Tema 5 Estabilidad y Compensación

CIRCUITOS ANALÓGICOS (SEGUNDO CURSO)
Tema 5
Estabilidad y Compensación
Sebastián López y José Fco. López
Instituto Universitario de Microelectrónica Aplicada (IUMA)
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
35017 - Las Palmas de Gran Canaria
Tfno. 928.451247
Fax 928.451243
e-mail: seblopez@iuma.ulpgc.es
© LOPEZ
Tema 5
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OBJETIVOS
En el tema anterior se examinaron los efectos de la
realimentación negativa sobre parámetros del circuito, tales
como ganancia o impedancia terminal. En este tema veremos el
efecto de la realimentación negativa sobre la respuesta en
frecuencia de un circuito. Se ilustrará la posibilidad de oscilación
en los circuitos realimentados y se describirán métodos para
superar estos problemas mediante compensación del circuito.
Una vez acabado el tema, se podrá saber si un sistema es estable
o no, y en caso de que esto último ocurra, se tendrá un dominio
de distintas técnicas que permitan asegurar la estabilidad.
Duración: 7 horas
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ÍNDICE
1. Determinación de la ganancia de lazo Aβ
2. El problema de la estabilidad
2.1. El diagrama de Nyquist
3. Efecto de la realimentación en los polos del amplificador
3.1. Estabilidad y localización de los polos
3.2. Polos del amplificador realimentado
3.3. Sistemas con un polo
3.4. Sistemas con dos polos
3.5. Sistemas con tres polos
4. Estabilidad usando diagramas de Bode
4.1. Margen de ganancia y margen de fase
4.2. ¿Por qué se hace inestable un sistema con realimentación
negativa?
4.3. Método alternativo al estudio del diagrama de Bode de
|Aβ|
5. Compensación en frecuencia
5.1. Límite de β
5.2. Otros métodos de compensación
5.2.1. Teoría
5.2.2. Implementación
5.2.3. Compensación Miller y separación de polos
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FICHA TÉCNICA
1. Determinación de la ganancia de lazo Aβ
Importancia de la ganancia de lazo en sistemas realimentados:
• Determina si se trata de realimentación positiva o negativa
• Determina los polos de la función de transferencia
F(s)=A(s)/[1+A(s)β(s)]
• Determina si un sistema es estable o no
Existe un método alternativo para determinar ganancia de lazo:
xi
xs
A
xo
xf
β
Si la fuente externa xs es nula y abrimos la conexión en xo
aplicando una señal de test xt:
xi
xo
A
Aβ = − x o / x t
xf
xt
β
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Si rompemos el lazo en un circuito amplificador práctico,
debemos asegurar que las condiciones que existían originalmente
no cambian. Esto se consigue añadiendo una impedancia igual a la
que había originalmente donde se rompió el lazo.
X
Zt
Vt
X'
Vr
Zt
2. El problema de la estabilidad
La función de transferencia en lazo cerrado viene expresada por:
A f ( s) =
A( s )
1 + A( s ) β ( s )
Por lo tanto, la ganancia en lazo A(jw)β(jw) es un número
complejo que se puede representar por su maginitud y fase:
L( jw) ≡ A( jw) β ( jw) = A( jw) ⋅ β ( jw) ⋅ exp( jφ ( w))
La forma en la que la ganancia de lazo varía con la frecuencia es
la que determina la estabilidad o inestabilidad del amplificador
realimentado.
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2.1.
El diagrama de Nyquist.
El diagrama de Nyquist es un procedimiento que permite
determinar la estabilidad. Se trata simplemente de un diagrama
polar de la ganancia de lazo usando la frecuencia como
parámetro.
Im
w<0
w=180
(-1,0)
w=∞
φ
w=0
Re
|Aβ|
w>0
El diagrama de Nyquist intercepta al eje real negativo en w=180.
Si este cruce ocurre a la izquierda del punto (-1,0), sabremos que
la magnitud de la ganancia de lazo a esta frecuencia es mayor que
la unidad y el amplificador será inestable. Si la intercepción se
produce a la derecha del punto (-1,0), el amplificador será
estable. Por lo tanto, si el diagrama de Nyquist encierra al punto
(-1,0), estaremos frente a un sistema inestable.
3. Efecto de la realimentación en los polos del amplificador
La respuesta en frecuencia de un amplificador y su estabilidad se
determinan directamente por medio de sus polos.
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3.1. Estabilidad y localización de los polos
Para que un amplificador (o cualquier otro sistema) sea estable,
sus polos deben estar en el semiplano izquierdo del plano s. Un
par de polos complejos conjugados en el eje jw da lugar a
oscilaciones mantenidas, mientras que polos situados en el
semiplano derecho da lugar a oscilaciones crecientes.
3.2. Polos del amplificador realimentado
Los polos de un amplificador realimentado son las raíces de
1+A(s)β(s). Por lo tanto, los polos se obtienen resolviendo la
denominada “ecuación característica” del lazo de realimentación:
1 + A( s ) β ( s ) = 0
Si suponemos que un amplificador sin realimentar tiene polos
reales y ningún cero finito, y que el factor β es independiente de
la frecuencia, nos podemos encontrar con distintos casos.
3.3. Sistemas con un polo
jw
-wp(1+Aoβ)
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-wp
σ
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A( s ) =
Ao
1+ s / wp
3.4. Sistemas con dos polos
jw
σ
-wp2
A( s ) =
-wp1
Ao
(1 + s / w p1 ) ⋅ (1 + s / w p 2 )
(wp1+wp2)/2
3.5. Sistemas con tres o más polos
jw
A( s ) =
σ
-wp3
-wp2
Ao
(1 + s / w p1 ) ⋅ (1 + s / w p 2 ) ⋅ (1 + s / w p 3 )
-wp1
Como norma general, cada polo puede introducir, como máximo,
un desfase de 90º (a frecuencia infinita). El peligro de
inestabilidad se produce pues cuando se realimentan
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amplificadores con tres o más polos. Cuando estas
inestabilidades se producen, se debe recurrir a técnicas de
compensación para mantener la estabilidad del sistema.
4. Estabilidad usando diagramas de Bode
4.1.
Margen de ganancia y margen de fase
La representación del diagrama de Nyquist para estudiar la
estabilidad de un sistema puede implicar cierta complejidad. Por
ello, se utiliza como alternativa un diagrama de Bode de
A(jw)β(jw). Este diagrama de Bode contiene toda la información
del diagrama de Nyquist y es mucho más simple de dibujar.
Según Nyquist, un amplificador realimentado es estable si a una
frecuencia, w180, a la cual la fase es de 180º se cumple que
|A(jw180)β(jw180)| < 1. Una representación de este tipo sería:
|Aβ|dB
w180
0
log(w)
margen de
gananci a
Aβ
log(w)
-90º
margen de
fase
-180º
-270º
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El margen de ganancia representa la cantidad a la cual la ganancia
de lazo Aβ puede ser aumentada mientras se mantenga la
estabilidad. Los amplificadores realimentados se suelen diseñar
de forma que tengan un margen de ganancia suficiente para
asegurar la estabilidad incluso en caso de cambios inevitables de
la ganancia de lazo.
Otra forma de comprobar la estabilidad es examinando el
diagrama de Bode a la frecuencia a la cual |Aβ| = 1, que es la
frecuencia a la cual el diagrama en magnitud corta al eje de 0dB.
Si a esta frecuencia la fase es menor en magnitud de 180º, el
amplificador será estable. La diferencia entre la fase a esta
frecuencia y la fase a w180 se denomina margen de fase.
Para garantizar una buena respuesta transitoria es conveniente
tener un margen de fase superior a 30º. Un margen de ganancia
aceptable puede ser 10dB o superior.
4.2. ¿Por qué se hace inestable un sistema con realimentación
negativa?
Un síntoma de realimentación negativa es el hecho de que Aβ>0.
Esto quiere decir que a frecuencias medias, la fase de Aβ debe
ser 0º. Si en ese producto Aβ aparecen polos, estos introducen
una variación en la fase. Con un solo polo, la fase irá de 0º para
w=0 hasta –90º para w=∞. Con dos polos, hasta -180º para w=∞ y,
con tres hasta -270º para w=∞. En este último caso, debe
existir una pulsación wo para la cual la fase de Aβ lo cual significa
que para esa pulsación en particular, el producto A(jwo)β(jwo) es
un número real negativo y por lo tanto el amplificador se
comportará como si tuviera realimentación positiva. Si además,
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as esa frecuencia, la ganancia en módulo es mayor que 1 (0dB), el
sistema no se comportará como un oscilador.
Para todos aquellos sistemas con tres o más polos, siempre existe
alguna pulsación donde la fase de Aβ es ±Aβ.
4.3. Método alternativo al estudio del diagrama de Bode de
|Aβ|
Investigar la estabilidad construyendo diagramas de Bode para la
ganancia de lazo Aβ puede ser tedioso y ocupar mucho tiempo,
especialmente si se pretende estudiar la estabilidad de un mismo
amplificador al que se le conectan distintas redes de
realimentación.
Un método alternativo, mucho más simple, consiste en construir
sólo el diagrama de Bode para A(jw). Suponiendo que β es
independiente de la frecuencia, podemos plotear 20log(1/β) como
una línea horizontal en el mismo diagrama que 20log(A). La
diferencia entre las dos curvas será:
20 ⋅ log A( jw) − 20 ⋅ log(1 / β ) = 20 ⋅ log Aβ
que es la ganancia de lazo en dB. Si quisiéramos evaluar la
estabilidad para un factor de realimentación diferente, solo
tendríamos que dibujar una nueva línea recta en 20log(1/β2).
5. Compensación en frecuencia
Cuando un amplificador realimentado se hace inestable, deben
ser compensados. Para ello existen varias alternativas. Todas
ellas tratan de evitar que cuando la fase de Aβ sea 180º, el
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módulo sea superior a 0dB. En esencia, lo importante es
“comerse” ganancia. La inestabilidad suele ser debida al hecho de
que el producto Aβ tiene una ganancia elevada y existe una
acumulación de polos próximos.
5.1. Límite de β
Una forma de controlar la estabilidad puede ser limitando el
valor de β. Por ejemplo, para un sistema sin realimentar como el
indicado en el siguiente cuadro:
Frecuencia
10 KHz
10 MHz
30 MHz
Ganancia
80 dB
40 dB
20 dB
Fase
0º
-135º
-180º
Si introducimos un circuito de realimentación, para mantener el
sistema estable y con respuesta transitoria aceptable, hemos de
limitar β de forma que la ganancia total del amplificador
realimentado sea siempre mayor que 100.
5.2. Otros métodos de compensación
Vamos a estudiar otros métodos para modificar la función de
transferencia en lazo abierto A(s) de un amplificador con tres o
más polos de forma que el amplificador en lazo cerrado sea
estable para cualquier valor desado de ganancia en lazo cerrado.
5.2.1. Teoría
El método más simple de compensación en frecuencia se
denomina método del polo dominante y consiste en introducir un
nuevo polo en la función A(s) a una frecuencia muy baja, fD, de
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forma que la ganancia en lazo abierto modificada, A’(s),
intercepte la curva 20log(1/β) a una frecuencia a la cual la fase
no sobrepase los 180º.
Como ejemplo, supongamos que queremos
amplificador A(s) de la siguiente gráfica.
compensar
el
dB
120
y'
z'
A'(s)
80
A''(s)
40
A(s)
z
y
0
-40
2
10
f'D
2
10
f'D
10
10
fD
10
10
fD
3
10
4
10
fp1
3
10
5
10
fp2
4
10
fp1
6
10
fp3
5
10
fp2
7
10
6
10
fp3
7
10
9
Hz
9
Hz
8
10
8
10
0º
-90º
-180º
-270º
-360º
Evidentemente, resulta necesario compensar por cuanto
|A(w180)|>1, o lo que es lo mismo, |A(w180)|>0dB. Supongamos
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también que disponemos de una red de realimentación β con
ganancia 40dB, lo cual es alto, o lo que es lo mismo, ganancia 10-2.
Lo que se suele hacer es dibujar primero la línea
20log(1/β)=40dB. Esta línea intercepta a A(s) en un punto en el
cual Aβ=0dB o Aβ=1, en el cual la fase es superior en magnitud a
180º, por lo que el sistema seguirá siendo inestable.
Vamos a añadir un polo a una frecuencia suficientemente baja.
Para ello, localizamos el punto Y en la línea de 40dB, el cual está a
la frecuencia del polo más bajo. A partir de ahí, dibujamos una
línea de pendiente –20dB/dec y determinamos el punto al cual
esta línea intercepta a la ganancia en DC (punto Y’). Este punto
nos da la frecuencia fD a la cual tenemos que introducir un polo
para que el sistema realimentado sea estable, ya que ahora la
frecuencia a la cual Aβ=0dB (fP1 o punto Y), la fase es inferior a
180º, o lo que es lo mismo, a la frecuencia w180, |Aβ| es
claramente inferior a la unidad y por lo tanto ahora el sistema
será inestable. Así pues, ahora tendremos un sistema con 4 polos,
fD, fP1, fP2 y fP3.
Una desventaja de este método de compensación es que a la
mayoría de las frecuencias la ganancia se ve drásticamente
reducida. La razón se debe al polo localizado en fP1. Si de alguna
forma pudiéramos eliminar ese polo, podríamos seguir el
procedimiento anterior con el polo en fP2 (trazar –20dB/dec a
partir del punto Z) y dibujar la línea ZZ’. De esta forma
obtendríamos la curva A’’(s) para la ganancia en lazo abierto, la
cual tiene una ganancia considerablemente mayor que A’(s) y
además también es estable si se realimenta con β.
Aunque no es posible eliminar el polo en fP1, normalmente es
posible desplazar el polo de fP1 a f’D. Esto hace que el polo se
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convierta en dominante y elimina la necesidad de introducir un
polo adicional a baja frecuencia, como se explicará a
continuación.
5.2.2. Implementación
Vamos a estudiar cómo implementar el esquema de compensación
en frecuencia comentado anteriormente. El circuito amplificador
normalmente consiste en un número de etapas de ganancia en
cascada, siendo cada etapa la responsable de uno o más polos de
la función de transferencia. Mediante un análisis manual o por
medio de un ordenador se puede identificar qué etapa introduce
cada uno de los polos importantes, fP1, fP2 y demás.
Supongamos que el primer polo fP1 se introduce en la interfaz
entre las dos etapas diferenciales de la siguiente figura.
B'
B
Q1
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Q2
Q3
15
Q4
Un modelo simple en pequeña señal del circuito en esta interfaz
es el siguiente:
B'
Ix
Cx
Rx
B
donde Ix es la corriente de salida del par Q1-Q2, Rx es la
resistencia total entre B-B’ y Cx es la capacidad total entre B-B’.
Para este caso, el polo del circuito estará localizado en:
f P1 =
1
2πC x R x
Vamos a conectar ahora un condensador de compensación CC
entre los nodos B-B’.
B'
Ix
Cx
Rx
CC
B
Ahora, el polo introducido estará a una frecuencia menor que
nosotros decidiremos según la expresión:
f 'D =
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1
2π (C x + CC ) R x
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A este tipo de compensación se le denomina compensación polocero. Por lo tanto, se puede seleccionar un valor apropiado para
CC de forma que se desplace la frecuencia del polo de fP1 a f’D
determinada por el punto Z’ del diagrama de Bode mostrado
anteriormente. Hay que tener en cuenta que la adición de CC
normalmente produce cambios en la localización de los otros dos
polos (fP2 y fP3).
Una de las mayores desventajas de este método de
implementación es que el valor requerido de CC es normalmente
muy alto, lo cual imposibilita su inclusión en circuitos integrados
por cuanto ocuparía mucha área. Una solución elegante a este
problema es conectar la capacidad de compensación en el camino
de realimentación de una etapa amplificadora, de forma que con
el efecto Miller, la capacidad de compensación se multiplique por
la ganancia de la etapa, dando como resultado una capacidad
efectiva mucho mayor. Además, tal y como se explica a
continuación, se pueden obtener otros beneficios.
5.2.3.
Compensación Miller y separación de polos
La siguiente figura muestra una etapa de ganancia en un
amplificador multietapa.
Cf
C
Por simplicidad se trata de una etapa
EC pero en la práctica puede ser
cualquier circuito más complejo. En el
camino de realimentación de esta
etapa EC hemos añadido una capacidad
de compensación Cf.
B
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La siguiente figura muestra el circuito equivalente de esta etapa.
Cf
B
Ii
R1
Vπ
Vo
C
C1
R2
C2
gmVπ
R1 y C1 representan la resistencia y capacidad total entre el nodo
B y tierra. R2 y C2 representan la resistencia y capacidad total
entre el nodo C y tierra. Además, C1 y C2 incluyen la componente
Miller debido a Cμ y C2 incluye la capacidad de entrada de la
siguiente etapa. Finalmente, Ii es la señal de corriente de la
etapa anterior.
Si suponemos que no hay capacidad de compensación, Cf, nos
encontramos con dos polos:
f P1 =
1
2πC1 R1
f P2 =
1
2πC 2 R2
Si ahora tenemos en cuenta Cf:
w' P1 ≈
w' P 2 ≈
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g m R2 C f R1
g mC f
C1C 2 + C f (C1 + C 2 )
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Conforme aumenta Cf, w’P1 se reduce y w’P2 aumenta. A esto se le
denomina separación de polos. El aumento de w’P2 es beneficioso,
ya que mueve al punto Z del diagrama de Bode a una frecuencia
aúm mayor.
Finalmente, hay que hacer notar que en w’P1, Cf es multiplicado
por la ganancia Miller gmR2, dando como resultado una capacidad
mucho mayor, gmR2Cf. En otras palabras, el valor requerido de Cf
será mucho menor que el del CC del método anterior.
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