Tema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL Concepto de VA

Concepto de VA bidimensional
Juego de dardos:
• Cada lanzamiento es un
experimento aleatorio.
Tema 3: VARIABLE
ALEATORIA BIDIMENSIONAL
• Los errores (respecto del
centro) en sentido horizontal
serían realizaciones de las VA
X.
Carlos Alberola López
• Los errores (respecto del
centro) en sentido vertical
serían realizaciones de las VA
Y.
Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación
Despacho 2D014
caralb@tel.uva.es, jcasasec@tel.uva.es,
http://www.lpi.tel.uva.es/sar
• ¿Cuándo será mejor un jugador que otro? Cuando más
frecuentemente (probablemente) alcance mayor puntuación.
• Necesitamos pues herramientas bidimensionales ….
Concepto de VA bidimensional
Concepto de VA bidimensional
Una modulación digital:
• Se envían símbolos durante
un tiempo T de la forma:
X
con
Un modelo real presenta ruido!!!
• Diseño de regiones de decisión para minimizar probabilidad de
error: sectores angulares similares a la diana.
(X, Y )
Y
Pc: Como norma general no es
conocida a partir del
conocimiento exclusivo de P1 y
P2
• Valor de A que garantiza una determinada calidad en el servicio.
1
Caracterización de VA bidimensional
Caracterización de VA bidimensional
A) Función de distribución conjunta
A) Función de distribución conjunta
y
y
y
y
{Y ≤ y}
{Y ≤ y}
{X ≤ x}× S2
x
{X ≤ x}
{X ≤ x}
x
x
x
Caracterización de VA bidimensional
Caracterización de VA bidimensional
A) Función de distribución conjunta
A) Función de distribución conjunta
y
y
S1 × {Y ≤ y} y
{X ≤ x}× S2 I S1 × {Y ≤ y}
S1 × {Y ≤ y} y
{X ≤ x}I {Y ≤ y}
{X ≤ x}
x
x
{X ≤ x}
x
x
2
Función de distribución conjunta
Función de distribución conjunta
• Es una función de probabilidad acumulada:
• Se define como la probabilidad de la región anterior:
B = {X ≤ x1}I {Y ≤ y1}
A = {X ≤ x0 }I {Y ≤ y0 }
• Nótese que:
FXY ( x0 , y0 ) ≤ FXY ( x1 , y1 )
pues:
B = AUC ⇒ A⊂ B
Función de distribución: usos
y
P (D ) = FXY ( x2 , y ) − FXY ( x1 , y )
y
Función de distribución: usos
y
P (E ) = FXY ( x2 , y2 ) − FXY ( x1 , y2 )
− (FXY ( x2 , y1 ) − FXY ( x1 , y1 ))
y2
E
D
y
x
x1
y
y1
x2
x
B
x
x2
x1
B = A U D ⇒ P (B ) = P ( A U D )
x1
x2
P ( D ) = P ( B ) − P ( A)
y2
y1
B
y2
y1
x
x1
D
x
x1
x2
B = A U D U E ⇒ P (B ) = P ( A U D U E )
A
= P ( A) + P ( D )
x
x2
x1
y
y
A
y
y
x2
= P ( A) + P ( D ) + P ( E )
P ( E ) = P ( B ) − P ( A) − P ( D )
3
Caracterización de VA bidimensional
Caracterización de VA bidimensional
B) Función de densidad de probabilidad
B) Función de densidad de probabilidad
• La función de distribución es poco versátil, pues sólo permite
hallar probabilidades de regiones con geometría muy sencilla.
• La función de densidad se define de la forma
No negativa
• ¿Qué sucede si necesitamos calcular la probabilidad de una
región con geometría arbitraria?
• Y la relación inversa es
y
Volumen
encerrado=1
∑ P (R )
i
i
• De forma que la probabilidad asociada a una región arbitraria D
del plano es
x
Caracterización de VA bidimensional
Caracterización de VA bidimensional
y
B) Función de densidad de probabilidad
B) Función de densidad de probabilidad
• ¿Por qué recibe este nombre? Dado que se define
•
y+Δy
y
¿Por qué recibe este nombre? Dado que se define
x
• se puede escribir de forma alternativa
•
se puede escribir de forma alternativa
x
x+Δx
4
Ejercicio:
P (X > x ) = 1 − FX ( x )
¿ P(X > x, Y > y ) = 1 − F
XY
( x, y ) ?
Funciones marginales
• Las funciones de distribución o densidad de cada variable por
separado, en este contexto se denominan funciones marginales.
• A partir de las funciones de densidad o distribución conjunta
siempre se pueden obtener las marginales
¡¡NO!!
S = {X > x, Y > y}U {X ≤ x U Y ≤ y}
• Recíproco, en general,
no es cierto
P (S ) = P ({X > x, Y > y}U {X ≤ x U Y ≤ y})
X
1 = P (X > x, Y > y ) + P (X ≤ x U Y ≤ y )
(X, Y )
Y
P (X > x, Y > y ) = 1 − P (X ≤ x U Y ≤ y ) = 1 − (FX ( x ) + FY ( y ) − FXY ( x, y ))
P (X ≤ x U Y ≤ y ) = P (X ≤ x ) + P (Y ≤ y ) − P (X ≤ x I Y ≤ y )
Funciones de distribución marginales
Funciones de densidad marginales
• Para obtener FX ( x ) hay que definir el suceso P (X ≤ x )
partir del caso 2D. Para ello escribimos
• En este caso:
a
P (X ≤ x ) = P ({X ≤ x}× S2 )
• Es decir, que en el suceso compuesto la segunda variable no
suponga restricción alguna. Por ello
• Lo cual se puede escribir de forma compacta como
=
• De la misma forma
d x
φ (α )dα
dx ∫−∞
• con
∞
φ (α ) = ∫ f XY (α , y )dy
−∞
5
Funciones de densidad marginales
Funciones de densidad marginales
• Para derivar bajo el signo integral acudimos a la regla:
• Por tanto:
• En nuestro caso tenemos:
f X (x ) =
d x
φ (α )dα ,
dx ∫−∞
∞
φ (α ) = ∫ f XY (α , y )dy
−∞
• por lo que:
f X (x ) = φ (x ) = ∫
∞
−∞
f XY ( x, y )dy
Casos particulares:
Casos particulares:
A) Dos variables discretas
B) Una variable continua y una discreta
Supongamos que nos preguntan:
Supongamos que nos preguntan:
P (X ≤ x, Y ≤ y ) = P (R1 U R2 )
P (X ≤ x )
= P ( A) + P (B ) + P (C )
C
A
B
= p11 + p21 + p22
con
pij = P ({X = xi }I {Y = y j })
R1
R2
= P (R1 ) + P (R2 )
R1 = {X = x1}I {Y ≤ y}
R2 = {X = x2 }I {Y ≤ y}
6
Casos particulares:
Entonces:
P (X ≤ x, Y ≤ y ) = P (R1 U R2 ) = P (R1 ) + P (R2 )
C) Componentes relacionadas mediante
Se puede obtener la función
conjunta a través de cada una
de las marginales:
Por lo que:
P (R1 ) + P (R2 ) = P ({X = x1}I {Y ≤ y}) + P ({X = x2 }I {Y ≤ y})
= P (Y ≤ y X = x1 )P (X = x1 ) + P (Y ≤ y X = x2 )P (X = x2 )
= P (X = x1 )∫
y
−∞
fY (τ X = x1 )dτ + P (X = x2 )∫
y
−∞
f Y (τ X = x2 )dτ
Y = g (X )
(x, g(x ))
y > g (x )
FXY ( x, y ) = P (X ≤ x ) = FX ( x )
Es necesario pues conocer:
P (X = xi )
y < g (x )
f Y ( y X = xi )
FXY ( x, y ) = P (X ≤ g −1 ( y )) = FX ( g −1 ( y ))
Casos particulares: Y = g (X ) = 2 X
Supongamos que las componentes están relacionadas mediante
una recta y nos piden la probabilidad de la región sombreada:
P (R ) = FXY ( A) + FXY ( B )
− FXY (C ) − FXY ( D )
D
A
R
B
C
y > g (x )
D
y < g (x )
A, B, C
FXY ( B ) = FXY (C ) = FX ( g −1 (0)) = FX (0)
Funciones condicionadas
• Se plantea cómo incluir más información en las
funciones de caracterización total de las variables
aleatorias una vez que se sabe que un determinado
suceso se ha verificado.
• A tales funciones se les denomina funciones
condicionadas, y se representan:
donde M es un suceso de probabilidad no nula.
P (R ) = FXY ( A) − FXY ( D ) = FX (g −1 (5)) − FX (1) = FX (5 / 2 ) − FX (1)
7
Funciones condicionadas
Funciones condicionadas,
marginales y conjuntas
• Existe una relación importante entre estas tres
funciones, tanto a nivel de función de distribución como
a nivel de función de densidad.
• Para la función de distribución, supongamos que el
condicionante es M = {Y ≤ y} y calculemos la
función FX x M . Así pues
(
)
• Por ello:
• Y de forma similar
Funciones condicionadas,
marginales y conjuntas
• Teníamos que
• Para la función de densidad, consideremos que el
condicionante es una franja de valores de la VA Y, a
saber, M = {y1 < Y ≤ y2 }
• Y con el cambio de variables:
• Renombramos ahora para poder
acudir a cálculo diferencial:
⎧ y1
⎨
⎩ y2
• Calculando el límite:
=y
= y + Δy
8
Comentarios adicionales
• Repetimos la expresión:
• ¿Cómo es una función de densidad condicionada a la
otra variable?
• Y ahora derivando con respecto a x:
• Esta expresión permite construir muestras de una VA
bidimensional mediante ordenador:
• Por lo que podemos escribir:
X
Y X= x
Teorema de la Probabilidad Total
~ N (0,1)⎫
⎬100 muestras
~ N (x,1)⎭
x=randn(100,1)
y=x+randn(100,1)
Teorema de Bayes
• Nótese que podemos integrar estas expresiones y
obtenemos las funciones marginales:
Teorema de la Probabilidad Total
9
Independencia de dos VAs
• Se dice que dos VAs son independientes si se verifica
que los experimentos aleatorios de los que proceden
son independientes. Esto trae consigo que:
Independencia de dos VAs
• Vimos que de forma general podemos escribir
• Según hemos visto las variables son independientes si
se verifica que
con
• En particular si escogemos
podemos afirmar que dos VAs son independientes si:
Por tanto si son independientes “el condicionante no
condiciona”
• Para el caso de las VAs discretas, la independencia se
traduce en:
• O bien
Independencia de dos VAs
• La comprobación de la “no independencia” es muy
sencilla e intuitiva. En particular
Transformación de VA 2D. Caso Z=g(X,Y)
• Objetivo: obtener la caracterización de Z a partir de la
de X e Y.
• Procedimiento: a partir de la definición de función de
distribución:
siendo
el procedimiento consiste en:
1. Identificar la región Dz
2. Realizar la integral
Recorridos de VAs
dependientes entre sí!!!!!
f XY ( x0 , y0 ) = 0 pero ⎧ f X ( x0 ) ≠ 0
⎨
⎩ f Y ( y0 ) ≠ 0
10
Transformación de VA 2D. Ejemplo
• Consideremos que
la función de distribución de la VA Z.
. Obtengamos
• Partimos de:
Transformación de VA 2D. Ejemplo
• Por tanto:
P (Dz ) = ∫
∞
∫
z−x
−∞ −∞
d ∞ z
f XY ( x, t − x )dxdt
dz ∫− ∞ ∫−∞
z
∞
d
= ∫ ⎡ ∫ f XY ( x, t − x )dx ⎤ dt
⎥⎦
dz −∞ ⎢⎣ − ∞
d z
=
ϕ (t )dt
dz ∫−∞
f Z (z ) =
f XY ( x, y )dxdy
• Para obtener la función de
densidad derivamos
f Z (z ) =
dFZ (z ) dP (Dz )
=
dz
dz
Transformación de VA 2D. Ejemplo
• Nótese que si las VAs fuesen independientes, el
resultado anteriormente obtenido:
f Z (z ) = ϕ (z ) = ∫
∞
−∞
• Es decir
dP (Dz ) d ∞ z − x
= ∫ ∫ f XY ( x, y )dxdy
dz
dz −∞ −∞
• Hagamos el cambio de variable y = t − x
• Entonces:
• se escribiría
f Z (z ) =
• Entonces
f Z (z ) = ϕ (z ) = ∫
∞
−∞
f XY ( x, z − x )dx
Transformación de VA 2D. Dos funciones
de dos VAs
• Consideremos ahora que partimos de:
f XY ( x, z − x )dx
f Z (z ) = ϕ (z ) = ∫
∞
−∞
f X ( x ) f Y (z − x )dx
f Z (z ) = f X (z ) ∗ f Y (z )
• Este resultado recibe el nombre de Teorema de la
Convolución (la función de densidad de la suma de 2
VAs independientes es igual a la convolución de las
funciones de densidad)
• El objetivo es obtener la función de densidad de las
VAs de destino como función de la función de densidad
de las VAs de origen.
• Llegaremos a una expresión que será el Teorema
Fundamental extendido a dos dimensiones.
• Consultar tres ejemplos más en el libro.
11
Transformación de VA 2D. Dos funciones
de dos VAs
• Para ello, escribimos
Transformación de VA 2D. Dos funciones
de dos VAs
• Generalizando
• Y dado que:
Transformación de VA 2D. Dos funciones
de dos VAs
• Entonces resulta la expresión del teorema:
• Solución: la expresión del teorema fundamental es:
• con:
12
• Sólo hay una raíz del plano origen que se transforma en
una del plano destino (salvo para el (0,0), pero es un
punto aislado en el plano).
• Hemos obtenido pues:
f ZW (z, w ) =
• Y dado que W=X
f ZW (z , w ) =
• Por ello, escribimos:
f XY ( x, y ) = f X (x ) f Y ( y )
• Sustituyendo términos:
1 1
=
x x
1
w
0 ≤ z ≤ w ≤1
• Ahora hay que indicar en qué zona del plano (z,w) es
cierta la conclusión obtenida.
y
z
1
1
x
0
1
w
0
w
1
Transformación de VA. Método de la
Variable Auxiliar
• Consideremos ahora que partimos de:
(1)
es decir, de una transformación de 2 Vas.
• Supongamos que deseamos conocer su función de
densidad. Podemos emplear el teorema fundamental
haciendo lo siguiente:
(2)
f ZW (z , w )
(3)
f Z (z ) = ∫
∞
−∞
f ZW (z, w )dw
• Este procedimiento es el método de la VA auxiliar
13
Tenemos pues:
Caracterización parcial de VA-2D
• De forma similar al caso 1D, si se tiene Z = g (X , Y ) y
se desea E {h (Z )} entonces se puede escribir:
De forma que:
• En particular, si
h (Z ) = Z
Indep.
Caracterización parcial de VA-2D
Caracterización parcial de VA-2D
• Si ahora Z = aX + bY + c
• Variables discretas:
• Esperanzas condicionadas: úsese función de densidad
condicionada
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Momentos de una VA-2D
• Se dividen en
Momentos de una VA-2D
• Con nombre propio
• No centrales:
• Correlación:
• Covarianza:
• Existe relación entre ellos:
• Centrales:
• Si las VAs son discretas:
• Coef. de correlación:
Momentos de una VA-2D
• Variables ortogonales:
RXY = 0
• Variables incorreladas:
CXY = 0
• Independencia implica incorrelación:
Momentos de una VA-2D
• Variables incorreladas:
• Varianza de la suma es igual a suma de las
varianzas:
• Variables ortogonales:
• El recíproco no es cierto!!!!! (en general)
CXY = 0
RXY = 0
• Si las variables son ortogonales el mismo
razonamiento aplica para el valor cuadrático medio
de la suma.
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Unas nociones sobre estimación
• Se trata de poder predecir lo que vale una variable (Y)
una vez que se ha observado lo que vale la otra (X):
Unas nociones sobre estimación
• Criterio de construcción de estimadores:minimizar el
valor cuadrático medio del error
{(
ˆ
min E {ε 2 } = min E Y − Y
ˆ
ε=Y−Y
• Veremos tres casos:
• Estimar mediante constante:
ˆ = g (X )
Y
• Estimar mediante constante
Ŷ = g (X ) = a
Ŷ = g (X ) = aX + b
• Estimador sin restricciones
ˆ = g (X )
Y
Unas nociones sobre estimación
• Es interesante ver que el coeficiente de correlación mide
el grado de relación lineal entre las variables:
min E {ε 2 }
Ŷ = g (X ) = a
2
• Estimar mediante función lineal
(estimador de Y)
Unas nociones sobre estimación
)}
a ∗ = E {Y}
a
• VCM del error para estimador constante:
E {ε 2 } = σ Y2
• Estimar mediante función lineal
min E {ε 2 }
Ŷ = g (X ) = aX + b
a ,b
CXY
a∗
=
b∗
= E {Y}− a ∗ E{X}
min E {ε 2 }
g(
)
2
)
E {ε 2 } = σ Y2 (1 − ρ XY
• Si
• Estimador sin restricciones
ˆ = g (X )
Y
• VCM del error para estimador lineal
σ X2
g (X ) = E {Y X = x} = ∫ yf Y ( y x )dy
∞
ρ XY = 0
ambos coinciden, ¿Por qué? Porque:
a∗
−∞
b
∗
=
CXY
σ X2
= E {Y}− a ∗ E{X}
16
17