DISEÑO DE FILTROS DIGITALES PROTOTIPO PASABAJOS DE CHEBYSHEV FILTROS DE CHEBYSHEV (APROXIMACIÓN EQUIRIPPLE) Hemos visto que la aproximación de Butterworth o “Máximamente Plana” al filtro ideal pasa-bajos es mejor en ω=0, mientras que en la proximidad de la frecuencia de corte en ω=1 la aproximación se hace progresivamente pobre. Ahora consideremos la aproximación con ripple alrededor de la unidad en la banda pasante y que cae rápidamente a partir de la frecuencia de corte ω=1. La aproximación es igualmente buena en ω=0 y en ω=1, y como resultado es llamada aproximación equiripple. La aproximación equiripple se consigue mediante el uso de los polinomios de Chebyshev definidos como: Para n=0 vemos que Para n=1, tenemos: Los polinomios de Chebyshev de orden mayor se obtienen a través de la fórmula recursiva: En consecuencia, para n=2 obtenemos: Las propiedades pertinentes de los polinomios usados en la aproximación pasa-bajos, son: 1) Los ceros del polinomio están localizados en el intervalo 2) Dentro del intervalo el valor absoluto de Cn(ω) nunca excede a la unidad, esto es: 3) Más allá del intervalo , se incrementa rápidamente para incrementar el valor de Ahora, cómo podemos aplicar los polinomios de Chebyshev a la Aproximación Pasabajos de Chebyshev? Considérese la función , donde es real y muy pequeño comparado con 1. Es claro que variará entre 0 y en el intervalo . Agreguemos a esta función 1, de modo que sea . Esta nueva función varía entre 1 y , una cantidad ligeramente mayor que la unidad, para . Invirtiendo esta función, obtenemos la función que asociaremos con , en consecuencia Dentro del intervalo , máximo valor es 1, y el mínimo es oscilará alrededor de la unidad, de modo que el . Fuera de este intervalo, donde , se aproxima a cero muy rápidamente con los sucesivos incrementos de ω. Por lo tanto, vemos que es una aproximación adecuada para la característica del filtro pasa-bajos ideal. Dentro de la banda pasante , tiene ripple entre el valor (1/1+ε2)1/2 y 1. La altura del ripple o distancia máxima y mínima en la banda pasante está dada por En , es En la banda atenuada, esto es para donde , de modo que , porque , cuando se incrementa, tomamos un punto , La pérdida en dB está dada por: Loss = -20 log10 |H(jω)| 20 log ε +20 log Cn(ω) Pero para ω grande, Cn(ω) puede ser aproximada por su término genérico 2n-1ωn, de modo que: Loss = 20 log ε +20 log 2n-1ωn = 20 log ε +6(n-1)+20 n log ω Como vemos, la respuesta de Chebyshev cae a una velocidad de 20 n dB/dec luego de la caída inicial: 20 log ε +6(n-1)dB Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones, ε es un número muy pequeño, de modo que 20 log ε es de hecho negativo. Es necesario entonces, compensar este decrecimiento en pérdida en la banda atenuada, eligiendo un n suficientemente grande. se Cálculo de los polos: De la discusión precedente, vemos que la aproximación de Chebyshev depende de dos variables: n y ε, las cuales pueden ser determinadas de las especificaciones directamente. El máximo ripple permitido pone una cota sobre ε. Una vez que ε es determinado, , cualquier valor deseado de atenuación en la banda de rechazo fija n. La derivación de la función sistema H(s) para la aproximación de amplitud de Chebyshev |H(jω)| es algo engorrosa y no se dará aquí [M E Valkenburg, “Introduction to Modern Network Synthesis, John Willey and Sons, 1960, Cap.13], no obstante daremos algunos resultados simples de esta derivación. Primero introduciremos un parámetro , donde n es el grado del Polinomio de Chebyshev y ε es el factor que controla el ancho del ripple. Los polos de la aproximación equiripple H(s) están localizados sobre una elipse en el plano s, dada por: El semieje mayor de la elipse está sobre el eje jω y tiene un valor El semieje menor tiene un valor , y los focos están en Los puntos de media potencia de la respuesta de amplitud equiripple ocurren en los puntos donde la elipse intersecta al eje jω, esto es en Recuérdese que para la respuesta de Butterworth los puntos de media potencia ocurren en . Normalizando los polos de Chebyshev de modo que también caigan en en vez de en , esto es eligiendo un factor de normalización , la ubicación de tales polos normalizados estarán dadas por: Las ubicaciones de los polos normalizados pueden obtenerse como: ; Comparando las ubicaciones de los polos de Chebyshev con las ubicaciones de los polos de Butterworth, vemos que las partes imaginarias son las mismas, mientras que la parte real de la ubicación de los polos de Chebyshev es igual a la parte real de los polos de Butterworth veces el factor . Por ejemplo, con n=3 y , los polos de Butterworth son: ; De modo que los polos normalizados de Chebyshev estarán dados por ; Finalmente, para obtener los polos desnormalizados de Chebyshev, simplemente multiplicamos por , esto es: Hay un método geométrico fácil para obtener los polos de Chebyshev dados sólo la información de los semiejes y el grado n. Primero dibujamos dos círculos, el menor de radio y el mayor de radio , como se muestra en la figura. Luego se dibujan las líneas radiales de acuerdo con los ángulos de los polos de Butterworth. Finalmente dibujamos líneas de trazos desde las intersecciones del círculo pequeño con las líneas radiales, y líneas de trazos horizontales desde la intersección del círculo grande y las líneas radiales. Los polos de Chebyshev están ubicados en la intersección de las líneas de trazos verticales y las horizontales. Diseño de un filtro digital pasabajos Chebyshev Del Apunte de Método Indirecto para el Diseño de Filtros Digitales Recursivos (IIR), se procede según la guía de diseño: 1. A partir de las frecuencias digitales críticas, obtener una nueva serie de AT T frecuencias analógicas ωA por medio de la expresión: tg D 2 2 2. De la expresión ripple|dB = 10 log (1+Є2) obtener el parámetro Є que controla el ancho del ripple. 3. Encontrar el orden n del filtro analógico de Chebyshev por medio de la ecuación A|dB=20 log Є + 20 log Cn (ω/ωc), donde A es la atenuación en decibeles y Cn(x) son los polinomios cosenoidales de Chebyshev, los cuales siguen la recurrencia Cn(x)=2x Cn-1(x) – Cn-2(x), con C0(x)=1; C1(x)=x; C2(x)=2x2 – 1 4. Encontrar el valor del parámetro βk por medio de la ecuación Senh–1 (1/Є) βk= (1/n) 5. Obtener los polos de la función de transferencia H(s) por medio de la expresión: sk= σk+jωk, 2k 1 Ch k ; n 2 k Tgh k sen con donde 2k 1 Ch k n 2 k cos k= 1, 2, ..., 2n 1 z 1 6) Reemplazar s en la función transferencia H(s), y operar K L (1 z 1 ) algebraicamente para expresar H(z-1) como cociente de polinomios. Este es el filtro digital deseado.