– H ∩ H┴ = {0}
– dim H┴ = n – dim H
• Si H es un supespacio de Rn y v є Rn , entonces
existe un par único de vectores h є H, p є H┴ tales
que v = h + p.
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
27
Transformaciones
• Sean V y W espacios vectoriales reales. Una
Transformación Lineal T: V → W es una
función que asigna a cada vector v є V un
único vector T(v) є W
• Satisface que para cada u y v en V y cada
escalar a
r r
r
r
T (u + v ) = T (u ) + T (v )
r
r
T (av ) = aT (v )
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
28
Representación Matricial de una Transformación
• Sea T:Rn → Rm una transformación lineal,
entonces existe una matriz única de m × n tal
que
r
r
T ( x ) = AT x
• La matriz AT es llamada matriz de
transformación correspondiente a T o
representación matricial de T.
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
29
Representación Matricial de una Transformación
• Sea T:Rn → Rm una transformación lineal, y
{e1, e2, …, en} es la base canónica de Rn,
entonces la representación matricial de T
está dada por
AT = (T (e1 ) T (e2 ) L T (en ))
• Donde T(ej) es un vector columna para
j=1,2,…,3
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
30
Transformaciones Especiales
• Sea T:R2 → R2 una transformación lineal con
representación matricial AT. Existen
transformaciones especiales conocidas como
– Expansiones
– Compresiones
– Reflexiones
– Cortes
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
31
Expansiones
• Una expansión a lo largo del eje x es una
transformación lineal que multiplica la coordenada x
de un vector por una constante c >1,
⎛ x ⎞ ⎛ cx ⎞
T ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ y⎠ ⎝ y ⎠
⎛1⎞ ⎛ c ⎞
T ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝0⎠ ⎝ 0⎠
⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞
T ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝1⎠ ⎝1⎠
⎛ c 0⎞
⎟⎟
AT = ⎜⎜
⎝0 1⎠
⎛ x⎞
⎛ x ⎞ ⎛ c 0 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ cx ⎞
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
T ⎜⎜ ⎟⎟ = AT ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ y⎠
⎝ y ⎠ ⎝ 0 1 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
32
Compresión
• La compresión sobre el eje x es una
transformación que multiplica la coordenada
por una constante 0 < c < 1.
⎛ x ⎞ ⎛ c 0 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ cx ⎞
⎛ x⎞
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
T ⎜⎜ ⎟⎟ = AT ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ y ⎠ ⎝ 0 1 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠
⎝ y⎠
y
y
c = 1/2
c=2
x
Propedéutico 2008
x
Facultad de Ciencias
33
Reflexión
• Existen tres tipos de reflexiones:
– Reflexión con respecto al eje x
⎛ x ⎞ ⎛ 1 0 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
T ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ y ⎠ ⎝ 0 − 1⎠⎝ y ⎠ ⎝ − y ⎠
– Reflexión con respecto al eje y
⎛ x ⎞ ⎛ − 1 0 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ − x ⎞
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
T ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ y ⎠ ⎝ 0 1 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠
– Reflexión con respecto a la recta y = x
⎛ x ⎞ ⎛ 0 1 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
T ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ y ⎠ ⎝ 1 0 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ x ⎠
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
34
Reflexiones
Reflexión con
respecto al eje x
Reflexión con
respecto al eje y
y
Reflexión con respecto
a la recta y = x
y
y
y=x
x
Propedéutico 2008
x
Facultad de Ciencias
x
35
Cortes
• Un corte a lo largo del
eje x esta definido
como
⎛ x ⎞ ⎛ 1 c ⎞⎛ x ⎞ ⎛ x + cy ⎞
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
T ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ y ⎠ ⎝ 0 1 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠
y
c = 1/2
x
• Donde c puede ser una
constante positiva o
negativa
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
36
Transformación inversa
• Sea T:Rn → Rm una transformación lineal y AT su
representación matricial.
• Si AT es invertible entonces T es el producto de una
sucesión finita de reflexiones, expansiones,
compresiones y cortes.
• La transformación lineal inversa denotada por
T-1:Rm → Rn esta definida por
r
−1 r
T ( x ) = AT x
−1
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
37
Imagen y Núcleo de una Transformaciones
• Sean V y W dos espacios vectoriales y sea
T:V → W una transformación lineal, Entonces
• El núcleo de T está definido por
r
r
nu (T ) = {v ∈ V : T (v ) = 0}
• La Imagen de T está definida por
r
r
imagen(T ) = {w ∈ W : ∃ v ∈ V
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
r
r
T (v ) = w}
38
Nulidad y Rango de una Transformación
• Sea T:V → W una transformación lineal,
entonces:
– El núcleo de T es un subespacio de V
– La imagen de T es un subespacio de W
– La nulidad de T es la dimensión del núcleo de T,
Nulidad T = dim nu(T)
– Rango de T es la dimensión de la imagen de T
Rango T = dim imagen(T)
Propedéutico 2008
Facultad de Ciencias
39