Q T Ta Pot Tr

INTRODUCCION AL CONTROL Vamos a tratar con sistemas que son lineales e invariantes en el tiempo. Ejemplo: Horno Eléctrico Sea un recinto aislado donde se requiere tener una temperatura Tr. Fuera del recinto existe una temperatura ambiente Ta. Se aplica potencia eléctrica Pot a una resistencia calefactora, la cual genera un calor Q. El calor Q se transmite por conducción, convección y radiación al resto del recinto, produciendo un aumento de temperatura que se estabiliza en el valor T luego de un tiempo. Ta T Tr Q
Pot
Conocido Ta y conocidos los parámetros físicos del horno (dimensiones, aislación, coeficientes térmicos), se podría calcular el valor de Pot necesario para obtener una temperatura Tr, que es la temperatura deseada. Sin embargo, la temperatura T no se puede mantener igual a Tr si variasen Ta o la potencia Pot. Esta última puede modificarse si cambia la tensión de la red eléctrica, lo cual es bastante común. En cuanto a Ta, podemos considerar que la temperatura T cambia en la magnitud que cambia la Ta. Por lo tanto, concluimos que, en las condiciones definidas para esta aplicación, no es posible mantener la temperatura en el valor Tr si varía Pot y/o Ta. Solución: Controlar este sistema. ¿Qué es controlar una variable? Mantener la variable dentro de un rango de valores deseados, a pesar de cambios en las magnitudes internas o externas que la pudieran afectar. Ta T Tr Q
Pot
Controlador Para realizar el control, el concepto más elemental consiste en utilizar un sensor que mida la variable T, que luego la compare con la variable deseada Tr, lo hace dentro del Controlador, y que después este Controlador defina el correcto valor de Pot. Para comprender los conceptos de Control, vamos a modelar el horno con un bloque que relaciona la salida T, con la temperatura de referencia o deseada Tr. Este bloque, que no considera el efecto de Ta, relaciona T con Tr en forma multiplicativa (luego se fundamentará). Es decir: T=Gp.Tr donde Gp es una función que describe o modela la física del horno. Luego de lo mencionado podemos escribir el siguiente modelo para el horno: Ta
Tr Gp + + T
El efecto de la variación de P está incluido en Gp. En definitiva: T = Gp.Tr + Ta ECUACIÓN DEL SISTEMA CONTROLADO Vamos a generalizar esta situación a otras aplicaciones. En general vamos a seguir utilizando Gp para denominar al bloque, que vamos a llamar también como “Sistema a Controlar” o “Planta”. La entrada al bloque Gp la llamaremos en general con la letra A, la entrada asignada a Ta la vamos a llamar “Perturbación” P, la salida de todo el sistema será la Variable Controlada, C. A continuación describimos todo el sistema a través de bloques: Ta
Tr Controlador Tr
Gp
+
+
T
Sensor
P
E R +
A
Gc
Gp
C1 +
C
‐
H Vamos a encontrar la relación entre la salida C y la entrada R. C = A.Gp = E .Gc.Gp = (R − C .H).Gc.Gp
C = R.Gc.Gp − C .H.Gc.Gp
C + C .H.Gc.Gp = R.Gc.Gp
C .(1 + H.Gc.Gp) = R.Gc.Gp
C
Gc.Gp
=
R 1 + Gc.Gp.H
Al producto de Gc.Gp lo llamamos G. Por lo tanto, queda lo siguiente: P
E R +
G
C1 +
C
‐
H
C
G
=
(1) R 1 + G.H
Esta ecuación es muy importante. Es interesante analizar qué pasa si G.H 1 . En ese caso: C 1
≅ R H
Este resultado es muy conveniente ya que la relación C/R deja de depender de G para depender sólo de H. Normalmente H=cte ya que H está dada por el modelo del sensor, el cual efectivamente es constante. Volviendo al ejemplo del horno, vamos a analizar el efecto de la variación de la potencia eléctrica Pot. Vamos a olvidarnos de la variación de Ta por el momento. Al modificarse Pot se modifica Gp. Si el controlador Gc se diseña tal que se cumpla G.H 1 , entonces C/R no depende de Gp, es decir que ¡la variación de Pot no afecta a C/R! Ya se observan las ventajas de controlar. También se advierte la razón de existencia del controlador Gc. Por otra parte ahora veremos qué pasa con la perturbación P en el sistema controlado. Recordando que estamos trabajando con sistemas lineales, podemos aplicar superposición y considerar sólo el efecto de P sobre la salida, es decir considerar E=0. En este caso interesa obtener la relación C/P. Aplicando la ecuación (1) a este caso se llega a: C
1
=
P 1 + G.H
Otra vez vamos a analizar el caso en el que G.H 1 . En estas condiciones: C
≅0 P
Esto es muy conveniente ya que, para una dada perturbación como la Ta en el horno por ejemplo, la salida (temperatura T en el horno) no se entera de las variaciones de la perturbación! Otra vez, se observa la conveniencia de diseñar con un Gc 1 para lograr que la perturbación no afecte la salida. Se entiende otra vez para qué está el controlador. ¡Otra ventaja del control! TRANSFERENCIA Las funciones expresadas dentro de los bloques se denominan transferencias y se definen como: Transferencia G(s): Y (s)
G(s) =
con condiciones iniciales nulas. X (s)