Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.2

Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.2. Series de números reales: primeras definiciones y propiedades b
Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE
NÚMEROS REALES
XIV.2. Series de números reales: primeras
definiciones y propiedades básicas
Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.2. Series de números reales: primeras definiciones y propiedades b
1. Series
DEF. Dada la sucesión (an ), se denomina sucesión de sumas
parciales asociadas a (an ) a la sucesión
(Sn ) = (a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3 , · · · ),
Sn =
n
X
ak
k =1
DEF. Sea (an ) una sucesión y (Sn ) la sucesión de sumas
parciales de (an ).
Al par de sucesiones ((an ), (Sn )) se le llama serie.
∞
X
Se representa por
an
n=1
(an ) se conoce como el término general de la serie
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2. Series convergentes
DEF. Se dice que la serie
∞
X
an es convergente si (Sn ) lo es.
n=1
Se llama suma de la serie a
∞
X
n=1
Si la serie
∞
X
n=1
an = lim Sn = s
n→∞
an es convergente, entonces lim an = 0
n→∞
La convergencia de (an ) no implica la convergencia de
(Sn )
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3. Serie armónica generalizada y serie geométrica
DEF. La serie
∞
X
1
se llama serie armónica generalizada
nα
n=1
Esta serie converge si α > 1
DEF. Una serie geométrica es una serie en la que la razón
entre términos consecutivos es constante:
∞
X
ar n−1
n=1
Si |r | < 1 la serie geométrica converge. Su suma es S =
a
1−r