relatividad facil - Editorial Club Universitario

RELATIVIDAD FACIL:
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD,
LA COSMOLOGÍA Y LOS AGUJEROS NEGROS.
Ángel Torregrosa Lillo
Einstein, cabello y violín,
Hacemos nuestra última reverencia;
aunque sólo comprendido por dos personas,
él mismo y, a veces, Dios
Jack C. Rosseter
(The Mathematics Teacher, noviembre 1950, p 341)
Título: Relatividad fácil: introducción a la teoría de la relatividad, la cosmología y los agujeros negros..
Autores: © Ángel Torregrosa Lillo
I.S.B.N.: 84-8454-218-1
Depósito legal: A-1069-2002
Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 38 45
C/ Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante)
www.ecu.fm
Printed in Spain
Imprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87
C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante)
www.gamma.fm
gamma@gamma.fm
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o
transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin
permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.
Este libro surge de la unión de tres artículos que realicé con la intención de divulgar estos temas tan atractivos como confusos para la mayoría (agujeros negros, teoría de la relatividad, cosmología), tratando de
evitar que se convirtiera en un texto típico en el que te encuentras constantemente frases del tipo “se deduce que ...” o “fulanito dedujo que ...” en
todo lo que he podido, pero a la vez he tratado de evitar un documento
puramente científico plagado de cálculos tensoriales ininteligibles, de modo
que espero que con unos conocimientos de física de bachillerato o primero
de universidad sea suficiente para entender incluso las deducciones más
complicadas del texto.
Por otro lado cualquiera puede leerlo saltándose las demostraciones y aún así creo que puede resultar interesante. Debo decir aquí que a
pesar de que he puesto la teoría de la relatividad al principio, es bastante
probable que la mayoría prefiera empezar la lectura por el bloque de agujeros negros. De hecho es la parte más popular en mi página web, donde
puedo ver que paginas tienen más visitas.
Espero que este trabajo contribuya en algo a la divulgación y comprensión de un tema tan apasionante.
Ángel Torregrosa Lillo
INDICE
0- PREFACIO............................................................................................ 7
LIBRO 1: LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD .....................................9
1- EL ÉTER, LAS EXPERIENCIAS DE FIZEAU Y MICHELSON, Y
LAS TEORÍAS DE LORENTZ ........................................................ 9
2- EINSTEIN Y LA RELATIVIDAD..................................................... 15
3- UNA DEDUCCIÓN SENCILLA DE LAS TRANSFORMADAS DE
LORENTZ ....................................................................................... 19
4- TEOREMA DE ADICIÓN DE VELOCIDADES .............................. 23
5- EL ESPACIO EN CUATRO DIMENSIONES, MASA Y ENERGÍA:
E=Mc2 .............................................................................................. 25
6- LA GRAVEDAD: TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL ... 31
7- UN PUNTO DE VISTA MÁS MODERNO para la gravedad: La
métrica de Schwarzschild ................................................................ 37
8- PARADOJAS y CONCLUSIONES ................................................... 39
LIBRO 2: LOS AGUJEROS NEGROS ...................................................41
9- INTRODUCCIÓN A LOS AGUJEROS NEGROS............................ 41
10- COMO SE FORMAN LOS AGUJEROS NEGROS ........................ 43
11- DETECCIÓN DE AGUJEROS NEGROS........................................ 45
12- LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL Y LOS
AGUJEROS NEGROS.................................................................... 47
13- LA RELATIVIDAD GENERAL Y LOS AGUJEROS NEGROS ... 51
14- EL AGUJERO NEGRO NO PUNTUAL.......................................... 55
LIBRO 3: INTRODUCCIÓN A LA COSMOLOGÍA (Universo
plano o no plano).........................................................................................59
15- INTRODUCCIÓN............................................................................. 59
16- LA EXPANSIÓN DEL UNIVERSO Y EL BIG BANG .................. 61
17- MODELOS BÁSICOS DE UNIVERSO NEWTONIANO.............. 63
18- EL PRINCIPIO COSMOLÓGICO (PC)........................................... 65
19- DEDUCCIÓN DE LA DENSIDAD CRÍTICA ................................ 67
20- COSMOLOGIA RELATIVISTA ..................................................... 71
21- CONCLUSIÓN ................................................................................. 75
-5-
ANEXOS......................................................................................................77
A1- LA PARADOJA DE LOS GEMELOS EXPLICADA CON LINEAS
DE UNIVERSO............................................................................... 77
A2- EL EFECTO SAGNAC Y SUS CONSECUENCIAS ..................... 83
A3- BUSCANDO SISTEMAS INERCIALES ....................................... 87
A4- Un debate sobre la paradoja de los gemelos..................................... 91
A5- UNA EXPERIENCIA Y TRES PUNTOS DE VISTA.................. 109
A6- FRENANDO A LA LUZ ............................................................... 113
A7- TIEMPO PROPIO EN ÓRBITAS CIRCULARES, y detención del
tiempo ............................................................................................ 117
A8- LA RADIACIÓN DE FONDO DE MICROONDAS, SU
ANISOTROPÍA y los sistemas de referencia................................ 121
A9- CONTRACCIÓN DE LONGITUDES EN LA RELATIVIDAD
GENERAL..................................................................................... 127
BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................131
-6-
Relatividad Fácil
0- PREFACIO
Desde mi punto de vista, las ideas de Einstein no pueden comprenderse
bien si no conocemos las experiencias previas de otros científicos respecto a
medición de la velocidad de la luz, las experiencias de Michelson, las discusiones sobre el éter y las ideas de Lorentz.
Aquí empiezo con dichas experiencias y teorías, y luego paso a Einstein y
las suyas. Como veréis al tratar la relatividad especial, no hago uso de las
famosas transformadas de Lorentz pues son muy duras matemáticamente
para un artículo así, aunque finalmente no pude resistir la tentación de
hablar de ellas y de usarlas para deducir la fórmula de la adición de velocidades.
No se puede hablar de relatividad sin hablar del espacio-tiempo en cuatro
dimensiones, cosa que además es necesaria para un correcta demostración
de la famosa fórmula E=mc2. Tratar su demostración me ha obligado a introducir los cuadrivectores o tensores a pesar de querer evitarlos. Espero que
se entienda.
Respecto a la relatividad general, empiezo de un modo simple, con carácter histórico y usando solo el principio de equivalencia para algunas demostraciones, aunque esto me haga perder algo de rigurosidad, con el fin de ser
didáctico, y luego introduzco la métrica de Schwarzschild como herramienta
principal que es para realizar cálculos.
Algunos de estos cálculos pueden verse en los anexos: frenando la luz,
contracción de longitudes, tiempos propios en órbitas, junto a otros artículos
como un debate sobre la famosa paradoja de los gemelos, un intento de
explicarla, un problema sobre satélites, un interesante artículo (al menos
para mi) sobre el efecto Sagnac, muy usado como argumento por los enemigos de la relatividad, un debate personal sobre los sistemas inerciales y su
existencia, cosa básica en el tratamiento de la relatividad y un artículo sobre
el fondo de microondas y su relación con la determinación de sistemas inerciales.
Este último a veces pienso que debería estar en el bloque sobre cosmología, pero su relación con la relatividad me a llevado a dejarlo como anexo.
-7-
Ángel Torregrosa Lillo
Pero antes de los anexos podréis encontrar un bloque de apartados sobre
los agujeros negros, empezando por su historia, su formación, pasando por
la teoría de la relatividad aplicada a ellos y llegando hasta una pequeña
hipótesis que he tenido la osadía de plantear sobre una posible configuración
interior. Esta parte sobre los agujeros negros creo que será la más interesante de todo el libro para muchas personas.
Por último, dado que está de moda incluso en la televisión hablar de los
últimos descubrimientos sobre si el universo es plano o si se expande aceleradamente, antes de los anexos he introducido una breve introducción a la
cosmología explicando algunos de estos conceptos y enseñando como se
calcula la densidad crítica que nos llevaría al colapso total del universo si se
supera.
-8-
Relatividad Fácil
LIBRO 1: LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD
1- EL ÉTER, LAS EXPERIENCIAS DE FIZEAU Y MICHELSON, Y LAS TEORÍAS DE LORENTZ
A finales del siglo pasado se discutía sobre si el substrato (éter) sobre el
que se movía la luz y que se suponía que transmitía todas las fuerzas era
estático o era arrastrado por los cuerpos al moverse.
Fizeau (1851) había medido la diferencia de velocidad de la luz en una
columna de agua que se movía hacia él y en otra que se alejaba de él. Descubrió que la diferencia de velocidades era muy pequeña lo cual era un resultado a favor del éter de Fresnel, el cual abogaba por un éter estático y
decía que los cuerpos en movimiento arrastraban consigo a la luz según un
coeficiente de arrastre que sería (1-1/n²) siendo n el índice de refracción del
medio (que coincide con c/w siendo c la velocidad de la luz en el vacío y w
la velocidad de la luz en el medio). La velocidad de la luz observada cuando
el medio se mueve a una velocidad v sería:
(1)
Con esto no se podría detectar el movimiento a través del éter si el aparato utilizado solo llegaba a una precisión del orden de v/c. Era necesario llegar a una precisión del orden de (v/c)².
En esta situación a Michelson (1887) se le ocurrió una experiencia crucial: enviar simultáneamente dos rayos de luz (procedentes de la misma
fuente) en direcciones perpendiculares, hacerles recorrer distancias iguales y
recogerlos en un punto común. Uno de los rayos tardaría más que el otro
debido al movimiento de la tierra alrededor del sol y por lo tanto a través del
supuesto éter. Girando el aparato, las interferencias entre los rayos deberían
ser diferentes. Veamos como fue el experimento
-9-
Ángel Torregrosa Lillo
las distancias entre los espejos y el semiespejo son iguales y miden una longitud l con lo que el recorrido 1 y 2 deberían ser iguales, pero desde el punto
de vista de un observador exterior lo que se observa es esto otro:
-10-
Relatividad Fácil
existe una diferencia entre los recorridos 1 y 2 que sólo existen para un observador situado en reposo en el supuesto éter (por ejemplo se podría suponer que en el sol). Para este caso, suponiendo que el éter no fuera arrastrado
por la tierra al moverse a través de él sino que lo atravesara limpiamente, si
v es la velocidad de la tierra a través del espacio (unos 30 km/s de velocidad
de rotación alrededor del sol) tenemos que los recorridos para el observador
en reposo (fuera del planeta) serán:
Recorrido1 = d =
=
=
y como a=ct/2, obtenemos
d=
=
Recorrido 2 = d’= d1+d2 = t1 c + t2 c
-11-
Ángel Torregrosa Lillo
para hallar t1 y t2 puedo suponer que a la ida (t1) la luz va a una velocidad
c-v y la distancia sigue siendo l, e igualmente para la vuelta (t2) puedo suponer que la velocidad es c+v y la distancia l. Entonces t1=l/(c-v) y
t2=l/(c+v) y de aquí obtengo que
d ‘= t1 c + t2 c = cl/(c-v) + cl/(c+v )= cl(c+v+c-v)/(c²-v²) = 2c²l/(c²-v²) =
Como vemos son diferentes d y d’ con una relación
sin embargo cuando realizaron el experimento no había ninguna diferencia
entre las franjas de interferencia de los dos rayos por mucho que giráramos
el aparato para que variasen los recorridos, lo cual llevaba a la conclusión de
que el éter era arrastrado.
-12-
Relatividad Fácil
Había un choque entre la experiencia de Fizeau y la de Michelson. La de
Fizeau nos llevaba aun éter estático y la de Michelson a un éter totalmente
dinámico.
En esta situación a Lorentz y a Fitzgerald se les ocurrió una solución: el
éter es estático y la experiencia de Michelson se explica por una contracción de las longitudes en la dirección del movimiento exactamente en un
factor K=
o sea que
(2)
siendo l la longitud del cuerpo en reposo.
(Según la relatividad el cohete en movimiento sería más corto y todo
dentro de él encogería en la misma dirección)
Este fenómeno no es comprobable experimentalmente pero a causa de él
Lorentz dedujo que los electrones (o cualquier partícula cargada) en movimiento, al comprimirse su volumen se comprime su carga y ello provoca la
aparición de una masa electromagnética de forma que la masa total de la
partícula a aumentado en el factor
electrón en movimiento sería:
, lo que implica que la masa del
-13-
Ángel Torregrosa Lillo
(3)
Esta masa coincide con los cálculos efectuados a partir de experimentos
con rayos catódicos y aceleradores de partículas.
Así tenemos que al aumentar la velocidad de un cuerpo hasta la velocidad
de la luz, su masa crecería hasta el infinito y por lo tanto también lo haría su
energía cinética con lo que necesitaríamos una energía infinita para alcanzar la velocidad de la luz.
Pero a la teoría de éter estático aún le quedaba un problema: las ecuaciones de Maxwell para un campo electromagnético se basaban en un éter en
reposo respecto a la fuente de emisión electromagnética; o sea un éter arrastrado en el caso de la Tierra. Si el éter era estático el movimiento de la Tierra a través de él debía causar una serie de tensiones en el éter que provocaran fenómenos electromagnéticos mensurables, pero nunca se ha conseguido
medirlos.
Lorentz trató de resolverlo diciendo que el éter no recibía ni provocaba
tensiones ni fuerzas en la materia; era totalmente inactivo y sólo actuaba
como substrato de las ondas electromagnéticas. Además creó unas ecuaciones de cambio de coordenadas de un sistema en reposo a otro en movimiento basadas en su idea de contracción de longitudes por causa del movimiento con las que las ecuaciones de Maxwell resultaban invariantes.
Este fue el inicio del fin del éter ya que así podía asimilarse al espacio
absoluto en el que Newton se basó, o sea la nada, el vacío absoluto.
Entonces llegó Einstein con sus ideas.
-14-
Relatividad Fácil
2- EINSTEIN Y LA RELATIVIDAD
Einstein quería conseguir los mismos resultados que Lorentz pero a partir
de alguna ley general mas sencilla e invariable.
Esta ley fue que no existe un sistema de referencia que podamos considerar como en reposo absoluto. Que cada objeto con movimiento uniforme
podía usarse como sistema de referencia para el resto del universo sin variar
en absoluto las leyes de la física. Esto implica que la velocidad de la luz
será la misma para un observador en reposo que para uno en movimiento uniforme.
A partir de aquí se pueden deducir las transformadas de Lorentz y más
efectos, como una disminución de la velocidad con que transcurre el tiempo
para los cuerpos en movimiento. Su forma de deducir las transformadas de
Lorentz es compleja para ser expuesta en este artículo, por lo tanto voy a
tratar de usar otro método más didáctico de llegar a las mismas conclusiones
aunque no sea tan riguroso. (finalmente decidí añadir apartado con un modo
aceptablemente sencillo de hallarlas: ver apartado sobre las transformadas
de Lorentz)
Partiremos de la experiencia de Michelson (ver apartado anterior) dividida en dos partes: 1) el rayo de luz que viaja perpendicular al movimiento de
la tierra y 2) el que viaja en la misma dirección que la tierra. Y supondremos
que con cada parte tenemos dos observadores (uno en reposo y otro en movimiento junto al experimento) que tratan de medir la velocidad de la luz y
que la velocidad que obtengan ha de ser la misma.
Llamaremos K a
que siempre será menor o igual que 1 para velocidades inferiores a la de la luz (o sea siempre) y usaremos los cálculos de
los recorridos 1 y 2 que vimos antes.
En el recorrido 1 la distancia recorrida por la luz para el observador en
movimiento (en la tierra) es 2l que es K veces menor que para el observador
en reposo (d=2l/K) (por ejemplo en el sol). Por lo tanto para que ambos obtengan la misma velocidad de la luz en una experiencia de cronometraje de
la luz en su ida y vuelta al dividir espacio entre tiempo, debe ocurrir que el
observador en movimiento cronometre K veces menos tiempo que el obser-15-
Ángel Torregrosa Lillo
vador en reposo (reposo relativo, por supuesto), lo cual significa que el movimiento frena el transcurso del tiempo en un factor K (denominado
habitualmente “dilatación del tiempo”).
(4)
En el recorrido 2 la distancia recorrida por la luz para el observador en
movimiento (2l) es K² veces menor que para el observador en reposo (d’
=2l/K²). Suponiendo el mismo efecto sobre el tiempo que en 1 (tiempo en
movimiento K veces menor que en reposo) tenemos que la única forma de
obtener la misma velocidad de la luz para ambos observadores es considerar
que las longitudes de los cuerpos se contraen en un factor K en la dirección
del movimiento desde el punto de vista del observador en reposo. Así la
distancia recorrida por la luz será para el observador en movimiento sólo K
veces menor que para el observador en reposo igual que ocurre con el tiempo y la velocidad de la luz medida tanto por el observador en reposo como
el que está en movimiento será la misma. De aquí se concluye la misma
contracción de longitudes (2) que predijo Lorentz.
En resumen tenemos según Einstein:
Postulado: Las leyes de la física son idénticas para cualquier
sistema inercial de referencia.
Consecuencias:
1.- El reposo o el movimiento uniforme de un sistema son
indetectables desde el propio sistema de referencia.
2.- En todo sistema de referencia en movimiento el tiempo
transcurre más lentamente.
-16-
Relatividad Fácil
3.- En todo sistema de referencia en movimiento los cuerpos
se contraen en la dirección del movimiento.
4.- En todo cuerpo en movimiento la masa aumenta.
Además se observa que si superamos la velocidad de la luz las
longitudes de los cuerpos, el tiempo transcurrido y la masa de
los cuerpos tendrían valores imaginarios. También vemos que al
aumentar la masa del cuerpo aumenta la energía necesaria para
acelerarlo siendo infinita para v=c.
Todo ello nos lleva a darnos cuenta de que
5.- No se puede superar la velocidad de la luz.
NOTA:
Debido a la observación del fondo de microondas del espacio (ver anexos), se
observa que hay una anisotropía en las observaciones (al contrario de lo que
cabía esperar por considerarnos inerciales) puesta de manifiesto por desplazamiento de las frecuencias observadas (por efecto Doppler) que nos muestran un
movimiento de la Tierra a una velocidad de unos 370 Km/s. Esta es la velocidad
desplazamiento del sistema solar por el espacio, que teniendo en cuenta la rotación del sol alrededor de la galaxia nos da una velocidad de desplazamiento de
la galaxia de unos 600 Km/s a través del espacio y pone en duda que el movimiento uniforme sea indetectable.
Pero los razonamientos de Einstein no acaban aquí. A partir de las ecuaciones para el cambio de un sistema de coordenadas a otro en movimiento
(Transformadas de Lorentz), dedujo una formula para la velocidad de un
cuerpo respecto a un sistema conocida la velocidad respecto a otro sistema
en movimiento que servía para el experimento de Fizeau coincidiendo con
sus resultados con sólo un error de un 1%. Es la famosa fórmula cuya demostración podéis ver en le apartado sobre el teorema de adición de velocidades
-17-
Ángel Torregrosa Lillo
En esta situación ya no tenía sentido hablar del éter: no era útil, y en
caso contrario seguiría siendo indetectable.
Pero continuemos con los razonamientos de Einstein. Aplicando las
transformadas de Lorentz al cálculo de la energía cinética de un cuerpo y
desarrollando en serie obtuvo un sumando que no dependía de la velocidad:
mc²
(5)
Esta sería la energía del cuerpo en reposo, o sea la energía propia de la
masa, y puestos a seguir generalizando: energía y masa son lo mismo pero
con distinto aspecto. Las mas espectaculares pruebas de esta fórmula están
en la bomba atómica, las centrales nucleares y el mismo sol. Podemos ver
una deducción completa de dicha fórmula en el apartado sobre el espacio
cuadridimensional .
Volveré a poner aquí la fórmula más conocida de Einstein
E = m0c2
-18-
Relatividad Fácil
3- UNA DEDUCCIÓN SENCILLA DE LAS TRANSFORMADAS DE LORENTZ
Aunque dije al principio que no las usaría, no puedo resistir la tentación
de exponer aquí a las famosas transformadas de Lorentz deducidas de un
modo sencillo y relacionado con el modo anterior de hacer deducciones.
Pero primero hagamos una introducción:
Galileo (absolutista total ya que no se había descubierto aún contracciones
de metros ni dilataciones temporales) dedujo que si tengo un sistema en reposo A y otro en movimiento A’ (a velocidad v respecto de K a lo largo del
eje x), las coordenadas de un punto del espacio para A son x,y,z y para A’
x’,y’,z’.
Pues bien, si quiero hallar las coordenadas de x, y, z a partir de las de x’,
y’, z’ tengo las ecuaciones
z=z’
y=y’
x=x’ + vt
Este conjunto de tres ecuaciones son la trasformación de Galileo o
TRASFORMADAS DE GALILEO.
Pues bien, Lorentz a partir de su famosa contracción de longitudes dedujo
que algo cambiaba:
z’=z
y’=y
x’=(x - vt)/K
(siendo K =
)
Pero nos falta aún ver que pasa con la coordenada temporal. En la época
de Galileo t=t’ pero ahora ya no podemos ser tan optimistas.
-19-
Ángel Torregrosa Lillo
Para aclararlo consideraremos un sistema de referencia A en supuesto
“reposo” y otro B en movimiento uniforme a lo largo del eje x de A (con
velocidad v). Partimos de una situación en la que ambos sistemas están superpuestos en un instante t0=0.
Entonces un rayo de luz
es disparado desde el
origen de coordenadas
de A (que coincidía con
el de B en t=t’=t0=0) a
lo largo del eje X y en
un punto de coordenada
x respecto a A un detector percibe el rayo de
luz en un instante t para
A (y t’ para B).
Esta detección ocurriría, desde el punto de vista de A, en una coordenada
x - vt del sistema B. Pero por culpa de la contracción de longitudes de Lorentz tendremos que para B sus reglas de medir son menores y por lo tanto
esa coordenada x’ será mayor en un factor 1/K siendo K=
Entonces (como indicábamos arriba)
x’ = (x -vt)/K
(6)
Por otro lado por el principio de relatividad, tenemos que ambos observadores deberían medir la misma velocidad para los rayos de luz, por lo que ha
de ocurrir que x = ct y que x’ = ct’ .
Sustituyendo x’ por ct’ , x por ct y t por x/c
(ct - vx/c)/K
, y despejando t’ sale:
t’ = (t - vx/c2)/K
-20-
en (6) se obtiene
(7)
ct’ =
Relatividad Fácil
Así tenemos que (6) y (7) junto a y’=y y z’=z constituyen el llamado grupo de transformación de Lorentz (Más vulgarmente : TRASFORMADAS DE LORENTZ PARA CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA)
De las transformadas de Lorentz podemos obtener la famosa fórmula de la dilatación temporal (4), veamos como:
Supongamos un reloj en el origen de coordenadas del sistema móvil B; entonces se da siempre que x’=0 y que x=vt.
Entonces la transformada cuarta (7) se convierte en t’ = (t - v2t/c2)/K
y sacando factor común t t’=t(1-v2/c2)/K, y como nuestro K
podemos
es
simplificar
y
obtener
t’=tK
o
sea
(t’ es t contraída o t es t’ dilatada)
Ahora el cambio de coordenadas ya no es galileano si no
x' =
(x − vt )
K
y’ = y
z’ = z
t' =
vx
c2
K
t−
Siendo t y t’ los tiempos relativos transcurridos para cada sistema de coordenadas.
-21-
Ángel Torregrosa Lillo
Un detalle sobre la constancia de la velocidad de la luz para todo sistema
de referencia inercial:
Esta deducción de las transformadas de Lorentz nos lleva a la evidencia (evidente ya que
hemos partido de esa premisa para deducirlas) de que a partir de ellas podemos deducir
que la velocidad de la luz es invariante para todos los sistemas de referencia inerciales.
Veamos como:
Partiendo de la misma situación que hemos puesto al principio de este apartado tenemos
que x=ct y por lo tanto t=x/c. Y además A puede medir la velocidad de la luz calculando
c=x/t y B también la podrá medir calculando c’=x’/t’
y
ahora
usamos
x’ = (x -vt)/K (6) y
las
dos
transformadas
t’ = (t - vx/c2)/K (7)
multiplicamos (7) por c y sale
mos ct’=(x-vt)/K
de
Lorentz
importantes
ct’=(ct-vx/c)/K sustituimos ct por x y x/c por t, y tene-
cuyo término de la derecha es igual al de la derecha de (6) y por lo tanto por igualación
tenemos que x’=ct’
entonces despejando tengo que x’/t’=c
y como x’/t’=c’ tenemos que c=c’
¡Se concluye entonces de las transformadas de Lorentz que todo sistema
de referencia inercial medirá la misma velocidad de la luz!
Lo último expuesto se basa en una medida de la velocidad de la luz en
un trayecto sólo de ida. Esto hecha por tierra muchas teorías antirelatividad que dicen que la velocidad de la luz es sólo constante en
trayectos de ida y vuelta y no en trayectos sólo de ida o sólo de vuelta,
pero que sin embargo aceptan las trasformadas de Lorentz.
Está claro que si aceptan las transformadas de Lorentz deben aceptar
también la invarianza de la velocidad de la luz, y si no lo hacen tampoco
pueden aceptar las transformadas de Lorentz y sus consecuencias
Y también se puede deducir a partir de estas transformadas el teorema de
adición de velocidades, como expongo en el siguiente apartado.
-22-
Relatividad Fácil
4- TEOREMA DE ADICIÓN DE VELOCIDADES
Continuemos con nuestros sistemas de referencia “fijo” A y “móvil” B (a
velocidad v). Si un objeto se mueve a lo largo del eje x a velocidad w respecto de B, tendríamos según la mecánica clásica que la velocidad de dicho
objeto respecto a A es
W=v+w
además tendremos que
x’ = wt’ que sustituida en la transformada primera de Lorentz (6) nos da
wt’=(x-vt)/K
y despejando t’=(x-vt)/(Kw)
entonces sustituyendo t’ en la cuarta transformada (7) tenemos
(x-vt)/(Kw) = (t - vx/c2)/K
y simplificando y operando paso a paso obtenemos
(x-vt)/w =t - vx/c2
x - vt = wt - vwx/c2
x + vwx/c2 = vt + wt
x(1 + vw/c2 ) = t(v + w)
y como x/t será igual a la velocidad del objeto respecto al sistema A tenemos x/t = W y por lo tanto
(8)
que es el teorema de adición de velocidades.
Esta fórmula tiene grandes implicaciones, pues al sumar velocidades relativas ya no podemos hacerlo al modo clásico, sino que no tenemos más remedio que usar esta fórmula, y la suma relativista de dos velocidades será
siempre menor que la suma galileana sin pasar nunca de la velocidad de la
luz.
-23-
Ángel Torregrosa Lillo
Así en el caso extremo de v =c y w=c tenemos que
W = (c+c)/(1+c^2/c^2) = 2c/(1+1) = c
! por muchas velocidades relativas que sumemos nunca pasaremos de c!
A todo lo visto hasta ahora se le llama “TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL o RESTRINGIDA. A continuación veremos algo de la
Teoría General, pero antes veamos el espacio cuadridimensional de Minkowsky, que he pensado que sería mejor ponerlo aquí en vez de dejarlo para
los anexos. De todos modos si no tienes intención de profundizar demasiado
tal vez desees saltarte el siguiente apartado, pero en mi opinión es uno de los
más importantes de la teoría de la relatividad, aunque sea algo duro de comprender.
En los anexos 1 y 4 podrán ver además unos artículos sobre la famosa “paradoja de los gemelos”, si deseas ampliar un poco más sobre la teoría de la
relatividad especial.
-24-
Relatividad Fácil
5- EL ESPACIO EN CUATRO DIMENSIONES, MASA Y
ENERGÍA: E=Mc2
Esta parte contiene (sobre todo en la segunda mitad) una parte de cálculo que puede resultar bastante árido, pero que es el modo en que actualmente se maneja al Relatividad Especial y creo que es conveniente que aparezca en este texto. Aún así si lees sólo la parte inicial te servirá como introducción para hacerte una idea del mundo en el que estamos inmersos.
El espacio cuadridimensional fue introducido por Minkowsky, pero antes
de hablar de ello veamos como introducción que ocurre por culpa del principio de constancia de la luz:
Consideremos al espacio y al tiempo como definidos físicamente respecto
de dos sistemas inerciales A y B y un rayo de luz que se propaga en el vacío
de un punto a otro b. Si r es la distancia medida entre los dos puntos tendremos que para el sistema en “reposo”
r = c. dt (aquí debería poner
incremento de t), y elevando al cuadrado ambos miembros y expresando r2
mediante el teorema de Pitágoras aplicado a sus coordenadas tenemos que
(dx)²+(dy)²+(dz)² = c2(dt)2
Y por el principio de constancia de la velocidad de la luz también deberá
ocurrir lo mismo para el otro sistema inercial en “movimiento”.
(dx’)²+(dy’)²+(dz’)² = c2(dt’)2
De aquí se pueden deducir las transformadas de Lorentz de tal forma que
sean consistentes con las dos expresiones.
Con esta introducción aparece que el verdadero elemento en la determinación del espacio-tiempo es el suceso determinado por los cuatro números
x, y, z y t pudiendo entonces considerar estos cuatro números como las coordenadas de un suceso en el continuo de cuatro dimensiones.
Así para poder trabajar mejor con las ecuaciones de la relatividad especial, Minkowsky asignó a todo evento una cuarta dimensión perpendicular
a las otras tres y de componente imaginaria cuyo valor sería ict siendo i la
componente imaginaria (raíz cuadrada de -1). Así tendríamos que por el
-25-
Ángel Torregrosa Lillo
teorema de Pitágoras un diferencial de espacio-tiempo entre dos sucesos ds
será tal que
(ds)² = (dx)²+(dy)²+(dz)²+(dw)²
(9)
siendo w=cti y teniendo entonces 4 ejes de coordenadas de tipo cartesiano
en el que podemos aplicar el teorema de Pitágoras sin problemas.
Y si cambiamos de sistema de referencia tendremos (ds’)² =
(dx’)²+(dy’)²+(dz’)²+(dw’)² que ha de ser igual a (9) pues la longitud de un
vector es igual para todo sistema de referencia.
Para ilustrar esta igualdad de longitudes imagina un sistema de coordenadas XY normalito y un segmento en ese sistema. Ahora mueve
o gira el sistema de coordenadas dejando quieto el segmento Pues
bien, el segmento sigue siendo de la misma longitud, simplemente ha
cambiado de posición respecto al sistema de coordenadas.
Esta expresión matemática (ds)² = (ds’)² se cumple perfectamente para la
transformación de Lorentz, por lo que Einstein adoptó este modelo del espacio-tiempo. Es la METRICA DE MINKOWSKY.
-26-