existen infinitas fórmulas que producen, cada una, infinitos números

EXISTEN INFINITAS FÓRMULAS QUE
PRODUCEN, CADA UNA, INFINITOS
NÚMEROS DE CARMICHAEL
En primer lugar necesitamos tener en cuenta las siguientes definiciones:
Definición. Número libre de cuadrados: número que
descomposición en factores primos, no aparece ningún factor repetido.
en
su
Definición. Número Pseudoprimo: es un número que satisface alguna
propiedad que la cumplen todos los números primos sin excepción, pero
definitivamente no es primo (es número compuesto).
Definición. Pequeño Teorema de Fermat: si m.c.d. ( , )  1 donde
primo y
 2 entonces
(mod. ).
es
Definición. Un Número de Carmichael: es un número pseudoprimo libre
de cuadrados el cual cumple que
(mod. ) para todo natural que sea
primo relativo con . Por ejemplo 561 = 3 x 11 x 17 es el menor número de
Carmichael.
Los números de Carmichael tienen como mínimo tres factores primos
diferentes y como máximo no tienen límite. El producto de tres o más primos
diferentes es un número de Carmichael, si cada primo disminuido en una unidad
divide al producto (de dichos primos) disminuido también en una unidad; esta
condición se conoce como el criterio de Korselt.
Haciendo una comparación con los números primos se
Euclides demostró que existen infinitos números primos y
matemático alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
demostró que existen infinitas sucesiones lineales tales que
contiene infinitos números primos.
puede afirmar que:
luego apareció el
(1805-1859) quien
cada una de ellas
Algo parecido ocurre con los números de Carmichael, puesto que en 1994
Alford, Granville, y Pomerance demostraron que existen infinitos números de
Carmichael y ahora se puede demostrar que existen infinitas fórmulas, tales que
cada una de ellas produce infinitos números de Carmichael.
La primera parte de esta afirmación (que existen infinitas fórmulas) se
demuestra en cada uno de los siguientes dos teoremas:
TEOREMA 1
ℕ0, sea
Para
= (ABC)
+
la solución general de la congruencia
lineal
(AB + AC + BC)
-A-B-C
(Mod. ABC)
donde A, B y C son enteros positivos primos entre sí dos a dos.
Sean también las siguientes sucesiones o funciones naturales de variable
natural:
(n) = (A2 B C ) n + (A k + 1) = A + 1
(n) = (A B2 C ) n + (B k + 1) = B
+1
(n) = (A B C2 ) n + (C k + 1) = C
+1
Si para algún entero no negativo se tiene que
son primos, entonces el producto S(n) =
(n) •
(n) •
de Carmichael.
(n),
(n) y
(n)
(n) es un número
Demostración.
Es fácil demostrar que el producto de al menos tres números primos (n) •
(n) • (n) es un número de Carmichael si se cumple la siguiente divisibilidad:
M.C.M. [
( )
( )
]
( )
(n) •
(n) •
(n) – 1.... ( )
Ahora, para verificar esta divisibilidad, simplificaremos cada término:
 M.C.M. [
( )
( )
( )
]=
= M.C.M. [A + 1 – 1; B + 1 – 1; C + 1 – 1]
= M.C.M. [A ; B ; C ]

(n) •
=
(M.C.M. [A; B; C])
=
(A B C)
(n) •
pues A , B y C son primos entre sí dos a dos
(n) – 1 = (A + 1) (B + 1) (C + 1) - 1
= (AB
+ A + B + 1) (C + 1) – 1
= (AB
+ AB
= ABC
+ AB
+ AC
+ AC
+ A + BC
+ BC
+ B + C + 1) – 1
+A +B +C
= (ABC)
+ (AB + AC + BC)
+ (A + B + C)
Luego, la divisibilidad queda de la forma:
(ABC)
(ABC)
En donde se observa que (ABC)
demostrar que
(ABC)
Simplificando :
+ (AB + AC + BC)
divide a (ABC)
(AB + AC + BC)
(ABC)
+ (A + B + C)
; entonces solo falta
+ (A + B + C)
(AB + AC + BC)
+ (A + B + C)
Expresándolo en términos de congruencias, se tiene:
(AB + AC + BC)
-A-B-C
(Mod. ABC)
en la cual; como A, B y C son P.E.SI dos a dos, entonces se puede afirmar que:
M.C.D. [ AB + AC + BC; ABC ] = 1
Esto permite asegurar, por propiedad de congruencias, que la congruencia
lineal
(AB + AC + BC)
- A - B - C (Mod. ABC)
tiene una solución única comprendida entre 0 (inclusive) y ABC, llamada solución
principal.
Sea
tiene que
con
=
la solución principal, es decir 0 ≤
= (ABC) + será la solución general.
< ABC; luego
Luego concluimos que la divisibilidad ( ) se cumple cuando
la cual está garantizada por la hipótesis.
Por lo tanto el producto S(n) =
Carmichael.
(n) •
(n) •
= (ABC)
se
+
(n) es un número de
----------------------------------------------------- ■ ----------------------------------------------------
TEOREMA 2
Para
sea
= (ABC) +
(AB + AC + BC)
la solución general de la congruencia lineal
-A-B-C
(Mod. ABC)
donde A, B y C son enteros positivos primos entre sí dos a dos.
Sean también las siguientes sucesiones o funciones naturales de variable
natural:
(n) = (A2 B C ) n + (Ak + 1) = A + 1
(n) = (A B2 C) n + (Bk + 1) = B
+1
(n) = (A B C2) n + (Ck + 1) = C
+1
(n) = (A2 B 2C2) n + (ABCk + 1) = ABC
+1
Si para algún entero no negativo se tiene que
(n) son primos, entonces el producto
(n) •
(n) •
número de Carmichael.
(n),
(n),
(n) y
(n) •
(n) es un
Demostración.
Se sabe que
(n) • (n) •
se cumple la siguiente divisibilidad:
(n) •
(n) será un número de Carmichael si
M.C.M. [ Q1(n) -1; Q2(n) -1; Q3(n) -1; Q4(n) -1] Q1(n) • Q2(n) • Q3(n) • Q4(n) -1 …. ()
Simplificando cada término:
 M.C.M. [
( )
( )
( )
( )
]=
= M.C.M. [A + 1 – 1 ; B + 1 – 1 ; C + 1 – 1; ABC + 1 – 1]
= M.C.M. [A ; B ; C ; ABC ]

(n) •
= (AB
(n) •
=
(M.C.M. [A ; B ; C ; ABC])
=
(ABC)
(n) •
pues A , B y C son primos entre sí dos a dos.
(n) – 1 = (A + 1) (B + 1) (C + 1) (ABC + 1) – 1
+ A + B + 1) (C + 1) (ABC + 1) – 1
= (ABC
+ AB
+ AC
+ A + BC
= (ABC
+ AB
+ AC
+ BC
= A2B2C2
+ A2B2C
+ ABC + ABC
= (A2B2C2)
+ A2BC2
+ AB
+ AC
+ B + C + 1) (ABC + 1) – 1
+ A + B + C + 1) (ABC + 1) – 1
+ AB2C2
+ BC
+ A2BC
+ ABC2
+ A + B + C +1 – 1
+ (A2B2C + A2BC2 + AB2C2 + ABC)
+ AB + AC + BC)
+ AB2C
+ (A2BC + AB2C + ABC2
+ (ABC + A + B + C)
Luego, la divisibilidad queda de la forma:
(ABC)X [ (A2B2C2)
+ (A2B2C + A2BC2 + AB2C2 + ABC)
ABC2 + AB + AC + BC)
+ (ABC + A + B + C) ]
+ (A2BC + AB2C +
Simplificando aquellos términos que son divisibles por (ABC)
(ABC)
[ (A2B2C2)
+ (A2B2C + A2BC2 + AB2C2 + ABC)
ABC2 + AB + AC + BC)
+ (ABC + A + B + C) ]
se tiene que:
(ABC)
Simplificando :
(AB + AC + BC)
(ABC)
+ (A2BC+ AB2C+
+ (A + B + C)
(AB + AC + BC) + (A + B + C)
Expresándolo en términos de congruencias, se obtiene:
(AB + AC + BC)
-A-B-C
(Mod. ABC)
en la cual; como A, B y C son P.E.SI dos a dos, entonces se puede afirmar que:
M.C.D. [AB + AC + BC; ABC] = 1
esto permite asegurar, por propiedad de congruencias, que la congruencia lineal
(AB + AC + BC)
- A - B - C (Mod. ABC)
tiene una solución única comprendida entre 0 (inclusive) y ABC, llamada solución
principal.
Sea =
la solución principal, es decir 0 ≤
tiene que = (ABC) + será la solución general.
< ABC; luego
se
Luego concluimos que la divisibilidad ( ) se cumple cuando
con
= (ABC)
+
, la cual está garantizada por la hipótesis.
(n) •
Por lo tanto S(n) =
Carmichael.
(n) •
(n) •
(n) es un número de
----------------------------------------------------- ■ -----------------------------------------------------Estos dos teoremas son un extracto del libro “Numeros de Carmichael” (
http//www.
) publicado por el autor de este artículo, en donde además se
demuestra, entre otras cosas, que cada uno de estos sistemas con tres o cuatro
sucesiones contiene infinitos números de Carmichael.
A continuación se muestra en una tabla los sistemas formados por 3 y por 4
factores que contienen números de Carmichael si ocurre que los (n) son primos
para un mismo
entero no negativo; estos sistemas son generados por tres
números A, B y C primos entre sí dos a dos:
Número
Números
de
generadores
A, B, C
orden
1
1
2
3
2
1
2
5
3
1
2
7
4
1
2
9
Solución de
Sistema con tres
(n)
Sistema con cuatro
(n)
X=6n
6n+1
12 n + 1
18 n + 1
6n+1
12 n + 1
18 n + 1
36 n + 1
X = 10 n + 6
10 n + 7
20 n + 13
50 n + 31
10 n + 7
20 n + 13
50 n + 31
100 n + 61
X = 14 n + 2
14 n + 3
28 n + 5
98 n + 15
14 n + 3
28 n + 5
98 n + 15
196 n + 29
X = 18 n + 12
18 n + 13
36 n + 25
162 n + 109
18 n + 13
36 n + 25
162 n + 109
324 n + 217
(AB + AC + BC) X
– (A + B + C)
(Mod. ABC)
5
1
2
11
6
1
2
13
7
1
3
4
8
1
3
5
9
1
3
7
10
1
3
8
11
1
3
10
12
1
3
11
13
1
3
13
14
1
4
5
X = 22 n + 4
22 n + 5
44 n + 9
242 n + 45
22 n + 5
44 n + 9
242 n + 45
484 n + 89
X = 26 n + 18
26 n + 19
52 n + 37
338 n + 235
26 n + 19
52 n + 37
338 n + 235
676 n + 469
X = 12 n + 4
12 n + 5
36 n + 13
48 n + 17
12 n + 5
36 n + 13
48 n + 17
144 n + 49
X = 15 n + 12
15 n + 13
45 n + 37
75 n + 61
15 n + 13
45 n + 37
75 n + 61
225 n + 181
X = 21 n + 1
21 n + 2
63 n + 4
147 n + 8
21 n + 2
63 n + 4
147 n + 8
441 n + 22
X = 24 n + 12
24 n + 13
72 n + 37
192 n + 97
24 n + 13
72 n + 37
192 n + 97
576 n + 289
X = 30 n + 22
30 n + 23
90 n + 67
300 n + 221
30 n + 23
90 n + 67
300 n + 221
900 n + 661
X = 33 n + 6
33 n + 7
99 n + 19
363 n + 67
33 n + 7
99 n + 19
363 n + 67
1089 n + 199
X = 39 n + 16
39 n + 17
117 n + 49
507 n + 209
39 n + 17
117 n + 49
507 n + 209
1521 n + 625
X = 20 n + 10
20 n + 11
80 n + 41
100 n + 51
20 n + 11
80 n + 41
100 n + 51
400 n + 201
15
1
4
7
16
1
4
9
17
1
4
11
18
1
4
13
19
1
5
6
20
1
5
7
X = 28 n + 4
28 n + 5
112 n + 17
196 n + 29
28 n + 5
112 n + 17
196 n + 29
784 n + 113
X = 36 n + 10
36 n + 11
144 n + 41
324 n + 91
36 n + 11
144 n + 41
324 n + 91
1296 n + 361
X = 44 n + 40
44 n + 41
176 n + 161
484 n + 441
44 n + 41
176 n + 161
484 n + 441
1936 n + 1761
X = 52 n + 2
52 n + 3
208 n + 9
676 n + 27
52 n + 3
208 n + 9
676 n + 27
2704 n + 105
X = 30 n + 18
30 n + 19
150 n + 91
180 n + 109
30 n + 19
150 n + 91
180 n + 109
900 n + 541
X = 35 n + 31
35 n + 32
175 n + 156
245 n + 218
35 n + 32
175 n + 156
245 n + 218
1225 n + 1086
Ejemplo 1. Para A = 1, B = 2 y C = 3 se forma el sistema:
Q1(n) = 6n + 1
Q2(n) = 12n + 1
Q3(n) = 18n + 1
y en la siguiente tabla se muestran los valores enteros no negativos para
menores que 10 000 tales que Q1(n) = 6n + 1, Q2(n)= 12n +1 y Q3(n)= 18n + 1 son
números primos y por lo tanto el producto (n) •
(n) •
(n) es un número de
Carmichael.
Número
de
orden
Factores primos
Números de
Carmichael
Valores
de n
1
7
13
19
1729
1
2
37
73
109
294409
6
3
211
421
631
56052361
35
4
271
541
811
118901521
45
5
307
613
919
172947529
51
6
331
661
991
216821881
55
7
337
673
1009
228842209
56
8
601
1201
1801
1299963601
100
9
727
1453
2179
2301745249
121
10
1171
2341
3511
9624742921
195
11
1237
2473
3709
11346205609
206
12
1297
2593
3889
13079177569
216
13
1531
3061
4591
21515221081
255
14
1657
3313
4969
27278026129
276
15
2221
4441
6661
65700513721
370
16
2281
4561
6841
71171308081
380
17
2557
5113
7669
100264053529
426
18
3037
6073
9109
168003672409
506
19
3061
6121
9181
172018713961
510
20
3067
6133
9199
173032371289
511
21
4261
8521
12781
464052305161
710
22
4447
8893
13339
527519713969
741
23
4801
9601
14401
663805468801
800
24
4951
9901
14851
727993807201
825
25
5227
10453
15679
856666552249
871
26
5581
11161
16741
1042789205881
930
27
5851
11701
17551
1201586232601
975
28
6151
12301
18451
1396066334401
1025
29
6361
12721
19081
1544001719761
1060
30
6691
13381
20071
1797002211241
1115
31
6841
13681
20521
1920595706641
1140
32
6967
13933
20899
2028691238689
1161
33
7621
15241
22861
2655343122121
1270
34
7681
15361
23041
2718557844481
1280
35
7687
15373
23059
2724933935809
1281
36
7867
15733
23599
2920883888089
1311
37
8017
16033
24049
3091175755489
1336
38
8167
16333
24499
3267961077889
1361
39
8191
16381
24571
3296857440241
1365
40
8287
16573
24859
3414146271409
1381
41
8521
17041
25561
3711619793521
1420
42
8527
17053
25579
3719466204049
1421
43
8647
17293
25939
3878725359169
1441
44
8941
17881
26821
4287981117241
1490
45
9091
18181
27271
4507445537641
1515
46
10177
20353
30529
6323547512449
1696
47
10831
21661
32491
7622722964881
1805
48
11251
22501
33751
8544361005001
1875
49
11311
22621
33931
8681793690961
1885
50
11767
23533
35299
9774745315489
1961
51
12241
24481
36721
11004252611041
2040
52
12391
24781
37171
11413778221441
2065
53
12517
25033
37549
11765530852489
2086
54
13147
26293
39439
13633039686169
2191
55
13411
26821
40231
14470947115561
2235
56
13477
26953
40429
14685655594249
2246
57
13537
27073
40609
14882678745409
2256
58
13627
27253
40879
15181505298649
2271
59
14197
28393
42589
17167430884969
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60
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61
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62
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30781
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63
15427
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64
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31873
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65
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66
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32533
48799
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67
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68
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69
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70
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3531
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42793
64189
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3566
76
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43633
65449
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77
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3741
78
22777
45553
68329
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3796
79
23011
46021
69031
73103085605161
3835
80
23497
46993
70489
77833567590769
3916
81
23827
47653
71479
81159260227849
3971
82
23857
47713
71569
81466208375329
3976
83
24337
48673
73009
86483161466209
4056
84
24841
49681
74521
91968282854641
4140
85
25171
50341
75511
95682503446921
4195
86
25411
50821
76231
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4235
87
26041
52081
78121
105950928237841
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88
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53113
79669
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89
27061
54121
81181
118895125737961
4510
90
27067
54133
81199
118974229155289
4511
91
27337
54673
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122570307044209
4556
92
27691
55381
83071
127393969917241
4615
93
27817
55633
83449
129140929242289
4636
94
28387
56773
85159
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4731
95
30367
60733
91099
168011973623089
5061
96
30931
61861
92791
177548395641481
5155
97
31327
62653
93979
184455452572849
5221
98
31771
63541
95311
192410140250521
5295
99
31957
63913
95869
195809339861929
5326
100
32257
64513
96769
201375886537729
5376
101
33301
66601
99901
221568419989801
5550
102
33427
66853
100279
224093003069449
5571
103
33487
66973
100459
225301895806609
5581
104
33871
67741
101611
233141908767121
5645
105
34747
69493
104239
251703127095769
5791
106
35251
70501
105751
262815637149001
5875
107
36037
72073
108109
280790932830409
6006
108
37357
74713
112069
312790579286329
6226
109
37591
75181
112771
318705390188641
6265
110
38821
77641
116461
351025246957321
6470
111
39901
79801
119701
381144706349401
6650
112
39937
79873
119809
382177291511809
6656
113
40111
80221
120331
387194417159761
6685
114
40237
80473
120709
390854788519609
6706
115
41011
82021
123031
413847154073161
6835
116
41077
82153
123229
415848433183849
6846
117
41491
82981
124471
428549255564041
6915
118
41851
83701
125551
439801455648601
6975
119
41887
83773
125659
440937387145009
6981
120
42397
84793
127189
457240489374169
7066
121
43177
86353
129529
482944146230449
7196
122
43717
87433
131149
501291932351689
7286
123
43987
87973
131959
510637565929609
7331
124
45061
90121
135181
548962252005961
7510
125
45541
91081
136621
566692953864841
7590
126
45697
91393
137089
572536569523969
7616
127
46447
92893
139339
601192212565969
7741
128
46957
93913
140869
621214363151929
7826
129
47161
94321
141481
629346067180561
7860
130
47857
95713
143569
657623122439329
7976
131
48091
96181
144271
667316922191641
8015
132
48487
96973
145459
683938014196609
8081
133
48907
97813
146719
701865606427129
8151
134
49477
98953
148429
726693182050249
8246
135
49831
99661
149491
742403294138881
8305
136
50647
101293
151939
779475417411169
8441
137
50821
101641
152461
787536877909321
8470
138
51001
102001
153001
795934611306001
8500
139
51217
102433
153649
806090432846689
8536
140
51907
103813
155719
839110734385129
8651
141
52081
104161
156241
847577589374881
8680
142
52807
105613
158419
883519506462529
8801
143
53401
106801
160201
913671191480401
8900
144
53527
107053
160579
920153949774049
8921
145
53551
107101
160651
921392227198801
8925
146
53857
107713
161569
937277770955329
8976
147
53881
107761
161641
938531360353681
8980
148
53887
107773
161659
938844932257009
8981
149
54151
108301
162451
952711345022401
9025
150
54277
108553
162829
959377262271049
9046
151
55117
110233
165349
1004612946644089
9186
152
56131
112261
168391
1061085945064681
9355
153
57601
115201
172801
1146654351705601
9600
154
57847
115693
173539
1161408537694369
9641
155
58057
116113
174169
1174103262876529
9676
156
58567
117133
175699
1205317701684289
9761
157
59107
118213
177319
1238966116844329
9851
158
59341
118681
178021
1253739456971641
9890
159
59887
119773
179659
1288666276813009
9981
Ejemplo 2. Si A = 1, B = 3 y C = 5 entonces se obtiene el siguiente sistema:
Q1(n) = 15n + 13
Q2(n) = 45n + 37
Q3(n) = 75n + 61
y en la siguiente tabla se muestran los valores enteros no negativos para
menores que 10 000 tales que Q1(n) = 15n + 13, Q2(n)= 45n +37 y Q3(n)= 75n + 61
son números primos y el producto
(n) •
(n) •
(n) es un número de
Carmichael.
Número
de
orden
Factores primos
Números de
Carmichael
x
x
Valores
de n
1
13
37
61
29341
0
2
43
127
211
1152271
2
3
163
487
811
64377991
10
4
373
1117
1861
775368901
24
5
433
1297
2161
1213619761
28
6
673
2017
3361
4562359201
44
7
823
2467
4111
8346731851
54
8
853
2557
4261
9293756581
56
9
1483
4447
7411
48874811311
98
10
1663
4987
8311
68926289491
110
11
1693
5077
8461
72725349421
112
12
2143
6427
10711
147523256371
142
13
2503
7507
12511
235081952731
166
14
3613
10837
18061
707161856941
240
15
3733
11197
18661
779999961061
248
16
4003
12007
20011
961809124231
266
17
4423
13267
22111
1297472175451
294
18
4603
13807
23011
1462432372831
306
19
4783
14347
23911
1640813492611
318
20
4813
14437
24061
1671885346141
320
21
5683
17047
28411
2752403727511
378
22
6043
18127
30211
3309357078271
402
23
6133
18397
30661
3459443867461
408
24
6763
20287
33811
4638902368591
450
25
7573
22717
37861
6513448976101
504
26
7603
22807
38011
6591169015831
506
27
7723
23167
38611
6908231508751
514
28
8233
24697
41161
8369282635561
548
29
8353
25057
41761
8740624114081
556
30
9283
27847
46411
11997415267111
618
31
9433
28297
47161
12588478268761
628
32
10273
30817
51361
16260021568801
684
33
11083
33247
55411
20417651396911
738
34
11383
34147
56911
22121038275211
758
35
11743
35227
58711
24287018177971
782
36
12373
37117
61861
28409580180901
824
37
12553
37657
62761
29667646934281
836
38
13633
40897
68161
38003083824961
908
39
14533
43597
72661
46037660899861
968
40
15913
47737
79561
60437629011241
1060
41
15973
47917
79861
61123871704501
1064
42
16843
50527
84211
71665772465071
1122
43
17203
51607
86011
76360154753431
1146
44
17683
53047
88411
82932179259511
1178
45
18913
56737
94561
101470277334241
1260
46
20563
61687
102811
130412646654391
1370
47
23293
69877
116461
189557159803021
1552
48
23563
70687
117811
196225740177391
1570
49
23773
71317
118861
201519202632301
1584
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