Topologı́a Algebraica Tarea 3. Definición. Una palabra xe11 xe22 · · · xemm ∈ W (X), ei = ±1, se llama −e reducida si y sólo si xei i 6= xi+1i+1 para todo i. 1. Se define ρ : W (X) → W (X) como sigue • ρ(1) := 1. • ρ(xe ) := xe para x ∈ X y e = ±1. • Si ρ(w) = xe11 xe22 · · · xemm , entonces ( xe11 xe22 · · · xemm xe ρ(wxe ) = em−1 xe11 xe22 · · · xm−1 si xemm 6= x−e , en otro caso. Muestra que (a) ρ es función. (b) ρ(w) está reducida para toda w. (c) ρ(w) ∼ w. (d) Si v está reducida, entonces ρ(v) = v. 2. Sean F un grupo y X ⊂ F . Entonces F es libre con base X si y sólo si X genera a F y ninguna palabra reducida en X ±1 de longitud positiva es igual a 1. 3. Si F es libre y F ∼ = G, entonces G es libre. Definición. Una palabra reducida xe11 xe22 · · · xemm ∈ W (X), ei = ±1, se 1 llama reducida cı́clicamente si y sólo si xemm 6= x−e 1 . 4. Sean F un grupo libre y a ∈ F − {e}. Entonces las longitudes 2λ(a) = λ(a2 ) si y sólo si a está representada por una palabra reducida cı́clicamente. 5. Si F es grupo libre y a ∈ F −{e}, entonces a tiene orden infinito (o sea, F es libre de torsión). Sugerencia: Si a = x1 x2 · · · xm y a2 = x1 x2 · · · xm−r xr+1 xr+2 · · · xm están reducidas con xi ∈ X ±1 , entonces r < m/2. Luego λ(a) < λ(a2 ). 1 6. Si F es grupo libre y a, b ∈ F cumplen ab = ba, entonces existe c ∈ F tal que a = cm y b = cn para ciertos m, n ∈ Z. Sugerencia: Inducción sobre λ(a) + λ(b). 7. Si F es grupo libre y a, b ∈ F cumplen an = bn para algún n ∈ N, entonces a = b. 8. Sea F un grupo libre. Para cada a, b ∈ F − {e} definimos a ∼ b si y sólo si ab = ba. Entonces ∼ es una relación de equivalencia en F − {e}. 9. Sea F un grupo libre y a, b ∈ F palabras reducidas. Entonces a y b son conjugados si y sólo si existen h, j, k, ` ∈ F tales que a = h−1 kjh y b = `−1 jk` donde kj y jk están cı́clicamente reducidas. 10. Muestra que Z ⊕ Z no es libre. 11. Sean X y Y conjuntos tales que X ∼ = Y (o sea, X y Y tienen la misma cardinalidad). Entonces los grupos libres F (X) ∼ = F (Y ). Definición. Si F es libre con base X, entonces el cardinal de X, #(X), se llama el rango de F . 12. Prueba que Z con la suma es un grupo libre de rango 1. 13. Si F es un grupo libre de rango mayor o igual que 1, entonces F es infinito. G es libre. Entonces G tiene 14. Sean G un grupo y N / G tal que F = N un subgrupo C ≤ G tal que N ∩ C = {e}, N C = G y C ∼ = F. Definición. Sea G un grupo abeliano y X ⊂ G. Entonces G se llama libre abeliano con base X si y sólo si para todo grupo abeliano H y toda función f : X → H, existe un único homomorfismo de grupos abelianos f˜ : G → H tal que f˜|X = f . 15. Muestra que el grupo libre abeliano de rango r es isomorfo a la suma directa de r copias de Z. 2 Definición. Si G es un grupo y a, b ∈ G, entonces escribimos [a, b] = a−1 b−1 ab. Ahora [G, G] = h{[a, b]|a, b ∈ G}i se llama el subgrupo conmutador de G. Si G es un grupo, escribimos Ab(G) = G , [G, G] la abelianización de G. 16. Si G es un grupo, entonces [G, G] es un subgrupo caracterı́stico de G (todo automorfismo G → G manda a [G, G] en sı́ mismo; en particular [G, G] es normal. Más generalmente todo homomorfismo G → H manda a [G, G] en [H, H]). 17. Si Ab : G → Ab(G) es la proyección canónica, entonces para todo grupo abeliano H y todo homomorfismo f : G → H, existe un único homomorfismo Ab(f ) : Ab(G) → H tal que Ab(f ) ◦ Ab = f : F es libre abeliano de 18. Sea F un grupo libre de rango r. Entonces [F, F ] rango r. 19. Sea F = F (s, t) un grupo libre y H = hs2 t3 , s3 t4 i. Entonces H tiene Ab(F ) ı́ndice infinito en F , pero es el grupo trivial. Ab(H) 20. Sea F el grupo libre de rango r ∈ N. Entonces, dado n ∈ N, F tiene un número finito de subgrupos normales de ı́ndice n. 21. Sea F = F (x, y), el grupo libre de rango 2. Para n ∈ N escribimos an = x−n yxn . (a) Dado n ∈ N, ninguna palabra reducida de longitud positiva en a1 , . . . , an es igual a e. (b) El grupo Fn = ha1 , . . . , an i es libre con base {a1 , . . . , an }. 3 (c) El grupo F0 = [ Fr es libre de rango ℵ0 . r∈N Definición. Sean G un grupo, g ∈ G y H ≤ G. Entonces C(g) = {x ∈ G|xa = ax} es el centralizador de g en G y N (H) = {x ∈ G|xH = Hx} es el normalizador de H en G. 22. Sea F un grupo libre. (a) Ningún elemento no trivial de F es conjugado a su inverso. (b) Si a ∈ F − {e}, entonces N (hai) = C(a). 23. Sea F un grupo libre, entonces el conjunto de palabras reducidas de longitud par es un subgrupo de F y tiene ı́ndice 2. 24. Sea G = hX : Ri, entonces Ab(G) = hX : R ∪ {[x, y]|x, y ∈ X}i. 25. Para l, m, n ∈ Z escribimos D(l, m, n) = hx, y : xl , y m , (xy)n i. Prueba que D(l, m, n) ∼ = D(n, m, l) ∼ = D(m, l, n) ∼ = D(−l, m, n). 26. ¿Quién es D(1, m, n)? ¿Y quién es D(2, 2, n)? 27. Si D∞ = ha, b : a2 , b2 i, calcula Ab(D∞ ). 28. Para u, v elementos de un grupo, escribimos uv = v −1 uv. Muestra que ha, b : ab ba , (b−1 a2 )2 i ∼ = hx, y : x2 , y 3 i. 29. Calcula el grupo ha, b, c : a3 = 1, b2 = 1, c2 = 1, (ab)2 = 1, (bc)2 = 1, [a, c] = 1i. 30. Calcula el grupo ha, b, c, d : ab = c, bc = d, cd = a, da = bi. 31. Calcula el grupo ha, b, c, d, f, g : ab = d, bc = f, cd = g, df = a, f g = b, ga = ci. 4 32. Para x, y, z elementos de un grupo se cumple [[x, y], z x ] · [[z, x], y z ] · [[y, z], xy ] = 1. Muestra que ha, b, c : [a, b] = c, [b, c] = a, [c, a] = bi ∼ = 1. 33. Zd ∼ = hx, y : xs y t = 1, xu y v = 1, [x, y] = 1i, si d = |sv − tu| 6= 0 y mcd{s, t, u, v} = 1. 34. Sea ϕ : hs1 , s2 : s41 = 1, s42 = 1, (s1 s2 )2 = 1i → Z4 dado por si 7→ 1̄. Muestra que ϕ es homomorfismo y que Ker(ϕ) ∼ = Z ⊕ Z. 35. Prueba ht, u, x : t−1 u−1 tu = 1, x−1 txt = 1, x−1 uxu = 1, x2 = 1i ∼ = 2 2 2 2 ha, b, c : a = 1, b = 1, c = 1, (abc) = 1i. Este grupo tiene un subgrupo de ı́ndice 2 isomorfo a Z ⊕ Z. 36. Sea F un grupo libre y X, Y ⊂ F . Si X y Y son bases de F , entonces #(X) = #(Y ). Sugerencia: Abelianiza. 37. Sea S3 el grupo simétrico en tres sı́mbolos. Entonces S3 ∼ = ha, b : a2 = 2 3 1, b = 1, (ab) = 1i. Sugerencia: a 7→ (1 2), b 7→ (1 3). 38. Sea Q = {±1, ±i, ±j, ±k} el grupo multiplicativo de los cuaternios. Entonces Q ∼ = ha, b : ab = b−1 a, ba = a−1 bi. Sugerencia: a 7→ i, b 7→ j. ε k 39. Sea D el grupo diédrico de orden 2n, D = { | ε = ±1, k ∈ Zn } 0 1 bajo la multiplicación. Entonces D∼ : an = 1, b2 = 1, ba = a−1 bi. = ha, b 1 1 −1 0 Sugerencia: a 7→ , b 7→ . 0 1 0 1 40. El grupo ha, b, c : a3 = 1, b2 = 1, ba = a2 b, c = 1, ac = ca, bc = cbi tiene orden 12. 41. Sea A4 el grupo alternante en cuatro sı́mbolos. Entonces A4 ∼ = ha, b : 3 2 3 a = 1, b = 1, (ab) = 1i. Sugerencia: a 7→ (2 3 4), b 7→ (1 2)(3 4). 42. S4 ∼ = ha, b : a3 = 1, b4 = 1, (ab)2 = 1i. Sugerencia: a 7→ (2 3 4), b 7→ (1 3 2 4). 43. ha, b : a15 = 1, b4 = 1, ab = ba12 i ∼ = ha, b : a20 = 1, b4 = 1, ab = ba2 i. Sugerencia: b−1 ab = a12 ⇒ b−1 a5 b = 1; luego a5 = 1. También b−1 ab = a2 ∧ b4 = 1 ⇒ b−4 ab4 = a16 ; luego a15 = 1. 5 44. Sean r, s y t enteros y sea d = m.c.d.{r, ts − 1}. Entonces ha, b : ar = 1, bs = 1, ab = bat i ∼ = ha, b : ad = 1, bs = 1, ab = bat i. Sugerencia: s s bs = 1 ∧ b−1 ab = at ⇒ b−s abs = at ; luego at −1 = 1. 6