politica fiscal optima en un modelo de lucas con externalidades

POLITICA FISCAL OPTIMA EN UN MODELO DE
LUCAS CON EXTERNALIDADES
Manuel A. Gómez Suárez
Antonio Sarmiento Escalona
J. Antonio Seijas Macías
Dpto. de Economía Aplicada II
F. Cc. Económicas
Campus de Elviña s/n
15071 A Coruña
mago@udc.es, jasm@udc.es, antsar@udc.es
Resumen
En este trabajo se desarrolla una política fiscal capaz de proporcionar los incentivos
adecuados para que el equilibrio competitivo sea óptimo en el modelo de Lucas con
externalidades, tanto en el estado estacionario como a lo largo de la transición. A
diferencia de trabajos anteriores, supondremos que la función de producción es del tipo
CES. El capital humano medio tiene un efecto externo positivo sobre la producción, lo
que provoca que la fracción de tiempo dedicada al estudio sea inferior a la óptima. Para
corregir el fallo de mercado provocado por la externalidad, se introduce un subsidio al
capital humano y se muestra cómo puede ser financiado.
Abstract
In this paper, we present a design of fiscal policy capable of providing the required
incentives so that the competitive equilibrium be optimal in the Lucas Model with
externalities, both in the steady state and in the transitional path. Differently to previous
works we shall assume that output is produced with a CES production function. The
average human capital has a positive external effect on the goods sector, which entails
that the fraction of time devoted to learning be inferior to the optimal one. In order to
correct the market failure provoked by the externality we introduce a subsidy to human
capital and analyze how can it be financed.
Palabras clave: Optimización, Crecimiento Económico, Política Fiscal, Externalidades.
1
1 Introducción.
El modelo de Uzawa (1965) y Lucas (1988) ha sido objeto de numerosos
estudios en la pasada década (Caballé y Santos, 1993, Chamley, 1993, Mulligan y Salai-Martín, 1993, Bond et al., 1996, Ladrón-de-Guevara et al., 1999, y Ortigueira, 2000).
En ausencia de externalidades, el equilibrio competitivo es óptimo y, por lo tanto, la
intervención pública no está justificada. Sin embargo, esto no es así cuando se
introducen externalidades en el modelo. Lucas (1988) considera que el capital humano
medio tiene un efecto externo sobre la producción. Dicho efecto supone que la fracción
de tiempo dedicada a la acumulación de capital humano sea inferior a la óptima. En
dichas circunstancias, una política adecuada por parte del gobierno puede corregir dicho
fallo de mercado.
García-Castrillo y Sanso (2000) y Gómez (2003) derivan políticas fiscales
mediante las cuales el equilibrio de mercado es óptimo en el modelo de Uzawa-Lucas
con externalidades a la Lucas. Ambos emplean una función de producción del tipo
Cobb-Douglas. Sin embargo, Duffy y Papageorgiou (2000) muestran que la evidencia
empírica no avala el empleo de una función Cobb-Douglas, sino de una función CES
más general.
El objetivo de este trabajo es desarrollar un modelo tipo Uzawa-Lucas en el que
la producción de bienes se realice mediante una función CES, y determinar una política
fiscal mediante la cual el equilibrio óptimo alcanzable por una planificador central
pueda ser descentralizado. La política fiscal óptima requiere la utilización de subsidio al
stock de capital humano variable en el tiempo. Este subsidio habría de financiarse
mediante un impuesto sobre los salarios y un impuesto de suma fija. Los rendimientos
del capital deberían de estar libres de impuestos.
La estructura de este trabajo es la siguiente. En la sección 2 se describe la
economía de mercado. En la sección 3 se describe la economía centralizada, se halla el
estado estacionario y se estudia la estabilidad del equilibrio. La sección 4 analiza la
política fiscal óptima y por último, en la sección 5 se recogen las principales
conclusiones del trabajo.
2. La economía de mercado.
Consideremos una economía integrada por un gran número de individuos
idénticos y con vida infinita que derivan su utilidad del consumo de un bien privado, c.
Por simplicidad, supondremos que la población es constante y su tamaño se normaliza a
una unidad. La utilidad intertemporal derivada por el agente representativo viene dada
por la función de utilidad isoelástica:
W =∫
∞
0
e − ρt
c 1−σ − 1
dt
1−σ
ρ > 0, σ > 0 ,
2
(1)
donde, ρ es la tasa de preferencia temporal y σ es la inversa de la elasticidad de
sustitución intertemporal. Una fracción del tiempo u se dedica al trabajo y la fracción
restante 1–u se destina al aprendizaje. El capital humano h, se acumula de acuerdo a la
ecuación dinámica
h = δ (1 − u )h
δ > 0.
(2)
Sean r la tasa de rendimiento del capital físico y w la tasa de salario por unidad
de trabajo efectivo. El gobierno establece un impuesto sobre los rendimientos del capital
físico, τk, un impuesto sobre los rendimientos del trabajo, τw, y un impuesto de suma
fija, T. Por el lado del gasto, el gobierno financia un subsidio al stock de capital
humano, s. En ausencia de depreciación del capital físico, la restricción presupuestaria
de agente representativo es
k = (1 − τ k )rk + (1 − τ w ) wuh − c − T + π + sh,
(3)
donde π representa el beneficio extraordinario de la empresa. El agente representativo
maximiza (1) sujeto a las restricciones (2) y (3).
La producción de la economía es función del stock de capital físico, k, del capital
humano destinado a la producción de bienes, uh, y del capital humano medio de la
economía, ha. Supondremos que la función producción es una función tipo CES
(compuesta):
[
y = A k 1−α a (uh) β + (1 − a )haβ
]
α
β
A > 0, 0 < α < 1, β > −1,
0 < a < 1.
(4)
Esta especificación asume que la producción presenta rendimientos decrecientes a
escala en los inputs privados, k y uh, y rendimientos constantes a escala a nivel social.
Cuando β tiende a cero, la función de producción (4) tiende a la función Cobb-Douglas:
y = A k 1−α (uh) αa haα (1− a ) ,
de modo que la tecnología Cobb-Douglas empleada por García Castrillo (2000) y
Gómez (2003) es un caso particular de (4).
En la solución de mercado, los agentes toman ha como dado. Por simetría, en el
equilibrio ha=h. A causa de la externalidad, la solución de mercado difiere de la
solución del planificador central.
La maximización del beneficio de las empresas implica que el capital físico y el
trabajo se emplean hasta el punto en el cual el producto marginal iguala al coste
marginal:
r=
(1 − α ) y
,
k
3
w=
αay (uh )β −1
a (uh ) + (1 − a )haβ
β
.
Dado que la function de producción presenta rendimientos decrecientes a escala, se
producen rendimientos extraordinarios:
π = y − rk − wuh .
Por simplicidad, supondremos que el gobierno mantiene un presupuesto
equilibrado en cada momento del tiempo, de modo que
τ k rk + τ wwuh + T = sh
(5)
Sea J el Hamiltoniano en términos corrientes del problema de maximización de
la utilidad de las familias, y sean λ y µ los multiplicadores asociados a las restricciones
(4) y (2), respectivamente.
J = (c 1−σ − 1) (1 − σ ) + λ [ (1 − τ k )rk + (1 − τ w ) wuh − c − T + π + sh ] + µ [ δ (1 − u )h ] .
Las condiciones necesarias para una solución interior son:
c −σ = λ ,
(6a)
λ (1 − τ w ) wh = µδh ,
(6b)
λ = ( ρ − (1 − τ k )r )λ ,
(6c)
µ = ( ρ − δ (1 − u ))µ − λ ((1 − τ w ) wu + s ) ,
(6d)
y las condiciones de transversalidad:
lim λke − ρt = 0 ,
t → +∞
lim µhe − ρt = 0 .
t → +∞
Sea g z = z z la tasa de crecimiento de la variable z. A partir de aquí,
impondremos la condición de equilibrio h=ha, y tendremos en cuenta las expresiones
para r y w calculadas anteriormente.
Despejando en (6c) obtenemos la siguiente expresión:
gλ = ρ −
(1 − τ k )(1 − α ) y
.
k
(7)
Tomando logaritmos en (6a) y derivando, la tasa de crecimiento del consumo es
4
gc =
(1 − τ k )(1 − α ) y
−ρ.
σk
(8)
Usando la condición de equilibrio presupuestario (5), la Eq. (3) se reduce a
k = rk + wuh − c + π ,
(9)
que, teniendo en cuenta la expresión para los beneficios extraordinarios, π=y–rk–wuh,
puede simplificarse a
gk = y k − c k .
(10)
De la Eq. (4) obtenemos la tasa de crecimiento del capital humano, h:
g h = δ (1 − u ) .
(11)
Usando la Eq. (6b) para sustituir en (6d) obtenemos gµ, y tomando logaritmos en
(6b), y empleando (6c), (10) y (11), podemos obtener la tasa de crecimiento de u:
(1 − a + au β )
gu =
×
h((−1 + a )(−1 + β ) − au β (−1 + α ))(−1 + τ w )
 − hsu 1− β (1 + a (−1 + u β ))δ hy (−1 + α )τ k (−1 + τ w )

−
+ hτ w
ayα
k

+
ch(−1 + α ) + k (−1 + h + 2u − hu + α − uα )δ )(−1 + τ w ) 

k

(12)
El sistema (2), (8), (10) y (12) caracteriza la evolución de la economía de
mercado. El sistema se puede reformular en función de variables que sean constante en
el estado estacionario. Para ello, definimos x= k/h, q=c/k. De esta forma obtenemos el
sistema en x, q, u:
gq =
((1 − τ k )(1 − α ) − σ ) Ax
−α
β
α
β
(1 − a + au ) − ρ
σ
(
g x = Ax −α 1 − a + au β
gu =
α
β
)
− q − δ (1 − u ) ,
(1 − a + au β )
×
(α − 1)au β + ( β − 1)(1 − a )
+q,
(13a)
(13b)
(13c)
β −α

α
1− β
β

τ
δsu (1 − a + au ) β
 (1 − α )q − τ k (1 − α ) Ax −α (1 − a + au β ) β + w + (αu − α − u )δ +
1−τ w
(1 − τ w )aαAx 1−α


5





3. La economía centralizada.
El planificador central tiene información completa y elige todas las cantidades
directamente, teniendo en cuenta toda la información relevante. Dicho planificador
maximiza (1) sujeto a (2) y
[
]
α
β
β
k = Ak 1−α a (uh ) + (1 − a )h β
−c,
(14)
donde se ha empleado que ha = h.
Sea J el Hamiltoniano en términos corrientes del problema de maximización del
planificador, y sean λ y µ los multiplicadores de las restricciones (14) y (2),
respectivamente:
α


β
J = (c 1−σ − 1) (1 − σ ) + λ  Ak 1−α a (uh ) + (1 − a )h β β − c  + µ [ δ (1 − u )h ].


[
]
Las condiciones necesarias de primer orden para una solución interior son:
c −σ = λ ,
k
h
λAαa 
(15a)
1−α
u β −1 (1 − a + au β )
k
λ = ρλ − λA 
h
−α
α −β
β
α
β
(1 − a + au )
β
= µδ ,
(15b)
(1 − α ) ,
(15c)
α
1−α
k
h
µ = ρµ − δ (1 − u ) µ − λA 
(1 − a + au β ) β α ,
(15d)
y las condiciones de transversalidad
lim λke − ρt = 0 ,
t → +∞
lim µhe − ρt = 0 .
t → +∞
De la misma manera que en el caso de la economía de mercado, podemos
obtener el siguiente sistema de ecuaciones que caracteriza la dinámica de la economía
del planificador central:
gq =
Ax −α (1 − a + au β ) α β (1 − α − σ )
σ
+q−
ρ
,
σ
(16a)
g x = Ax −α (1 − a + au β ) α β − q − δ (1 − u ) ,
(16b)
u − β (1 − a + au β )(uδ − auδ + au β (q (−1 + α ) + (u + α − uα )δ ))
.
gu = −
a (−1 + a + β − aβ + au β ( −1 + α ))
(16c)
6
Sea z=y/k. La tasa de crecimiento de z puede hallarse como
g z = αδ (1 − u ) − α ( z − q) + α
(−1 + a)δu + au β ((1 − α )q + δ (−α − (1 − α )u ))
.
− 1 + a + β − aβ + a (−1 + α )u β
(17)
Expresamos el sistema (16) en función de las variables z, q, u:
gq =
(1 − α ) z − ρ
σ
− z + q,
(18a)
g x = z − q − δ (1 − u ) ,
(18b)
u − β (1 − a + au β )(uδ − auδ + au β (q (−1 + α ) + (u + α − uα )δ ))
gu = −
.
a (−1 + a + β − aβ + au β ( −1 + α ))
(18c)
Igualando a cero las ecuaciones (18a) y (18b), obtenemos los valores estacionarios de z
y q en función de u:
ρ + (1 − u*)δ (α + σ − 1)
q* =
,
1−α
ρ + δσ (1 − u*)
z* =
.
1−α
Sustituyendo el valor de q* en (18c) e igualando a cero, obtenemos que
(−1 + a )δu*1− β + a ( ρ + δ (σ − 1 − σu*)) = 0 ,
(19)
ya que u* = ((−1 + a ) a ) 1 β no es solución dado que no verifica la restricción 0<u*<1.
Consideremos la función
F(u) = (−1 + a )δu 1− β + a( ρ + δ (σ − 1 − σu )) ,
que es decreciente para u>0, porque su derivada es negativa. Por el Teorema de Bolzano
existe un u*∈(0,1) si y sólo si se cumple que F(0)= a( ρ + δ (σ − 1)) >0 y
F(1)= − δ + aρ <0. Estas condiciones pueden ser expresadas de forma equivalente como
δ (1 − σ ) < ρ <
δ
a
.
(20)
Es fácil comprobar que si 0 <u* <1, se verifican las condiciones de transversalidad.
Linealizando el sistema (17), (18a) y (18c) en el estado estacionario (z*,q*,u*),
obtenemos:
7

− αz*

 z  
 
 q  =  (1 − α − σ ) q*
  
σ
 u  
  
0


α (1 − a)(1 − β ) z*
1 − a − β + aβ + a (1 − α )u* β
q*
−
(1 − α )(1 + a(u β − 1))u*
1 − a − β + aβ + a(1 − α )u* β

j13 
  z − z* 

0   q − q* ,



u − u* 
j 33  

donde
j13 =
j 33 =
αβ ((1 − a)δ − au* β −1 ((1 − α ) z* −δ )
z* ,
1 − a − β + aβ + a (1 − α )u* β
(1 − a + au* β )(δu* + a(q* u* β (−1 + α ) β − (u* −αβ u* β +(−1 + α )(1 + β )u*1+ β )δ ))
a (1 − a − β + aβ + a(1 − α )u* β )u* β
.
Simplificando, obtenemos que la traza de la matriz jacobiana puede expresarse como
tr = ( ρ − δ (1 − σ )(1 − u*))
+
(1 − a + au* β )((1 − a)δu*1− β + βa(δ (1 − σ ) − ρ + δσu*) + au* δ (1 − α ))
a ((1 − a)(1 − β ) + a(1 − α )u* β )u* β
,
donde el primer término es positivo, empleando la condición (20), y el denominador del
segundo término también es positivo. La ecuación (19) se puede escribir como:
(1 − a )δu*1− β + a (δ (1 − σ ) − ρ + δσu*) = 0 ,
de modo que a (δ (1 − σ ) − ρ + δσu*) < 0 . Por lo tanto, tenemos que obtenemos que el
numerador del segundo término de la expresión anterior es positivo, ya que
(1 − a)δu*1− β + βa(δ (1 − σ ) − ρ + δσu*) + au* δ (1 − α ) >
(1 − a)δu*1− β + βa(δ (1 − σ ) − ρ + δσu*) > (1 − a)δu*1− β + a(δ (1 − σ ) − ρ + δσu*) = 0 .
En consecuencia, la traza es positiva. Empleando las expresiones obtenidas para q* y z*
en función de u*, el determinante de la matriz jacobiana puede hallarse como
det = −
(1 − a + au* β )α ( ρ + δσ (1 − u*))( ρ − δ (1 − α − σ )(1 − u*))
a (1 − α )σ ((1 − a)(1 − β ) + a (1 − α )u* β )
× ((1 − a)δu*1− β + β a(δ (1 − σ ) − ρ + δσu*) + au* δ (1 − α )) .
El denominador de la expresión anterior es positivo, los dos primeros factores del
numerador son positivos, el cuarto factor también lo es, ya que
ρ − δ (1 − α − σ )(1 − u*) = ρ + δσ (1 − u*) − δ (1 − α )(1 − u*) >
> ρ + δσ − δ (1 − α )(1 − u*) > δ − δ (1 − α )(1 − u*) > 0 ,
8
donde la segunda desigualdad se sigue de (20), y el último factor, ya estudiado al
analizar la traza, también es positivo. En consecuencia, el determinante es negativo. Por
lo tanto, el estado estacionario presenta estabilidad de punto de silla, y podemos
establecer la siguiente proposición:
Proposición 1. El estado estacionario de la economía centralizada en el modelo de
Uzawa-Lucas en el que el capital humano medio tiene un efecto externo sobre la
productividad presenta estabilidad de punto de silla.
4. Política Fiscal Optima.
El objetivo de esta sección es determinar una política fiscal capaz de conseguir
que el equilibrio de la la economía descentralizada coincida con el equilibrio óptimo
alcanzable por el planificador central y descrito por el sistema (16).
En primer lugar, observemos que las ecuaciones (13b) y (16b), que describen la
dinámica de x en las economías descentralizada y del planificador central,
respectivamente, coinciden. Comparando (13a) con (16a) vemos que la economía
descentralizada sigue la misma evolución que la centralizada sólo en el caso de que la
tasa impositiva sobre los ingresos de capital físico sea nula, τk=0. Finalmente, igualando
los términos de la derecha de las ecuaciones (13c) y (16c), sustituyendo τk=0, y
considerando que τw es constante, de modo que τ w = 0 , obtenemos la siguiente
expresión para el subsidio al stock de capital humano:
s = (1 − τ w )(1 − a )α a x
1−α
β
(1 − a + au )
α −β
β
.
(21)
Es fácil comprobar que esta política es factible, ya que dado un valor (constante) del
impuesto sobre los rendimientos del trabajo, τw, tenemos que el tamaño del sector
público respecto al output es inferior a la unidad:
sh (1 − τ w )(1 − a )α
=
<1.
y
(1 − a + au β )
El valor óptimo del impuesto de suma fija puede obtenerse sustituyendo (21) en
la restricción presupuestaria del gobierno (5). Para financiar el subsidio debe recurrirse
a un impuesto de suma fija durante la transición al estado estacionario. Sin embargo, en
el estado estacionario es posible financiar el subsidio estableciendo un impuesto
(constante) sobre los rendimientos del capital humano, a un tipo impositivo
τ w = (1 − a) (1 − a + au* β ) , que verifica que 0<τw<1. Por lo tanto, podemos establecer la
siguiente proposición.
Proposición 2. La política fiscal óptima tiene las siguientes características: a) los
rendimientos del capital físico deben estar libres de impuestos, b) debe establecerse un
subsidio (variable) al stock de capital humano, c) la financiación del subsidio al capital
humano requiere el establecimiento de un impuesto de suma fija, al menos en la
transición al estado estacionario.
9
5. Conclusiones.
En este trabajo se ha analizado el modelo de Uzawa-Lucas en el que la
producción se realiza mediante una tecnología del tipo CES. También se ha diseñado
una política fiscal capaz de conseguir que el equilibrio de mercado sea óptimo de Pareto
en presencia de externalidades del capital humano medio en el sector productor de
bienes. La política fiscal óptima requiere la utilización de un subsidio al stock de capital
humano. Los rendimientos del capital físico deben estar libres de imposición. Solamente
en el estado estacionario, es posible financiar el subsidio mediante un impuesto sobre
los salarios, siendo preciso recurrir a la imposición de suma fija, al menos en la
transición al estado estacionario.
Bibliografía
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10