Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns Introducción Órdenes de magnitud Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Miguel Hermanns Universidad Politécnica de Madrid, España 4 de diciembre de 2006 Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Introducción Miguel Hermanns Introducción Σ U Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite L ρ, µ y U constantes Si el número de Reynolds es grande ρUL Re = 1 µ se obtienen las ecuaciones de Euler incompresibles ∇ · v = 0, ρv · ∇v = −∇p +∇ · τ con las siguientes condiciones de contorno: x ∈ Σ : v · n = 0, v · t = 0 |x| → ∞ : v → U, p → p∞ Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Ludwig Prandtl Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns Introducción Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Antes the 1904: Los teóricos y los experimentalistas no se entendı́an La teorı́a y los experimentos no coincidı́an No era posible predecir la resistencia aerodinámica Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar El concepto de capa lı́mite Miguel Hermanns δ Introducción Σ U Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite L ρ, µ y U constantes Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones El flujo no cumple la condición v = 0: x ∈ Σ : |v| = ue (x) ⇒ 1 1 pe + ρue2 = p∞ + ρU 2 2 2 Aparece una capa lı́mite, de espesor δ L, en la cual la viscosidad no es despreciable A través de la capa lı́mite la velocidad decae hasta cero Efecto del la succión/soplado Multiplicidad de las soluciones no viscosas Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns Las ecuaciones de Euler presentan infinitas soluciones, y además no predicen la fuerza que actúa sobre el cuerpo: Introducción Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones D=0 D=0 D 6= 0 No se obtiene automáticamente la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes correspondiente al lı́mite de Re → ∞ ⇒ Hay que tener en cuenta la capa lı́mite Efecto del la succión/soplado Análisis de los órdenes de magnitud Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns Introducción Órdenes de magnitud U 8 p ρ, µ y y x y x Ecuaciones de capa lı́mite x O δ L Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Uso de las coordenadas de capa lı́mite (x, y ) Curvaturas moderadas de la superficie: (R ∼ L) Flujo plano e incompresible con viscosidad constante Análisis de los órdenes de magnitud Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns U 8 p ρ, µ y y x Introducción y x Órdenes de magnitud x O δ Flujo sobre una placa plana L Efecto del gradiente de presiones Ecuación de continuidad: ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y U vc ∼ L δ Velocidad transversal caracterı́stica en la capa lı́mite: vc ∼ U Ecuaciones de capa lı́mite δ U L Efecto del la succión/soplado Análisis de los órdenes de magnitud Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns U 8 p ρ, µ y y x Introducción y x x O Órdenes de magnitud δ L Ecuación de cantidad de movimiento según x: 2 ∂u ∂u 1 ∂p ∂ u ∂2u u +v =− +ν + ∂x ∂y ρ ∂x ∂x 2 ∂y 2 U2 Uvc ∆x p U U ∼ ν 2 ν 2 L δ ρL L δ Espesor caracterı́stico de la capa lı́mite: r νL L δ∼ = 1/2 L U Re Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Análisis de los órdenes de magnitud Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns U 8 p ρ, µ y y x Introducción y x x O Órdenes de magnitud δ L Ecuación de cantidad de movimiento según y : 2 2 ∂v ∂v u ∂ v 1 ∂p ∂2v u +v +O =− +ν + ∂x ∂y R ρ ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∆y p Uvc vc2 U2 vc vc ∼ ν 2 ν 2 L δ L ρδ L δ Variaciones de presión a través de la capa lı́mite: ∆y p ∼ ρU 2 δ ρU 2 ∼ ∆x p L Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Análisis de los órdenes de magnitud Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns U 8 p ρ, µ y y x Introducción y x Órdenes de magnitud x O δ Flujo sobre una placa plana L Resumen del análisis de los órdenes de magnitud: vc ∼ δ∼ U Re1/2 L Re1/2 Ecuaciones de capa lı́mite ∆x p ∼ ρU 2 ∆y p ∆x p La presión no varı́a a través de la capa lı́mite: p(x, y ) = pe (x) Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Ecuaciones de capa lı́mite Ecuaciones de Navier-Stokes simplificadas: Miguel Hermanns Introducción ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y ∂u 1 dpe ∂2u ∂u +v =− +ν 2 u ∂x ∂y ρ dx ∂y Condiciones de contorno e ”inicial”: Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado u(x, y = 0) = 0 v (x, y = 0) = 0 u(x = 0, y ) = u0 (y ) u(x, y δ) = ue (x) Ecuación de la región exterior: ue Órdenes de magnitud due 1 dpe =− dx ρ dx Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Ecuaciones de capa lı́mite Miguel Hermanns Ecuación de capa lı́mite para la función de corriente ψ: ∂3ψ ∂ψ ∂ 2 ψ ∂ψ ∂ 2 ψ 1 dpe − = − + ν ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 ρ dx ∂y 3 Condiciones de contorno e ”inicial”: Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones ψy (x, y = 0) = 0 ψ(x, y = 0) = 0 ψy (x = 0, y ) = u0 (y ) ψy (x, y δ) = ue (x) Ecuación de la región exterior: ue Introducción due 1 dpe =− dx ρ dx Efecto del la succión/soplado Propiedades de las ecuaciones de capa lı́mite Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns El problema planteado es parabólico Introducción Las soluciones no cumplen que v → 0 cuando y → ∞ Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Sus soluciones no dependen del número de Reynolds: ũ = u , U x̃ = x , L p̃ = U vc = √ , Re p , ρU 2 v̄ = v , vc ȳ = y δ L δ=√ Re ∂ũ ∂v̄ + = 0, ∂x̃ ∂ȳ ∂ũ ∂ũ dp̃e ∂ 2 ū ũ + v̄ =− + 2, ∂x̃ ∂ȳ dx̃ ∂ȳ ũ(x̃, ȳ = 0) = 0 v̄ (x̃, ȳ = 0) = 0 ũ(x̃, ȳ → ∞) = ũe (x̃) ũ(x̃ = 0, ȳ ) = ũ0 (ȳ ) Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Resultados de la capa lı́mite Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns Proporciona el esfuerzo de fricción en la pared: ρU 2 U ∂u ∼ τw = µ ∼ µ ∂y y =0 δ Re1/2 Proporciona el punto de separación de la capa lı́mite: ⇒ Resuelve el problema de la multiplicidad de soluciones ⇒ Determina la fuerza que actúa sobre el cuerpo Criterio de separación de la capa lı́mite: τw = 0 Introducción Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Resultados de la capa lı́mite Miguel Hermanns Proporciona el espesor de la capa lı́mite: Introducción ⇒ Espesor δ(x) basado en percentiles: Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite u(x, y = δ(x)) = 0.99ue (x) Flujo sobre una placa plana ⇒ Espesor de desplazamiento δ ∗ (x): Z ∞ u ∗ δ = 1− dy ue 0 Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado y = Y + δ∗ y =H y =Y U x ue (x) Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Flujo sobre una placa plana Miguel Hermanns U p∞ x ≈ Introducción y Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Ecuaciones de Euler: ∇ · v = 0, ρv · ∇v = −∇p Condiciones de contorno: y → ∞ : u = U, v = 0, p = p∞ x > 0, y = 0 : v = 0 Solución: u = U, v = 0, p = p∞ Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Capa lı́mite sobre una placa plana Miguel Hermanns U Introducción 8 p Órdenes de magnitud δ (x) Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Ecuaciones de capa lı́mite y condiciones de contorno: ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y ∂u ∂u 1 dpe ∂2u u +v =− +ν 2 ∂x ∂y ρ dx ∂y x > 0, y = 0 : u = 0, v = 0 y →∞:u=U x = 0 : u = u0 (y ) = U Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Capa lı́mite sobre una placa plana Miguel Hermanns U Introducción p 8 Órdenes de magnitud δ (x) Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Ecuaciones de capa lı́mite y condiciones de contorno: ∂ψ ∂ 2 ψ 1 dpe ∂3ψ ∂ψ ∂ 2 ψ − = − + ν ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 ρ dx ∂y 3 x > 0, y = 0 : ψy = 0, ψ = 0 y → ∞ : ψy = U x = 0 : ψy = u0 (y ) = U Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Capa lı́mite sobre una placa plana Miguel Hermanns U Introducción 8 p Órdenes de magnitud δ (x) Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana No existe longitud caracterı́stica L (L ⇔ x): u ∂u ∂u ∂2u +v =ν 2 ∂x ∂y ∂y 2 U Uvc U ∼ ∼ ν 2 x δ δ Espesor caracterı́stico de la capa lı́mite: r √ νx δ∼ ⇒ ψc ∼ Uδ ∼ νUx U Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Solución de Blasius Miguel Hermanns U Introducción 8 p Órdenes de magnitud δ (x) Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana El problema de capa lı́mite a resolver es: ∂ψ ∂ 2 ψ ∂ψ ∂ 2 ψ ∂3ψ − = ν ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 ∂y 3 Este problema admite solución de semejanza: r √ U , ψ = 2νUxf (η) η=y 2νx La ecuación a resolver será: f 000 + ff 00 = 0, f (0) = f 0 (0) = 0, f 0 (∞) = 1 Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Solución de Blasius Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns Las componentes de la velocidad vienen dadas por: r νU 0 ηf 0 − f u = Uf (η), v = 2x Introducción Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Solución de Blasius Miguel Hermanns Introducción experimental perfil de Blasius Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Solución de Blasius Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns Introducción Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Solución de Blasius Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns Esfuerzo local en la pared: f 00 (0) ρU 2 ρU 2 ∂u √ = 0.332 τw = µ = 1/2 ∂y y =0 2 Rex1/2 Rex Introducción Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Espesor de desplazamiento: r Z ∞ u 2νx x ∗ 1− dy = δ = lı́m (η − f ) = 1.721 1/2 U U η→∞ 0 Rex Velocidad vertical: r v∞ (x) = νU U lı́m (η − f ) = 0.860 1/2 2x η→∞ Rex Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Efecto del gradiente de presiones Miguel Hermanns u ∂u ∂u 1 dpe ∂2u +v =− +ν 2 ∂x ∂y ρ dx ∂y due 1 dpe ue =− dx ρ dx Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Separation point τw = 0 Boundary layers Efecto del gradiente de presiones Profile point of inflection Backflow δ ( x) Nearly inviscid core flow Introducción U(x) x U(x) δ ( x) Separation Nozzle: Decreasing Throat: Constant Diffuser: Increasing pressure Dividing streamline Efecto del la succión/soplado Efecto del gradiente de presiones Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns 1 dpe ∂ 2 u = 2 ∂y y =0 µ dx Introducción Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Criterio de separación de la capa lı́mite: τw = 0 Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Soluciones de Falkner-Skan Miguel Hermanns Si la distribución de velocidades es de la forma Introducción ue (x) = Ax m ⇒ pe (x) ∼ x 2m Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite entonces el problema tiene solución se semejanza: r r m + 1 ue (x) 2 νxue (x)f (η) η=y , ψ= 2 νx m+1 Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado La ecuación a resolver será: f 000 + ff 00 + β(1 − f 02 ) = 0, f (0) = f 0 (0) = 0, f 0 (∞) = 1 con el siguiente parámetro: β= 2m m+1 U πβ Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Soluciones de Falkner-Skan Miguel Hermanns Introducción Casos especiales de las soluciones de Falkner-Skan: Órdenes de magnitud β = 0: Solución de Blasius: r 2νx ue (x) = U ⇒ δ ∼ U Ecuaciones de capa lı́mite πβ = 0 U Efecto del gradiente de presiones β = 1: Punto de remanso sobre un cuerpo romo: r ue (x) = Ax ⇒ δ ∼ ν A Flujo sobre una placa plana U Efecto del la succión/soplado π Soluciones de Falkner-Skan Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns Introducción Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Si β > 0 ⇒ la capa lı́mite se adhiere más a la pared Si β < 0 ⇒ aparece un punto de inflexión Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Efecto de la succión/soplado Miguel Hermanns Sin succión Con succión Introducción Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Succión: Retrasa la separación de la capa lı́mite Retrasa la transición a la turbulencia Aumenta los esfuerzos de pared Soplado: Favorece la separación de la capa lı́mite Reduce los esfuerzos de pared Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Efecto de la succión/soplado Si la distribución de succión/soplado es de la forma Miguel Hermanns Introducción vw (x) = vw∗ U Órdenes de magnitud 1/2 Rex Ecuaciones de capa lı́mite entonces el problema tiene solución de semejanza: r √ U η=y , ψ = 2νUxf (η) 2νx La ecuación a resolver será: √ f 000 + ff 00 = 0, f (0) = − 2vw∗ , con el siguiente parámetro: vw∗ Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado f 0 (0) = 0, f 0 (∞) = 1 Efecto de la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns Introducción Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Si vw∗ < 0 ⇒ la capa lı́mite se adhiere más a la pared Si vw∗ > 0 ⇒ aparece un punto de inflexión Para vw∗ = 0.619 se produce la separación Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Efecto de una protuberancia localizada Miguel Hermanns Re = UL ν 1 U p∞ Introducción Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite ≈ Flujo sobre una placa plana L `L La teorı́a de capa lı́mite deja de ser válida, por ejemplo, cerca del borde de salida o cuando hay desprendimiento En esos casos la teorı́a del ”Triple-Deck”, o capa lı́mite interactiva, permite estudiar dichos flujos Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Efecto de una protuberancia localizada Miguel Hermanns Re = UL ν 1 Órdenes de magnitud U p∞ Ecuaciones de capa lı́mite δ∼ ≈ Introducción L q νL U `L La longitud ` de la protuberancia es pequeña frente a la longitud de desarrollo L de la capa lı́mite La altura h de la protuberancia es pequeña frente al espesor δ de la capa lı́mite Flujo plano e incompresible con viscosidad constante Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Efecto de una protuberancia localizada Miguel Hermanns Re = UL ν 1 Órdenes de magnitud U p∞ Ecuaciones de capa lı́mite δ∼ ≈ Introducción L q νL U `L Como la longitud de la protuberancia es pequeña, ` L, u ∂u ∂2u ∂u +v =ν 2 ∂x ∂y ∂y U2 Uvc U ∼ ν 2 ` δ δ la viscosidad no actúa en la mayorı́a de la capa lı́mite (y ∼ δ) Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Efecto de una protuberancia localizada Miguel Hermanns Re = UL ν 1 Órdenes de magnitud U p∞ Ecuaciones de capa lı́mite δ∼ ≈ uc q νL U δv δ L `L La viscosidad sólo actúa en una subcapa viscosa de espesor δv , donde la velocidad caracterı́stica es uc ∼ (U/δ)δv U: u Introducción ∂u ∂u ∂2u + v =ν 2 ∂x ∂y ∂y uc2 uc vc uc ∼ ∼ ν 2 ⇒ δv ∼ δ ` δv δv 1/3 ` L Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Efecto de una protuberancia localizada Miguel Hermanns v = ∇φ ∇2 φ = 0 U Re = UL ν 1 Órdenes de magnitud u = U + δu v = δv p = p∞ + δp p∞ Ecuaciones de capa lı́mite A(x) ∼ δv δ∼ ≈ uc q νL U δv ∼ h `L L ∼` δv ` ⇒ δp ≈ −ρUδu ∼ ρU 2 La corriente exterior es irrotacional Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado La protuberancia de altura h ∼ δv desplaza verticalmente la capa lı́mite una distancia A(x) ∼ δv e induce perturbaciones en la corriente exterior: (δu, δv ) ∼ U Introducción δv ` Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Efecto de una protuberancia localizada Miguel Hermanns v = ∇φ ∇2 φ = 0 U Re = UL ν 1 Órdenes de magnitud u = U + δu v = δv δp ∼ ρU 2 δv /` p∞ Ecuaciones de capa lı́mite A(x) ∼ δv δ∼ ≈ uc q νL U δv ∼ h L `L ∼` Las perturbaciones en la presión δp afectarán a la delgada subcapa viscosa si: u Introducción ∂u ∂u 1 ∂p ∂2u + v =− + ν 2 ∂x ∂y ρ ∂x ∂y 2 uc uc vc δp uc δ2 ∼ ∼ ∼ ν 2 ⇒ δv ∼ ` δv ρ` δv ` Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Efecto de una protuberancia localizada Miguel Hermanns v = ∇φ ∇2 φ = 0 Re = U UL ν 1 Órdenes de magnitud u = U + δu v = δv δp ∼ ρU 2 δv /` p∞ Ecuaciones de capa lı́mite A(x) ∼ δv δ∼ ≈ uc q νL U δv δ `L L ∼` De las dos condiciones anteriores se obtienen las escalas caracterı́sticas del problema: 1/3 ` δv ∼ δ L 2 δ δv ∼ ` ⇒ Introducción ` 1 ∼ 3/8 1 L Re δv 1 ∼ 1/8 1 δ Re Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Efecto de una protuberancia localizada Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar El problema a resolver en la subcapa viscosa es: Miguel Hermanns ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y ∂u ∂u 1 dp ∂2u u +v =− +ν 2 ∂x ∂y ρ dx ∂y donde la presión viene dada por: Z ρU 2 ∞ A0 (x1 ) dx1 p=− π −∞ x − x1 y las condiciones de contorno a imponer son y = h(x) : u = v = 0 y δv : u = λ [y + A(x)] x → −∞ : u = λy , v = 0 Las incógnitas del problema son ahora u, v , p(x) y A(x) Introducción Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado Efecto de una protuberancia localizada Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar Miguel Hermanns Introducción Propiedades del problema en la subcapa viscosa: El problema ya no es parabólico sino elı́ptico Admite desprendimientos locales de la capa lı́mite La teorı́a ”Triple-Deck” también es aplicable a: Las cercanı́as del punto de separación La región en torno al borde de salida de un perfil La interacción de ondas de choque con capas lı́mite Cambios bruscos de las condiciones de contorno Órdenes de magnitud Ecuaciones de capa lı́mite Flujo sobre una placa plana Efecto del gradiente de presiones Efecto del la succión/soplado