MÉTODOS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA Ejercicio hoja 2 - Funciones especiales Carlos Rodríguez Fernández Ismael Granero Maraña Isabel María Alfonso Naranjo 15. La parte radial normalizada de la función de onda del átomo de Hidrógeno viene dada por: 𝑛−𝑙−1 ! 𝑅𝑛𝑙 𝛼𝑟 = 𝛼 3 2𝑛 1 𝑛 +𝑙 ! 2 𝑒 −𝛼𝑟 2 𝛼𝑟 𝑙 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝛼𝑟 , Donde α es una constante. Calcular la distancia media del electrón respecto del núcleo: ∞ 0 𝑟 = 𝑑𝑟 ∙ 𝑟 3 ∙ 𝑅𝑛𝑙 𝛼𝑟 2 . Lo que tenemos que hacer es evaluar la integral dada, así que vamos a introducir 𝑅𝑛𝑙 𝑟 en 𝑟 : ∞ 𝑑𝑟 ∙ 𝑟 3 ∙ 𝑟 = 0 ∞ = 𝑑𝑟 0 = 𝑛−𝑙−1 ! 𝛼3 2𝑛 𝑛 + 𝑙 ! 1 𝑛 − 𝑙 − 1 ! −𝛼𝑟 𝑒 𝛼𝑟 2𝑛 𝑛 + 𝑙 ! 𝑛−𝑙−1 ! ∙ 2𝑛 𝑛 + 𝑙 ! 2 2 𝑒 −𝛼𝑟 2𝑙+3 2 𝛼𝑟 𝑙 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝛼𝑟 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝛼𝑟 2 = ∞ 𝑑𝑟 ∙ 𝑒 −𝛼𝑟 𝛼𝑟 2𝑙+1 0 = 𝛼𝑟 ∙ 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝛼𝑟 2 La razón de escribirlo así es porque conocemos una regla de recurrencia para los polinomios de Laguerre que verifica: 𝑥𝐿𝛼𝑛 𝑥 = − 𝑛 − 𝑙 𝐿𝛼𝑛+1 𝑥 + 2𝑛 𝐿𝛼𝑛 𝑥 − 𝑛 + 𝑙 𝐿𝛼𝑛−1 𝑥 En nuestro problema: 𝑥𝐿𝛼𝑛 𝑥 → 𝑥𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝑥 Luego, la regla de recurrencia quedaría como: 2𝑙+1 2𝑙+1 2𝑙+1 𝑥𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝑥 = − 𝑛 − 𝑙 𝐿𝑛−𝑙 𝑥 + 2𝑛 𝐿𝑛−𝑙−1 𝑥 − 𝑛 + 𝑙 𝐿𝑛−𝑙−2 𝑥 Haciendo en la integral 𝑟 el cambio de variable: 𝛼𝑟 → 𝑥 𝛼𝑑𝑟 = 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥 𝛼 se obtiene que: 𝑛−𝑙−1 ! 1 ∙ 2𝑛 𝑛 + 𝑙 ! 𝛼 𝑟 = ∞ 𝑑𝑥 ∙ 𝑒 −𝑥 ∙ 𝑥 2𝑙+1 𝑥 ∙ 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝑥 0 2 Y ya estaríamos en disposición de aplicar la regla de recurrencia. Puede parecer un tanto engorroso desarrollar el término cuadrático de 𝑥 ∙ 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝑥 , pero no lo es tanto si aprovechamos la propiedad de ortogonalidad de estos polinomios: Usando la definición de polinomios de Laguerre: 𝑛 𝐿𝛼𝑛 𝑥 = 𝑛+𝛼 ! 1 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 ! 𝑘 + 𝛼 ! 𝑘! 𝑘 −1 𝑘=0 ∞ 𝑑𝑥 ∙ 𝑥 𝛼 ∙ 𝑒 −𝑥 ∙ 𝐿𝛼𝑛 𝑥 ∙ 𝐿𝛼𝑚 𝑥 = 𝛿𝑛𝑚 0 𝛼+𝑛 ! 𝑛! , siendo: 𝐿𝛼𝑛 𝑥 2 = 𝛼+𝑛 ! 𝑛! la norma. En nuestro ejercicio, 𝛼 ≡ 2𝑙 + 1 𝑛 ≡𝑛−𝑙−1 , luego: ∞ 0 2𝑙+1 𝑑𝑥 ∙ 𝑥 2𝑙+1 ∙ 𝑒 −𝑥 ∙ 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝑥 ∙ 𝐿𝑚 −𝑙−1 𝑥 = 𝛿𝑛𝑚 , siendo: 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝑥 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙 𝑥 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−2 𝑥 2 2 = = 2 = 𝑙+𝑛 ! 𝑛−𝑙−1 ! 𝑙+𝑛+1 ! 𝑛−𝑙 ! 𝑙+𝑛−1 ! 𝑛−𝑙−2 ! las normas. 𝑙+𝑛 ! 𝑛−𝑙−1 ! Por tanto, en el término cuadrático 𝑥 ∙ 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝑥 desarrollo quedará como sigue: 𝑥 ∙ 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝑥 2 = 𝑛−𝑙 2 2 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙 𝑥 2 no van a sobrevivir los productos cruzados, y su + 2𝑛 2 2 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝑥 + 𝑛+𝑙 2 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙 𝑥 2 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−1 𝑥 2 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−2 𝑥 2 Introduciendo en la integral: 𝑛−𝑙−1 ! 1 𝑟 = ∙ 2𝑛 𝑛 + 𝑙 ! 𝛼 2 𝑛−𝑙 ∞ 𝑑𝑥 ∙ 𝑒 −𝑥 ∙ 𝑥 2𝑙+1 + 2𝑛 0 2 + 𝑛+𝑙 2 + + 2 𝐿2𝑙+1 𝑛−𝑙−2 𝑥 es decir, resulta la suma de tres integrales, que no son otra cosa que la norma de cada polinomio de Laguerre por un factor multiplicativo: 𝑟 = 𝑛−𝑙−1 ! 𝑛−𝑙 2𝛼𝑛 𝑛 + 𝑙 ! 2 𝑛+𝑙+1 ! + 2𝑛 𝑛−𝑙 ! ∙ 2 ∙ 𝑛+𝑙 ! + 𝑛+𝑙 𝑛−𝑙−1 ! 2 𝑛+𝑙−1 ! 𝑛−𝑙−2 ! El problema en este punto está básicamente resuelto, tan sólo es necesario simplificar la expresión. Lo que vamos a hacer es el MCM en el corchete y sumar dentro, para simplificar con el factor común: 𝑛+𝑙+1 𝑛+𝑙 𝑛+𝑙−1 ! + 𝑛−𝑙 𝑛−𝑙−1 𝑛−𝑙−2 ! 𝑛+𝑙 𝑛+𝑙−1 ! = + 2𝑛 2 ∙ + 𝑛−𝑙−1 𝑛−𝑙−2 ! 𝑛+𝑙−1 ! + 𝑛+𝑙 2 𝑛−𝑙−2 ! 𝑛−𝑙 𝑟 = = 𝑛−𝑙−1 ! 2𝛼𝑛 𝑛 + 𝑙 ! 2 ∙ 𝑛−𝑙−1 ! 𝑛+𝑙 𝑛+𝑙−1 ! 𝑛−𝑙 2𝛼𝑛 𝑛 + 𝑙 ! 𝑛 − 𝑙 − 2 ! = 𝑛−𝑙−1 2𝛼𝑛 = 2 ∙ 𝑛+𝑙+1 2𝑛 2 + + 𝑛+𝑙 𝑛−𝑙 𝑛−𝑙−1 𝑛−𝑙−1 𝑛−𝑙 𝑛+𝑙+1 2𝑛 2 𝑛+𝑙 𝑛−𝑙−1 + + 𝑛−𝑙−1 𝑛−𝑙−1 𝑛−𝑙−1 = = 𝑛 − 𝑙 𝑛 + 𝑙 + 1 + 2𝑛 2 + 𝑛 + 𝑙 𝑛 − 𝑙 − 1 = 2𝛼𝑛 = 6𝑛2 − 2𝑙 2 − 2𝑙 3𝑛2 − 𝑙 𝑙 + 1 = 2𝛼𝑛 𝛼𝑛 En conclusión, la distancia media del electrón respecto del núcleo en el átomo de Hidrógeno es: 3𝑛2 − 𝑙 𝑙 + 1 𝑟 = 𝛼𝑛