Fisica atomica y Molecular o Temas de Fisica NOTAS 11. Campos

Fisica atomica y Molecular o Temas de Fisica
NOTAS 11. Campos clasicos
J. Miraglia, D. Arbó, M.S. Gravielle, D. Mitnik y C. Montanari.
Departamento de Física. Facultad de Ciencias Exactas
y Naturales. Universidad de Buenos Aires. Argentina.
(Dated: August 18, 2009)
Abstract
faltas dibujos , espanol y bibliografia.
PACS numbers:
1
I.
NOTAS 11. CAMPOS CLASICOS ( ~15PAGS).
Repaso. Hamiltoniano y Lagrangiano de una particula en un campo electromagnetico
Primera cuantificacion
Estados de Volkov.
Invariancia de gauge
Repaso. Radiacion electromagnetica clasica
Campos electricos y magneticos.
Densidad de energia.
Vector de Poynting
Fuentes reales y el sol
Aproximacion dipolar
Trabajando en una caja
A.
Repaso. Hamiltoniano y Lagrangiano de una particula en un campo electro-
magnetico
Repasemos lo que hicimos en Mecanica Clasica para encontrar el hamiltoniano. Posteriormente lo cuantificaremos
Partimos de la Fuerza de Lorentz. Una particula de carga q que se mueve con velocidad
→
−
→
−
−
→
−
→
v en un campo electrico E y magnetico B sufre una fuerza F dada por
−
→
F
→
−
E
→
−
B
→
−
F
→ → −
−
→
= q( E + −
v × B)
(1)
→
→
−
∂−
(2)
= − ∇V − A
∂t
→ −
−
→
= ∇×A
(3)
→
→ −
−
→
→
−
∂−
→
v ×∇×A
(4)
= −q ∇V − q A + q −
∂t
→
−
→
Dentro de la mecanica newtoniana debo resolver F = m−
a . Dado Fj el potencial generalizado U es aquel que satisface
Fj = −
∂U
d ∂U
+
∂xj dt ∂ ẋj
que resulta (Goldstein 1-60)
2
(5)
→→
−
U = qV − q A .−
v
(6)
Sumado a la energia cinetica nos da el Lagrangiano
− −
→
1
v
L = T − U = mv 2 − qV + q A .→
2
(7)
El momento generalizado se define Pj = ∂L/∂ ẋj , con lo que
−
→
→
−
→
P = m−
v +q A
(8)
El Hamiltoniano se define (Goldstein p. 256)
H =
3
X
− −
→
1
→
→
ẋj Pj − L = −
v−
p − mv 2 + qV − q A .→
v
2
j=1
(9)
luego de algebra, resulta
H =
→
−
1 −
(→
p − q A )2 + qV
2m
(10)
Y este es el punto de partida
B.
Primera cuantificacion
El hamitoniano clasico Eq(10) nos permite cuantificar el movimiento de una particula
segun las reglas de la (primera) cuantificacion (habra una segunda), que asume
y asi queda
→
~−
−
→
→
c
→
p → −
p = ∇−
i r
→
−
→
r → −
r
b = i~ ∂
H → H
∂t
#
"
¶2
µ
→
−
→
−
∂ −
1
~
→
→
i~ Ψ(→
+ qV Ψ(−
r , t)
r , t) =
∇−
r − qA
∂t
2m i
3
(11)
(12)
que es la conocida ecuacion de Schroedinger. Desarrollando el cuadrado es
µ
¶2
¶2
µ
→´
→
−
→ −
−
→ −
→
→
→
~−
~ ³−
~−
2 2
→
→
−
→
−
→
−
−
q
A
=
−
+
∇
∇−
∇
A
·
∇
r
r A +q A
i r
i r
i
→
~−
2 2
→
= −~2 ∇2−
r − 2q ∇ r + q A
i
(13)
donde hemos hecho
³−
→ ´ −
→−
→
→
−´
→
− ³−
→
→
→
∇−
∇r A Ψ = A .∇−
r Ψ+
r · A Ψ
|
{z
}
(14)
=0 gauge de Coulomb
Finalmente podemos reescribir la ecuacion de Schroedinger asi
~
∂ −
→
Ψ(→
r , t) = [H0 + H 0 + H 00 ] Ψ(−
r , t)
∂t
(15)
~2 2
→ + qV
∇−
2m r
Hamiltoniano mecanico o de la materia
→−
→
q ~−
A ∇r
H0 = −
mi
interaccion materia-radiacion
q2 2
A
H 00 =
2m
Hamiltoniano de la radiacion
H0 = −
(16)
(17)
(18)
→
−
Este es el Hamiltoniano semiclasico en el sentido que las magnitudes A y V son clasicas
(campos clasicos) y el electron es puramente cuantico
C.
Estados de Volkov
Supongamos una particula libre, autofuncion de H0 cuya solucion es una onda plana
→
−
→
−
→ ( r , t) = ψ −
→ ( r ) exp(−i~2 k 2 /2m)
ψ−
k
k
→→
−
exp(i k .−
r)
→
−
→( r ) =
ψ−
k
3/2
(2π)
4
con
(19)
(20)
→
−
Supongamos que a partir de t = t0 ,aparece en todo el espacio un potencial vector A (t) (pero
→ −
−
→→
A 6= A (−
r ), o sea independiente de la posicion) Entonces la solucion del hamiltoniano son
los llmados estados de Volkov :
→
→
−
→ ( r ) exp(−iS(t)/~)
Ψ(−
r , t) = ψ−
k
Z t³
→
−
→ ´2
−
1
~ k − q A (t)
S(t) =
2m t0
(21)
(22)
→
−
donde hemos supesto que V = 0. Luego veremos que V y A (t) estan conectados via un
gauge determinado. La demostracion es obvia. El LHS es
µ ¶
→
→ ´2
−
∂ −
−i 1 ³ −
→
→
−
i~ Ψ( r , t) = Ψ( r , t) i~
~ k − q A (t)
∂t
~ 2m
| {z }
(23)
1
mientras que el RHS es
~2 k2 −
→
H0 Ψ(−
Ψ(→
r , t)
r , t) =
2m
→ →
→ −
q ~−
→
r , t) = −
A i k Ψ(−
r , t)
H 0 Ψ(−
mi
q2 2 −
→
A Ψ(→
r , t) =
r , t)
H 00 Ψ(−
2m
(24)
(25)
(26)
Vemos que sumando las Eqs.(24), (25) y (26) iguala el LHS Eq.(23)
D.
Invariancia de gauge
→ →
−
−
En Fisica basica se vio que los campos E y B quedan inalterados si se cambia
−
→
→ −
−
→
−
→
A → A0 = A + ∇χ
∂
V → V0 =V − χ
∂t
→
donde χ(−
r , t) es una funcion arbitraria. En efecto
5
(27)
−
→
→ −
− −
→
→ ³−
→ −
→ ´ −
→ −
→ −
→ −
→
→
−
B 0 = ∇ × A0 = ∇ × A + ∇χ = ∇ × A + ∇ × ∇χ = B
| {z }
0
!
Ã
µ
¶
−
→0
→0
→ −
→
→ 0
−
→
−
∂ −
∂−
∂
E = − ∇V − A = − ∇ V − χ −
A + ∇χ
|{z}
∂t
∂t
∂t
|{z}
→ −
→
→
−
∂−
= − ∇V − A = E
∂t
(28)
(29)
→
Por lo tanto hay un espacio infinito de soluciones χ(−
r , t) tal que permiten hacer
− −
→
→
∇. A = 0
→ ³−
−
→ −
→ ´
∇. A + ∇χ = 0
gauge de Coulomb o sea
(30)
con lo que
∇2 χ = 0
condicion de χ
(31)
que es un excelente eleccion para tratar campos de radiacion (luz). Se llama a veces transverse gauge. Sin embargo muchismas hay posibilidades aun en el gauge de Coulomb En el
gauge de Coulomb los potenciales satisfacen (en el sistema MKS)
→
−
→
−
∇2 A = µ0 J
1
∇2 V = − ρ
ε0
(32)
(33)
→
Nos queda ver que impacto tiene la introduccion de χ(−
r , t) en la ecuacion de Schroedinger.
→
−
→
Si Ψ(−
r , t) era la autofuncion de la ecuacion de Schrodinger cuando teniamos A . como es
→
−
→
−
→ −
−
→
→
∂
la solucion Ψ0 (−
r , t) cuando hacemos A0 = A + ∇χ y V 0 = V − ∂t
χ Reemplazandolo A0 en
la ecuacion de Schroedinger
i~
⎡
⎞2
⎛
⎤
→
→ −
−
→ ⎟
∂ ⎥ 0 −
∂ 0 −
⎢ 1 ⎜~−
→
Ψ (→
χ]⎦ Ψ (→
r , t) = ⎣
r , t)
⎝ ∇−
r − q[ A + ∇χ]⎠ + q[V −
| {z }
∂t
2m i
∂t
| {z }
−
→
A0
(34)
V0
Puede demostrarse -queda como problema- que
→
→
→
Ψ0 (−
r , t) = Ψ(−
r , t) exp[iqχ(−
r , t)/~]
→
O sea la inclusion de χ(−
r , t) conlleva a una rotacion.
→
χ(−
r , t).Por ejemplo si elijo
6
(35)
Tenemos libertad para elejir
→→
−
→
χ(−
r , t) = − A .−
r
(36)
que satisface el gauge de Culomb, ya que
→
r , t) = 0
∇2 χ(−
(37)
con lo cual satisface el gauge de Coulomb de acuerdo a la Eq.(31). Los terminos de interes
en la Eq.(35)
−0
→
− −
→
→
→ −
−
→ −
→→
→ −
−
→
r)= A−A =0
A = A + ∇χ = A + ∇(− A .−
µ
¶
→−
→ −
→ →
−
∂
∂ −
∂−
→
0
A .→
r = − E (t).−
r
V = V − χ = 0 − (− A . r ) =
∂t
∂t
∂t
(38)
(39)
donde hemos usado la Eq.(2). Reemplazando en la Eq.(34), resulta
∙
¸
→ −
−
~2 2
∂ 0 −
→
→
→
0 −
→
∇−
i~ Ψ ( r , t) = −
r − q E (t). r Ψ ( r , t)
∂t
2m
(40)
que se llama forma de la longitud, mientra que la Eq.(15 a ??) se la conoce como la
forma de la velocidadHay una tercera forma que involucra a una expresion determinada
del Hamiltoniano que se llama forma de la aceleracion que veremos mas adelante.
→
−
→
−
Como trabajamos en MKS, podemos ver que la dimension es correcta, F = q E (r)
→→
−
es la fuerza que realiza el campo sobre la carga y F .−
r es la energia que se suma a la
energia cinetica. Mas aun podriamos haber introducido el hamiltoniano Eq(40) invocando
la inclusion del campo electrico de la misma manera que se introdujo cuando se vio el
→
−
→→
−
efecto Stark En ese caso recordemos, E = Eb
z = Cte, con lo que q E .−
r → eEz, que es la
perturbacion que se usaba en el efecto Stark.
E.
Repaso. Radiacion electromagnetica clasica
Las 4 ecuaciones de Maxwell en el vacio son
y los potenciales son
⎧
→−
→
⎨−
∇. E = ρ/ε0
→−
→
⎩ −
∇. B = 0
− −
→
→
→
∂−
∇ × E = − ∂t
B
→ −
−
→
→
−
∇ × B = µ0 J
7
(41)
−
→
→
−
→
∂−
E = − ∇V − A
∂t
→
−
− −
→
→
B = ∇×A
(42)
(43)
En el gauge de Coulomb los potenciales satisfacen
− −
→
→ 1 ∂V
∇. A + 2
=0
c ∂t
(44)
→
−
por lo que las ecuaciones para A y V se reducen a
1 ∂2
ρ
V
=
−
c2 ∂t2
ε0
2
→ 1 ∂ −
−
→
→
−
∇2 A − 2 2 A = −µ0 J
c ∂t
∇2 V −
(45)
(46)
que da lugar al famoso Dalambertiano. En ausencia de cargas (ρ = 0) y corrientes electricas
→
−
( J = 0),
1 ∂2
V = 0
c2 ∂t2
→ 1 ∂2 −
−
→
∇2 A − 2 2 A = 0
c ∂t
∇2 V −
(47)
(48)
esto es en el vacio las soluciones en una caja de vacio es un campo de luz clasicos de
frecuencias ω, o sea
−
→
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→ (ω, r , t) = A −
→ (ω, r , t) + A ∗ −
A λ−
→ (ω, r , t)
k
λk
λk
→−
−
→
−
→
−
→
→ (ω, r , t) = b
→ AN exp[i k . r − iωt + iδ ω ]
ελ−
A λ−
k
k
V = 0
(49)
(50)
(51)
→−
−
→
− −
→
→
→ .b
Como pedimos que ∇. A = 0, resulta que ∇. A ∝ b
ελ−
k con lo que el gauge de Coulomb
k
→
−
se satisface si los dos versores de polarizacion son ortogonales a k
→ .b
→ .b
→ .b
→ = 0
k =b
ε2−
k =b
ε1−
ε−
b
ε1−
k
k
k 2k
(52)
→
−
→ satisfaga la Eq.(48) entonces
y los tres forman una terna ortogonal. Si pedimos que A λ−
k
8
(53)
ω=ck
c es la velocidad de la luz, [c]=metro/segundo, k es el numero de onda ([k]=1/metro), y
ω = 2πν, ν es la frecuencia [ω] = [ν]=1/segundo, de modo tal que la energia del foton es
E = ~ω = hν. En general la funcion ω = ω(k) representa una relacion de dispersion, y
conocemos algunos casos particulares
⎧
⎪
fotones
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ particulas
⎪
⎪
plasmones
⎪
⎪
⎪
⎩
fonones
~ω = ~c k
~ω = ~2 k2 /2m
~ω ' cte
~ω ' 0
lineal en k
cuadratico en k
(54)
independiente de k
nulo
Fisicamente, podemos decir que
⎧
⎪
→ yb
→
b
ε1−
ε2−
⎪
k
k
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
son versores de polarizacion
(direccion del campo electrico)
ωó kóν
representa la energia o color
δω
es la fase aleatoria (si la luz es no
(55)
coherente) deberia ser promediada
Nos queda definir el valor de AN que resultara ser
s
~N(ω)
2ε0 ωV
N(ω) = numero de fotones con energia ~ω
AN = AN (ω) =
V = volumen de la caja de cuantificacion
(56)
(57)
(58)
que la demostraremos en la proxima seccion.
→
−
→ resulat ser real y vale
De acuerdo a las expresiones (49) y (50) A λ−
k
→−
−
−
→
→
−
→
→ (ω, r , t) = b
→ 2AN cos[ k . r − ωt + δ ω ]
−
A λ−
ε
k
λk
(59)
El espacio de todas las posible estados sera
X−
−
→
→
→
→ (ω, −
A =
A λ−
r , t)
k
→
−
λk
9
(60)
→
−
que tienen en cuenta todas las posible k (digamos colores) y λ versores de polarizacion
F.
Campos electricos y magneticos
→
−
→
−
→ (ω, r , t) nos queda definir los campos elecUna vez que esta definida la magnitud A λ−
k
tricos y magneticos de acuerdo a sus definiciones.
a) El campo electrico es
−
→
→
∂−
→
→
→ (ω, −
→ (ω, −
E λ−
r , t) = − A λ−
r , t)
k
k
∂t
→−
−
→
→ 2ωAN sin[ k . r − ωt + δ ω ]
= −b
ελ−
k
(61)
→ como la direccion del campo electrico (algo bien conocido en
Identificamos entonces a b
ελ−
k
optica, el sentido de la polarizacion de los fotones corresponde a la del campo electrico)
b) El campo magnetico resulta un poco mas complejo ya que requiere del rotor, y
resulta
−
→
− −
→
→
→
−
→
−
→ (ω, r , t) = ∇ × A −
→ (ω, r , t)
B λ−
k
λk
→−
−
→
−
→
→ ) 2AN sin[ k . r − ωt + δ ω ]
= −( k × b
ελ−
k
(62)
donde hemos usado la identidad
→−
−
→
−
→−
−
−
→
→
→
→ exp(i k . r ) = i( k × b
→ ) exp(i k . r )
−
∇ ×b
ελ−
ε
k
λk
(63)
Confirmamos de la Eq.(62) que la direccion del campo magnetico es perpendicular a la del
→
−
→ ∝ ω,
campo electrico, y que ambas estan en fase en el tiempo. Notemos ademas que E λ−
k
→
−
→ ∝ k con lo que se encuentra que
mientras que B λ−
k
→ = cB −
→
Eλ−
k
λk
(64)
c) De la fisica elemental se vio que densidad de energia o sea la energia U de un campo
electromagnetico por unidad de volumen V era
ρ(ω) =
→
Uλ−
→ 2
→ 2
1 −
1 −
k
→| +
→|
= ε0 | E λ−
|
B −
k
V
2
2µ0 λ k
10
(65)
Reemplazando los campos obtenidos en las Eqs.(61) y (62), tenemos
ρ(ω) =
→→
−
1
ε0 4ω2 AN sin2 [ k .−
r − ωt + δ ω ]
2
→→
−
1
+
4 |{z}
k2 AN sin2 [ k .−
r − ωt + δ ω ]
2µ0
ω2
c2
|{z}
ω 2 µ0 ε0
→→
−
r − ωt + δ ω ]
ρ(ω) = 4ε0 ω 2 AN sin2 [ k .−
(66)
y es una expresion que depende del tiempo. Sera conveniente realizar un valor medio que se
define
1
hf i =
τ
Algunos casos de interes son (ω = 2π/τ )
Z
τ
(67)
f (t)dt
0
hsin2 (α − ωt)i = hcos2 (α − ωt)i =
1
2
(68)
con lo que la densidad de energia es
hρ(ω)i = 2ε0 ω 2 AN
(69)
Ahora estamos en condiciones de determinar el valor de AN (ω). Si en el volumen V hay
N(ω) fotones con energias ~ω entonces obviamente la densidad de energia es
hρ(ω)i =
~ω
N(ω)
V
(70)
Igualando ecuaciones (69) y (70) podemos determinar el valor de AN = AN (ω) que anticipamos en la Eq.(56), o sea
AN = AN (ω) =
s
~N(ω)
2ε0 ωV
(71)
Nosotros estamos trabajando en el sistema MKS. Pero en muchos libros americanos (el
famoso Jacson por ejemplo) se usa el sistema gaussiano, en ese caso hacemos 4πε0 ≡ 1 con
q
lo que AN = 1c 2π~c
kV
11
d) Una magnitud interesante que se usa para determinar los flujos de radiacion es el
vector de Poynting, que se define
→ −
→
−
→
1−
E×B
S =
µ0
(72)
veamos primero las unidades
Newton
Ampere
Tesla
Tesla × metro Coulomb
Joule
=
2
metro × segundo
[S] =
(73)
o sea flujo de energia por unidad de tempo y area. Reemplazando Eqs(61) y (62) en la
Eq.(72) resulta
b
→→
−
−
→
k
S =
(−2ωAN sin[ k .−
r − ωt + δ ω ])
µ0
→→
−
×(−2|{z}
k AN sin[ k .−
r − ωt + δ ω ])
ω/c
→→
−
1 2
ω AN sin2 [ k .−
r − ωt + δω ]
= b
k4
cµ0
|{z}
(74)
cε0
donde hemos usado el hecho que
→
−
→ ×( k ×b
→) = b
ελ−
k
b
ελ−
k
k
(75)
haciendo un provedio temporal resulta que
→
−
hS i = b
k c 2ε0 ω2 AN
(76)
hay otra forma muy interesante de escribirla y es reemplazar hρ(ω)i = 2ε0 ω 2 AN (ω) lo que
resulta
→
−
hS i = b
k c hρ(ω)i
y esta es tal vez la expresion mas utilizada del flujo energetico de fotones.
12
(77)
→
−
Recordemos que S nos da el flujo energetico. Si estamos interesados en el flujo solo esto
→
−
→
−
es el numero de particulas por unidad de tiempo y area h F i, tenemos que dividir h S i
por (~ω), o sea por la energia de las particulas, que da
→
−
−
→
hS i b 1
hρ(ω)i
=k
hF i =
~ω 0
~k
G.
(78)
Fuentes reales y el sol
→
−
Las fuentes reales en general no producen una radiacion en particular (λ k ) sino una
cierta banda. esta radiacion puede ser filtrada de modo tal que lleguen a la fuente en
particular solo una frecuencia determinada (ideal) o una determinada banda. Idealmente
seria suponer que hN(ω)i = N(ω0 ). precisamente. En la practica ocurre un cierto ancho o
sea ω 0 ± ∆ω0 /2, lo que produce N(ω0 )∆ω0 . Podria generalizarse a
hN(ω 0 )i =
Z
dω N(ω)δ ∆ω0 (ω − ω0 ) ∼
= N(ω0 )∆ω0
(79)
Si tuviesemos una distribucion mas ancha deberiamos tenerla en cuenta y pesarla al final
La fase δ ω es otro tema a tener en consideracion. La radiacion povienen de diferentes
atomos emitiendo fotones en forma independiete. Lo que implica que la fase δ ω es al azar
y llegado el caso deberia promediarse al final del calculo. A esta radiacion se la llama
incoherente. Si tuviesemos un laser deberiamos tener en cuenta la coherencia
La polarizacion λ es otro tema que deberia llegado el caso ser randomizado al final, a
menos que se se incluya a la salida de la fuente un prisma, en cuyo casotendremos polarizacion
lineal. Hay varios casos de polarizacion (heliticidad derecha izquierda, por ejemplo)
El sol es LA fuente de radiacion mas importante de la radiacion para la naturaleza. El
vector de Poynting para el sol es
S = 1.395
kiloJoule
kiloWatt
= 1.395
2
metro × segundo
metro2
(80)
que permite (sol directo sobre la superficie total podria mantener una casa). Conocindo S,
podemos calcular E, ya que
13
1
1 2
c
E = B2,
EB=
µ0
µ0 c
µ0
E ' 750 Volts/metro
S '
de lo que resulta
(81)
(82)
B ' 2.4 microTesla
Ampere
B
' 1.9
H '
µ0
metro
(83)
(84)
SI tenemos un electron (q = 1.6 × 10−19 Coulomb), la relacion de fuerzas son
qE
Felect
' 1013
=
Fgrav
mg
Felect
c
qE
'
=
Fmag
qvB
v
H.
(85)
(86)
Aproximacion dipolar
→−
−
→
−
→
→ ∝ exp(±i k . r ), donde k = ω/c = 2πν/c Debido a que c es muy
Como vemos A λ−
k
grande, el momento del foton k puede despreciarse
Ejemplo: luz amarilla ν = 0.5 × 1015 1/seg,
k = 2πν/c ' 0.0005, Notemos que
exp(i0.0005) ' 1. Y en general vale para todo el espectro de luz visible e inclusive el
ultravioleta.
El valor de k sera importante cuando kr & 1, o sea ωr > c, o 2πνr > c, o ν > c/(2πr).
para dimensiones atomicas r ' 5 × 10−11 metros, c = 3 × 108 metros/segundos, con lo que
ν > 1020 1/segundo. Que es en el limite de los rayos X duros y los rayos gammas. Si estamos
trabajando a nivel de fisica nuclear, los valores de r son digamos 1000 veces mas chicos con
lo que la radiacion debe ser as duras, esto es bien entrado los rayos gamma.
I.
Trabajando en una caja
Cuando teniamos particulas libres trabajamos en cajas -cuando vimos Thomas Fermi- o
con paquetes de onda, o simplemente como ondars plana normalizadas a la delta de Dirac.
Esto es
Z
→→
−
→→
−
→0 −
−
→
r ) exp(−i k .−
r)
exp(−i k0 .−
−
→
=
δ(
k
−
k)
dr
(2π)3/2
(2π)3/2
14
(87)
Cuando se trabaja con fotones se trabaja en la caja, como lo hicimos con electrones en
Thomas Fermi. En Thomas Fermi el concepto seria luego reducido a un diferencial. Aqui
no, el volumen es el volumen de todo el espacio de interes y se supone que L = longitud
deberia ser tendido a infinito. Se espera que el resultado no dependa del volumen. Las
→→
−
ondas planas aqui son las exponenciales exp(±i k .−
r ) que aparecen en las definicion de
→
−
→
−
→ (ω, r , t). Cuando tenemos una caja los valores de k no son continuos sino que estan
A λ−
k
-digamos- numerizados. Tomemos una dimension.
(88)
exp(ikx x) = cos(kx x) + i sin(kx x)
2π
nx
kx =
L µ
¶
2π
nx x
cos(kx x) = cos
L
µ
¶
2π
nx x
sin(kx x) = sin
L
(89)
(90)
(91)
y asi con todas las dimensiones. De esta manera numerizamos todos los "colores" posibles,
P
P
La suma
en Eq.(60) ahora se reduce a λ, nx ,ny ,nz Las deltas de Dirac se trabsforman
→
−
λk
en deltas de kronecker. Veamos, en una dimension
Z
exp(−ik 0 x) exp(−ikx)
dx = δ(k0 − k)
1/2
1/2
(2π)
(2π)
discretizando en la caja
¶
µ
2π 0
2π
nx − nx
= δ
L
L
L
L
=
δ (nx − n0x ) =
δ n ,n0
2π
2π x x
simplificando
Z +L/2
exp(−ik 0 (n0x )x) exp(−ik(nx )x)
L
δn ,n0
dx
=
1/2
1/2
(2π)
(2π)
2π x x
−L/2
Z +L/2
dx
exp[−ik 0 (n0x )x] exp[−ik(nx )x] = δ nx ,n0x
−L/2 L
(92)
En tres dimensiones resulta
Z
Caja
→
→ →
→−
−
→→ −
−
d−
r
→0
r ) exp(−i k (−
n ).→
r ) = δ−
exp(−i k0 ( n0 ).−
n,
V
→0
Entonces el Volumen reemplaza a (2π)3 y la delta de kronecker δ −
n,
15
−
→
n
−
→
n
(93)
→ −
−
→
a la de Dirac δ( k0 − k ).
Una cantidad muy importante es la densidad de estados, y esta resulta de la Eq.(89)
dnx =
dny =
dnz =
→
d−
n =
=
=
L
dkx
2π
L
dky
2π
L
dkz
2π
→
−
Vdk
(2π)3
alternativamente si k = ω/c
V
→
d−
ω
(2π)3 c3
V
ω 2 dωdΩω
3
3
(2π) c
(94)
(95)
(96)
(97)
Esta cantidad la usaremos mucho cuando nos refiramos en el calculo de la seccion eficaz a la
densidad de estados del foton. Como todo es independente de V , a veces la gente usa V = 1
16