Problemas de Asignació Asignación Modelos de Transporte: Problemas de asignación M. En C. Eduardo Bustos Farí Farías 2 Problemas de Asignación: Son problemas balanceados de transporte en los cuales todas las ofertas y todas las demandas son iguales a 1. Q Consiste en determinar la asignació asignación óptima de agentes u objetos indivisibles a n tareas. Son indivisibles en el sentido de que ningú ningún agente se puede dividir en varias tareas. Q La restricció restricción importante, para cada agente, es que será será designado a una y solo una tarea. Uno de los problemas que utilizan el modelo de transporte, es el de asignació asignación, el cual se refiere a la disposició disposición de algunos recursos (equipos o personas) para la realizació realización de ciertos productos o tareas a un costo diferenciado. El problema consiste en minimizar los costos por asignació asignación de recursos para el desempeñ desempeño de actividades. 3 Problemas de Asignació Asignación 4 Supuestos restricciones * El nú número de trabajadores es igual al nú número de empleos. Definició Definición del Problema * m trabajadores deben ser asignados a m trabajos. * Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado al trabajador i que realizara el trabajo j. * Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la la asignació asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le corresponde a cada uno, tratando de que esta asignació asignación sea la óptima posible. * Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es asignado só sólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo trabajador. * Para un problema desbalanceado se debe agregar un trabajador “ficticio” ficticio” (en el caso de que existan má más trabajos que trabajadores) o un empleo “ficticio” ficticio” (en el caso de que existan más trabajadores que trabajos), quedando así así el problema balanceado. 1 Pasos del mé método hú húngaro: Pasos del mé método hú húngaro: 1. Reducció Reducción en renglones: Elabore una nueva matriz eligiendo el costo mí mínimo de cada rengló renglón y restá restándolo de cada costo de ese rengló renglón. 2. Reducció Reducción en columnas: Elija el elemento de costo mí mínimo en cada columna y ré réstelo a cada elemento de la columna. 3. Determine si la matriz es reducida: Encuentre el nú número mí mínimo de lí líneas rectas que se pueden trazar sobre los renglones y las columnas para cubrir todos los ceros. Si este nú número es igual al de los renglones (o columnas), se dice que la matriz es reducida. Continú Continúe al paso 5. Si el nú número de rectas es 7 menor que el de renglones (o columnas) continú continúe con el paso 4. 4. Reducciones posteriores: Encuentre la menor de las celdas no cubiertas (sin lí línea recta). Reste el valor de esta celda a todas las celdas no cubiertas. Agré Agréguelo al valor de las celdas que se encuentran en las intersecciones de las restas dibujadas en el paso 3. 5. Localizació Localización de la solució solución óptima: Las celdas de costo cero se eligen, una por columna y rengló renglón a fin de hallar una asignació asignación óptima. Se suman los sotos originales de las celdas con asignació asignación para saber el costo total. 8 Solució Solución mediante el mé método Húngaro Problema: El profesor Michell ha terminado 4 capí capítulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias que podrí podrían tipearle cada uno de sus capí capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud exactitud con la que realiza el trabajo. Ademá Además los capí capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla: EJEMPLO 1 El profesor Michell Problema de asignació asignación Secretarí Secretaría Juana Marí María Jackeline Edith 13 96 116 120 114 Capí Capítulos 14 99 109 102 105 15 16 105 108 107 96 113 111 118 115 9 Restricciones del Mé Método Matriz de Costos Secretarí Secretaría Juana Marí María Jackeline Edith Capí Capítulos 13 14 96 99 116 109 120 102 114 105 Restar el Menor valor de cada fila Secretarí Secretaría Juana Marí María Jackeline Edith * Solo problemas de minimizació minimización. * Nú Número de personas a asignar m es igual al nú número de lugares m. * Todas las asignaciones son posibles * Una asignació asignación por persona y una persona por asignació asignación 10 11 Capí Capítulos 14 15 3 9 13 11 0 11 0 13 16 12 0 9 10 Restar el menor valor de cada columna en la matriz anterior Secretarí Secretaría Juana Marí María Jackeline Edith 15 16 105 108 107 96 113 111 118 115 13 0 20 18 9 13 0 20 18 9 Capí Capítulos 14 15 3 0 13 2 0 2 0 4 16 12 0 9 10 12 2 Trazar el mí mínimo nú número de lílíneas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior. Secretarí Secretaría Juana Marí María Jackeline Edith 13 0 20 18 9 Capí Capítulos 14 15 3 0 13 2 0 2 0 4 Secretarí Secretaría Juana Marí María Jackeline Edith 16 12 0 9 10 Si el nú número de lílíneas es igual al nú número de filas se esta en la solució solución óptima, sino identificar el menor valor no rayado restarselo a los demá demás nú números no rayados y sumarlo en las intersecciones. Capí Capítulos 14 15 5 0 13 0 0 0 0 2 16 14 0 9 10 Se obtuvo la asignació asignación óptima. Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0 Juana Marí María Jackeline Edith Para este caso corresponde al valor 2 13 0 18 16 7 Cap. Cap. 13 Cap. Cap. 16 Cap. Cap. 15 Cap. Cap. 14 *Costo Asignació Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410 13 14 Casos especiales * Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en particular EJEMPLO 2 * Un problema de maximizació maximización. Electró Electrónica Ballston Problema de asignació asignación 15 16 Electró Electrónica Ballston Datos * Tiempo de inspecció inspección en minutos para la lílínea de ensamble de cada área de inspecció inspección. Existen 5 diferentes proyectos elé eléctricos sobre 5 líneas de producció producción que necesitan ser inspeccionadas. El tiempo para realizar una buena inspecció inspección de un área depende de la lílínea de producció producción y del área de inspecció inspección. Linea Ensamble 1 2 3 4 5 A 10 11 13 14 19 B 4 7 8 16 17 Area de Inspección C 6 7 12 13 11 D 10 9 14 17 20 E 12 14 15 17 19 La gerencia desea asignar diferentes áreas de inspecció inspección a inspectores de productos tal que el tiempo total utilizado sea mí mínimo. 3 RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA Línea de ensamble 10 S1=1 1 12 4 Área de Inspección A D1=1 10 6 S2=1 2 B D2=1 S3=1 3 C D3=1 S4=1 4 D D4=1 S5=1 5 E D5=1 SOLUCIÓN CON WINQSB 20 21 22 23 24 4 EJEMPLO 3 PROBLEMA DE ASIGNACIÓ ASIGNACIÓN 25 Q Q Q La gerencia general de la compañí a compañía PROTAC, como parte de su auditoria anual, decidió decidió que cada uno de los cuatro vicepresidentes visite e inspeccione una de las 4 plantas durante las 2 primeras semanas de octubre. Se desea generar una asignació asignación óptima. Indique el costo asociado. 26 F = vicepresidente de finanzas M = vicepresidente de mercadotecnia O = vicepresidente de operaciones P = vicepresidente de personal Pi =Plantas 1, 2, 3 y 4 27 28 Solución Enumeració Enumeración completa Q Usar el mé método hú húngaro Q SOLUCIÓN a) Por enumeració enumeración completa, se hace una lista de las posibles soluciones, se calcula su costo asociado y se escoge la mejor. 29 30 5 a) Enumeración completa b) Método Húngaro F puede asignarse a cualquiera de las 4 plantas M puede enviarse a cualquiera Q de las 3 plantas restantes O puede enviarse a cualquiera Q de las 2 planta restantes P se asigna a la única planta Q disponible Q 31 32 33 34 Formulació Formulación matemá matemática del modelo de Asignació Asignación 35 Existen n personas las cuales pueden desempeñ desempeñar cualquier actividad de un conjunto de n actividades y conocemos el costo cij de asignació asignación de la actividad i a la persona j. i = 1,… j = 1,… 1,…, m 1,…, n El problema es determinar de todas las asignaciones posibles, las de costo total mínimo. 36 6 3. Restricciones: 1. Variables de decisió decisión: xij = 1, si la actividad i es asignada a la persona J 0, si i no es asignada a j 2. Funció Función objetivo: m Mín n Z = ∑∑ Cij xij i =1 j =1 37 38 39 40 41 42 7 43 44 45 46 47 48 OFERTA DEMANDA 8 49 50 51 52 Este ejemplo ilustra por qué qué la minimizació minimización de costos de oportunidad conduce a una solució solución que maximiza las utilidades. Q Ahora podemos aplicar el mé método húngaro en la manera acostumbrada sobre la matriz de costos de oportunidad. Q Para maximizar utilidades, aun deseando escoger el rengló renglón 1, optarí optaríamos por el rengló renglón D porque 25 es ahora la mayor utilidad disponible (ver figura 7.44). Para minimizar costos de oportunidad, tambié también elegirí elegiríamos el rengló renglón D porque 15 es el menor costo disponible (ver figura 7.45) 53 54 9 Programación de pilotos PROBLEMA DE ASIGNACIÓ ASIGNACIÓN 55 56 57 58 59 60 SOLUCIÓN 10 7 7 61 62 EJERCICIO PARA RESOLVER Problema de asignació asignación 63 64 Desarrolle una representación de red para el problema. Indique el modelo de programación lineal asociado y resuélvalo por simplex. Resuélvalo por el método húngaro. Q Q Q Q Q Q El gerente de la lílínea de producció producción de una empresa electró electrónica debe asignar personal a cinco tareas. Existen cinco operadores disponibles para asignarlos. El gerente de lílínea tiene a su disposició disposición datos de prueba que reflejan una calificació calificación numé numérica de productividad para cada uno de los cinco trabajos. Estos datos se obtuvieron a travé través de un examen de operació operación y prueba administrado por el departamento de ingenierí ingeniería industrial (vé (véase la tabla siguiente). Suponiendo que un operador puede ejecutar un solo trabajo, plantee un modelo que conduzca a la asignació asignación óptima de tareas. 65 Resué Resuélvalo. Número de operador Número de trabajo 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 12 16 24 8 6 8 20 14 10 6 26 18 2 4 2 24 7 10 6 6 2 6 12 20 18 66 11 SOLUCIÓN 67 68 69 70 Problemas de Transbordo 71 72 12 Problemas de Transbordo Son problemas de transporte en los que se agregan puntos de transbordo. transbordo. Q Los puntos de transbordo son puntos que pueden tanto recibir mercaderí mercadería de otros puntos como enviar mercaderí mercadería a otros puntos. puntos. Q 73 Q Q Es una extensió extensión al problema de transporte en el cual se agregan nodos intermedios (nodos de transbordo), transbordo), para tomar en consideració consideración localizaciones, como por ejemplo almacenes. En este tipo má más general del problema de transporte de distribució distribución, los embarques pueden ser efectuados entre cualquier par de tres tipos generales de nodos: de origen, de transbordo o de 74 destino. Características Q Q Q La oferta o suministro disponible en cada origen es limitada. En cada destino la demanda está está definida o especificada. El objetivo en el problema de transbordo es de determinar cuantas unidades deberá deberán embarcarse por cada uno de los arcos de la red, de manera que todas las demandasdemandas-destino se satisfagan al costo de transporte mínimo posible. Ejemplo 75 76 SOLUCIÓN Encontrar la formulación de programación lineal para el problema de transbordo planteado en el modelo de redes, tal que minimice los costos de transporte. 77 78 13 Oferta Almacenes (transbordo) Plantas (origen) 2 600 1 Distribuidores (destino) Demanda 200 5 2 3 6 3 3 6 150 6 3 400 4 2 4 1 4 7 350 6 3. Restricciones a) De los nodos origen: 5 300 8 1. Variables de decisió decisión: xij = nú número de unidades embarcadas del origen i al destino j, pasando por los nodos de trasbordo que se especifican. i = 1, 2, 3, 4 j = 5,.., 8 2. Funció Función objetivo: Z = 2 x13 + 3x14 + 3 x23 + x24 + 2 x35 + 6 x36 + 3 x37 + 6 x38 + 4 x45 + 4 x46 + 6 x4779+ 5 x48 Mín x13 + x14 ≤ 600 x23 + x24 ≤ 400 b) De los nodos de transbordo: transbordo: − x13 − x23 + x35 + x36 + x37 + x38 = 0 − x14 − x24 + x45 + x46 + x47 + x48 = 0 80 c) De los nodos destino: x35 + x45 = 200 x36 + x46 = 150 Ejemplo x37 + x47 = 350 x38 + x48 = 300 Problemas de transbordo xij ≥ 0 ∀ij 81 82 83 84 14 85 86 87 88 Variantes del problema de trasbordo Igual que en los problemas de transporte se pueden formular problemas de trasbordo con varias variantes: Q Suministro total no igual a la demanda total Q Maximizació Maximización de la funció función objetivo Q Rutas con capacidad limitada Q Rutas inaceptables 89 90 15 Variantes al problema de transporte Q Las modificaciones a los modelos de programació programación lineal requeridas para aceptar estas variaciones son idé idénticas a las que se mencionaron para el problema de transporte. Oferta no igual a la demanda total: Se agrega una columna de holgura en la tabla de transporte y se le asignan ceros en los costos. Rutas con capacidad limitada: En la formulació formulación de programació programación lineal del problema de transporte tambié también puede tomar en consideració consideración capacidades o cantidades mínimas para una ruta. Así Así : Para capacidad xij <= 1000 Para montos mí mínimos de ruta xij >= 2000 91 Rutas no aceptables: Quizá Quizás no pueda ser posible establecer una ruta desde cualquiera de los orí orígenes hasta cualquiera de los destinos. A fin de manejar esta situació situación, hacemos desaparecer el arco correspondiente en la formulació formulación de la programació programación lineal. Maximizació Maximización de la funció función objetivo: En algunos problemas de transporte, el objetivo es encontrar una solució solución que maximice la utilidad o los ingresos. 92 Q Q Q Q Empleando valores de la utilidad o de ingresos unitarios como coeficientes de la funció función objetivo, resolvemos un problema lineal de maximizació maximización en vez de uno de minimizació minimización. Este cambio no afecta a las restricciones. Otro mé método empleando la tabla de transporte es construir la matriz de costos de oportunidad. Costo de oportunidad es el costo en que se incurre por no haber tomado la mejor decisió decisión o por no haber hecho la mejor elecció elección posible. 93 Q Q En el contexto de un problema de transporte que impide maximizació maximización, el costo de oportunidad para una celda es la diferencia entre su utilidad y la utilidad de la celda de esa columna que sea mayor. El costo de oportunidad es el costo en que se incurre al no transportar todo por la ruta que arroje las mayores utilidades. 95 94 EJEMPLO 1 Maximizació Maximización 96 16 Maximizar las utilidades totales de la ruta de transporte que se muestra. Q Aquí Aquí los valores de los recuadros son utilidades (dó (dólares por unidad). Q SOLUCIÓN 97 98 99 100 Se construye la tabla de transporte con los costos de oportunidad, se encuentra una SBFI y se procede con el cá cálculo de los índices de mejoramiento. 0 1 Problema para resolver Los valores de las variables en la tabla óptima se multiplican por las utilidades de la tabla original y se suman para calcular la utilidad total. x11 = 200 * 5 = 1000 x12 = 50 * 3 = 150 x22 = 200 * 2 = 400 x23 = 150 * 4 = 600 Z= 2150 Transbordo 101 102 17 4 5 6 7 8 9 4 5 103 18