Beamer - Universitat de València

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INTRODUCCIÓN A LAS COÁLGEBRAS: STREAMS
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá, 2014
Enric Cosme Llópez
Departament d'Àlgebra
Universitat de València
COÁLGEBRA UNIVERSAL
Coálgebra Universal
Coálgebra Final
COÁLGEBRA
Dada una categoría X, llamada la categoría base y un endofuntor
F : X → X.
Definición
Una F -coálgebra es un par (X, α), donde X es un objeto de X y
α : X → F X es una flecha en X.
Llamamos a X la base y a α la función estructural de la coálgebra.
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
COÁLGEBRA
Máquina de dos botones
1
V
N
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
COÁLGEBRA
Máquina de dos botones
1
V
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
COÁLGEBRA
Máquina de dos botones
1
V
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
COÁLGEBRA
Máquina de dos botones
1
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
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Máquina de dos botones
1
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Máquina de dos botones
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COÁLGEBRA
Máquina de dos botones
0
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
COÁLGEBRA
Máquina de dos botones
V
N
Esta máquina puede ser descrita como coálgebra:
(v, n) : X −→ A × X
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
HOMOMORFISMOS DE COÁLGEBRAS
Definición
Sean (X, α) y (Y, β) dos F -coálgebras. Un homomorfismo
de F -coálgebras, es una función f : X → Y que hace conmutar
el siguiente diagrama:
X
f
α
FX
Y
β
Ff
FY
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
SUBCOÁLGEBRAS
Definición
Sea (X, α) una F -coálgebra. Sea W ⊆ X un subconjunto cualquiera de X. Diremos que W es una subcoálgebra de X si existe
una función estructural αW en W de forma que la función inclusión i : W → X es un homomorfismo de F -coálgebras.
W
i
∃ αW
FW
X
α
Fi
FX
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
BISIMULACIÓN
Definición
Sean (X, α) y (Y, β) dos F -coálgebras. Un subconjunto Z del producto cartesiano de X y Y es una F -bisimulación si existe una
función estructural γ : Z → F Z de forma que las proyecciones
de Z a X y Y son homomorfismos de F -coálgebras.
π1
X
α
FX
Z
∃ γ
FZ
F π1 F π2
π2
Y
β
FY
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
BISIMULACIÓN
Definición
Si (X, α) = (Y, β), entonces Z se llama bisimulación en (X, α).
Una equivalencia bisimulacional es una bisimulación que además
es una relación de equivalencia.
Dos estados x ∈ X, y ∈ Y se llaman bisimilares si existe una
bisimulación Z con hx, yi ∈ Z.
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
BISIMULACIÓN
Definición
Si (X, α) = (Y, β), entonces Z se llama bisimulación en (X, α).
Una equivalencia bisimulacional es una bisimulación que además
es una relación de equivalencia.
Dos estados x ∈ X, y ∈ Y se llaman bisimilares si existe una
bisimulación Z con hx, yi ∈ Z.
Ejemplo
El conjunto vacío, ∅ ⊆ X × Y , siempre es una bisimulación entre
(X, α) y (Y, β).
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
BISIMULACIÓN
Ejemplo
La diagonal, ∆X ⊆ X × X, siempre es una equivalencia bisimulacional en X.
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
BISIMULACIÓN
Ejemplo
La diagonal, ∆X ⊆ X × X, siempre es una equivalencia bisimulacional en X.
Máquina de dos botones
Sean (X, (v, n)) y (Y, (v, n)) dos máquinas. Los elementos x ∈ X
y y ∈ Y son bisimilares si y sólo si:
v(x) = v(y)
n(x) y n(y) son bisimilares.
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
COCIENTES
Teorema
Sea (X, α) una F -coálgebra. Sea Z una equivalencia bisimulacional en X. Entonces existe una única función estructural γZ :
X/Z → F (X/Z) que convierte la función cociente πZ : X →
X/Z en un homomorfismo de F -coálgebras.
X
πZ
∃! γZ
α
FX
X/Z
F πZ
F (X/Z)
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COÁLGEBRA FINAL
Coálgebra Universal
Coálgebra Final
COÁLGEBRA FINAL
Definición
Diremos que una F -coálgebra, (X, α), es una F -coálgebra final
si para cualquier otra F -coalgebra (Y, β) existe un único homomorfismo de F -coálgebras ! : Y → X.
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
COÁLGEBRA FINAL
Definición
Diremos que una F -coálgebra, (X, α), es una F -coálgebra final
si para cualquier otra F -coalgebra (Y, β) existe un único homomorfismo de F -coálgebras ! : Y → X.
Teorema
Sea (X, α) una F -coálgebra final, entonces α es un isomorfismo de F -coálgebras. La coálgebra final, si existe, es única salvo
isomorfismo.
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
COÁLGEBRA FINAL
Definición
Diremos que una F -coálgebra, (X, α), es una F -coálgebra final
si para cualquier otra F -coalgebra (Y, β) existe un único homomorfismo de F -coálgebras ! : Y → X.
Teorema
Sea (X, α) una F -coálgebra final, entonces α es un isomorfismo de F -coálgebras. La coálgebra final, si existe, es única salvo
isomorfismo.
Son puntos fijos para el funtor, esto es F (X) ∼
= X.
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
COÁLGEBRA FINAL
Máquina de dos botones
Consideremos la siguiente máquina de dos botones basada en
streams (AN , (h, t)) con función estructural:
(h, t) :
AN
(ai )i∈N
−→
7−→
A × AN
(a0 , (ai+1 )i∈N )
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
COÁLGEBRA FINAL
Máquina de dos botones
Consideremos la siguiente máquina de dos botones basada en
streams (AN , (h, t)) con función estructural:
(h, t) :
AN
(ai )i∈N
−→
7−→
A × AN
(a0 , (ai+1 )i∈N )
Proposición
(AN , (h, t)) es la máquina de dos botones final:
!:
(X, (v, n))
x
−→
7−→
(AN , (h, t))
(v(ni (x)))i∈N
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
FINAL COALGEBRAS
La existencia de la coálgebra final nos ayuda a definir nuevos
elementos y operadores.
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
FINAL COALGEBRAS
La existencia de la coálgebra final nos ayuda a definir nuevos
elementos y operadores.
Sean (X, α) y (Y, β) dos F -coálgebras. Sea x ∈ X y y ∈ Y .
Teorema
x y y son bisimilares ⇔ !(x) =!(y)
Este teorema nos ayuda a probar proposiciones mediante
coinducción.
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Coálgebra Universal
Coálgebra Final
BIBLIOGRAFÍA
J. Rutten,
Universal coalgebra: a theory of systems,
Elsevier, Theoretical Computer Science, Amsterdam, 2000.
J. Rutten,
Behavioural differential equations: a coinductive calculus of
streams, automata and power series,
Elsevier, Theoretical Computer Science, Amsterdam, 2002.
D. Sangiorgi, J. Rutten,
Advanced Topics in Bisimulation and Coinduction,
Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 2012.
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