Unidad II. Estructuras Algebraicas

Unidad II. Estructuras Algebraicas Operaciones y Relaciones
Teoría de grafos 2­2010 UNEFA­Núcleo Mérida Estructuras Algebraicas Una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío, con por lo menos una operación binaria. Operación Binaria
Se conoce una operación binaria aquella que al operar dos números (de ahí su nombre) se obtiene un tercero.
Ejemplo: El símbolo “+” representa la operación binaria de suma; ahora para la operación binaria específica de 3 + 5 = 8.
Se puede definir formalmente una operación binaria de la siguiente manera: Una operación binaria (*) en un conjunto A es una regla que asigna a cada para ordenado de elementos (a1, a2) un elemento “b”. Esto equivale a decir que la operación binaria de los elementos que pertenecen al conjunto A (dominio), generan al conjunto B (codominio).
Las operaciones binarias corresponden sólo a la suma y la multiplicación, ya que al efectuar las funciones división y resta, se obtienen números que no pertenecen al conjunto de los números naturales y que por tanto están fuera del conjunto sobre el cual se define la operación.
Propiedades de las operaciones binarias
1.­ Cerrada: Si ∀ a, b ∈ S ⇒ a ∗ b ∈ S Ejemplos:
a.­ En el conjunto de los números enteros Z; la suma (*) es una operación interna ya que todo par ordenado (a,b) se le puede asignar otro valor, el cual también pertenece a los números enteros Z. b.­Considere la operación de suma, +, para el conjunto A formado por los elementos {0, 1, 2, 3, 4}.
Esta operación para los elementos del conjunto “A” NO ES CERRADA bajo la suma, o en otras palabras no es una operación interna; ya que la operación de suma puede generar números fuera del conjunto A.
c.­ Considere * como la operación suma (+) definida en el conjunto de loa números enteros. Para los siguienetes casos, ¿las operaciones son cerradas (internas)?
* (2,4) → 2 * 4 = 6 * (6, ­5) → 6 * ­5 = 1
Rpta: Sí son cerradas pues el resultado de las operaciones es un número que pertenece al conjunto Z.
d.­ En el conjunto de los números naturales N; la resta (*) no es una operación interna ya que todo par ordenado (a,b) no se le puede asignar otro valor, el cual también pertenece a los números naturales N.
* (4,2) → 4 * 2 = 2 * (6, 8) → 6 * 8 = ­2
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Teoría de grafos 2­2010 UNEFA­Núcleo Mérida ­2 no pertenece a N. Por tanto la resta no es una operación interna del conjunto de los números naturales N.
2.­ Conmutativa: Si ∀ a, b ∈ S ⇒ a ∗ b = b ∗ a Ejemplo:
Si se considera el par ordenado (­3,2) Debe cumplirse que: ­32 + 22 = 22 + ­32 9 + 4 = 4 + 9 13 = 13 CUMPLE 3.­ Asociativa: Si ∀ a, b ∈ S ⇒ a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c Ejemplo: Identificar si para el conjunto de los enteros, la operación binaria de suma definida como a+b es asociativa.
Solución: Debe cumplirse que: a +( b + c ) = (a + b) + c
1 +( 2 + 3) = (1 + 2 ) +3
1+(5)=(3)+3
6=6 CUMPLE
4.­ Elemento neutro: Si e ∈, ∀ a ∈ S ⇒ a ∗ e = a y e ∗ a = a El elemento e es un “elemento neutro” puesto que si es aplicado a la izquierda o aplicado a la derecha del otro operando, no se altera el valor de a.
Ejemplos:
a.­ Elemento neutro de la suma
El 0 es el elemento neutro de la suma ya que todo número sumado con él da el mismo número. Veamos:
a + 0 = a
5 + 0 = 5. Podemos llamar a este caso, identidad aditiva.
b.­ Elemento neutro de la multiplicación
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, ya que todo número multiplicado por él da el mismo número.
a x 1 = a
5 x 1 = 5. Esta sería la identidad multiplicativa
5.­ Elemento opuesto (simétrico): ∀ a ∈ S, ∃ (–a) ∈ S ⎮ a ∗ (–a) = e y (−a) ∗ a = e Ejemplo:
Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano y apliquemos la función multiplicación. No tiene elemento simétrico porque el número 1/n no pertenece al conjunto de los números naturales.
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Teoría de grafos 2­2010 UNEFA­Núcleo Mérida Grupo
Un grupo es una estructura algebraica (G, ∗) tal que la operación binaria ∗ verifica: 1,­ * es asociativa 2.­ * tiene elemento neutro 3.­ todo elemento de G tiene simétrico. Si, además, * es conmutativa se dice que (G, ∗) es un grupo conmutativo o abeliano. Ejemplos:
a.­ El conjunto N = {0, 1, 2, 3, ...} de los números naturales con la operación suma no es un grupo. Basta observar que el elemento neutro es 0 pero ningún natural no nulo posee simétrico dentro de este grupo.
b­ Sea * la operación binaria definida sobre el conjunto G = {1, a, b} a través de la siguiente tabla de operación: *
1
a
b
1
1
a
b
a
A
b
1
b
B
1
a
Entonces (G,*) es un grupo de orden 3. Usando la notación convencional para grupo, nosotros podemos decir a2 = b y ba = 1, es decir, a*a = a2 = b y b*a = 1 = a*a*a. Subgrupo
Sea (G, *) un grupo y H ⊆ G, entonces (H, *) es llamado Subgrupo de (G, *), si y sólo si (H, *) es un grupo. Ejemplo:
Los sistemas o estructuras algebraicas (R, +) y (Z, +), ambos son modelos de grupos; si Z ⊆ R, podemos decir entonces que (Z, +) es un subgrupo de (R, +). Semigrupo
La estructura algebraica o sistema algebraico (S, *) es llamado semigrupo, si y sólo si, la operación binaria * es asociativa. (S, *) es semigrupo ⇔ * es asociativa
*es asociativa ⇔ ∀ x, y, z ∈ S, x * (y * z) = (x * y) * z
Teorema 1: Si (S,*) es un semigrupo y xi ∈S, entonces x1*x2*...*xn es un miembro único de S∀n ∈ N. Teorema 2: Si (S, *) es un semigrupo conmutativo, entonces (x*y)n = xn*yn ∀ x ∈ S y ∀ n ∈ N. Unidad II. Estructuras Algebraicas Operaciones y Relaciones
Teoría de grafos 2­2010 UNEFA­Núcleo Mérida Ejemplo:
Sea el conjunto S = {A, B, C} y la operación * definida como asociativa, es decir, (A * B) * C = A * (B * C) *
A
B
C
A
A
B
C
B
B
C
A
C
C
A
B
(A * B) * C = A * (B * C) B*C=A*A A=A (C * A) * B = C * (A * B) C*B=C*B A=A Por tanto (S, *) es semigrupo. Monoide
Si (S, *) es un semigrupo con un elemento identidad, entonces lo llamamos Monoide, es decir: * es asociativa ⇔ ∀ x, y, z ∈ S, x * (y * z) = (x * y) * z e es el elemento identidad con respecto a * ⇔ ∀ x ∈ S, x * e = e * x = x Notas: ­ Todo Monoide es Semigrupo, pero no todo Semigrupo es Monoide.
­ Todo los Grupos son Monoides, pero no todos los Monoides son Grupos.
Ejemplo:
Para el ejemplo anterior, si A es el elemento identidad, se cumple que:
A*A=A B *A=A*B=B C*A= A*C=C Por tanto (S, *) es un Monoide. Morfismos u Homomorfismo de semigrupo
Para señalar que dos estructuras algebraicas son esencialmente análogas se dice que son homomorfas (semejantes en las formas).
Sean (A, ∗), (B, #) estructuras algebraicas y f : A → B una aplicación. Diremos que f es un morfismo si f (a1∗a2 ) = f (a1)#f (a2) para todos a1, a2 ∈ A. Unidad II. Estructuras Algebraicas Operaciones y Relaciones
Teoría de grafos 2­2010 UNEFA­Núcleo Mérida Ejemplo:
Sea O un alfabeto. Dadas dos palabras o1 y o2 que pertenecen a O diremos que: • o1 es un prefijo de o2, si existe un o que pertenece a O, tal que o2= o2o • o1 es un sufijo de o2, si existe un o que pertenece a O, tal que o2= oo2
• o1 es un enfijo de o2 si existe un o y o' que pertenece a O, tal que o2= oo2o'
Consideremos la operación que actúa sobre cualquier palabra suprimiendo, si fuera necesario, un prefijo, sufijo o enfijo para quedarse únicamente con el resto de la palabra. Esta operación, tiene una estructura de monoide con la operación de concatenación, ya que bajo esta transformación que es, en efecto, un homomorfismo, todas las palabras de longitud a lo sumo n permanecen fijas. Isomorfismo de semigrupo
Si f es inyectiva, se llama monomorfismo; si es sobreyectiva, epimorfimo, y si f es biyectiva, isomorfismo. En este último caso se dice que (A, ∗) y (B, #) son estructuras isomorfas. Relaciones de Congruencia
Sea n un entero positivo fijo. Dos enteros a y b se dice que son congruentes módulo n y se denota por: a = b mod n.
Si n divide a la diferencia a ­ b; es decir, si n|(a ­ b). Ejemplos:
63= 0 mod 3 porque 3| (63­0)
7= ­1 mod 8 porque 8| (7­(­1))
27= 2 mod 5 porque 5| (27­2)
Homomorfismos de Grupos
Un homomorfismo del grupo G1 al grupo G2 es una función f : G1 → G2 tal que f (r1 r2 ) = f (r1 )f (r2 ), ∀r1 , r2 ∈ G1
Notemos que el producto r1 r2 se refiere a la operación definida en G1, mientras que el producto f(r1) f(r2 ) es el definido en G2 . Nota: Definición análoga a homomorfismo de semigrupo.
Anillo
Un anillo R es un conjunto no vacío en donde están definidas un par de operaciones llamadas suma y producto, las cuales denotamos por + y ∙ respectivamente. Estas operaciones satisfacen cada una de las propiedades siguientes:
1.­ Para todo a, b ∈ R, se tiene que a + b y a ∙ b están en R. 2.­ Para todo a, b, ∈ R se tiene que : a + (b + c) = (a + b) + c
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Teoría de grafos 2­2010 UNEFA­Núcleo Mérida 3.­ Existe un elemento 0 en R, el cual llamaremos cero, tal que: a + 0 = 0 + a = a para todo a en R
4.­ Para todo a en R, existe otro elemento en R, denotado por −a, el cual llamamos el opuesto de a y que verifica: a + (−a) = −a + a = 0 5.­ Para todo a, b en R se tiene que a + b = b + a
6.­ Para todo a, b y c en R se satisface : a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c 7.­ Para todo a, b y c en R se satisface
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
(a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c
Si la operación ∙ es conmutativa se dice que A es un anillo conmutativo. Si existe neutro para ∙ se dice que A es un anillo unitario y el neutro se denota por el símbolo 1 (elemento uno). Ejemplo:
El conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y producto son un ejemplo de anillo que se simboliza como (Z, +, ∙). La suma de enteros forma un grupo conmutativo. Por otro lado, sabemos que el producto de enteros es asociativo. Recordemos que esto significa que
3∙ (4∙8) = (3∙4)∙8 es decir que 3∙32 = 12∙8
Y por último, la aplicación distributiva en este caso sería
2(4 + 6) = 2∙4 + 2∙6
que sabemos que la cumplen todos los números enteros.