Práctica 5 Especificación con tipos compuestos

Práctica 5
Especificación con tipos compuestos
Algoritmos y Estructuras de Datos I
Primer Cuatrimestre 2007
1.
Tipo Racional
Sea el tipo de datos compuesto Racional que representa los números racionales.
tipo Racional{
observador numerador(t : Racional) : Z
observador denominador(t : Racional) : Z
invariante denominador(r) 6= 0
invariante mcd(denominador(r), numerador(r)) == 1
aux mcd(a, b : Z) : Z = max[i|i ← Z, a mod i == 0, b mod i == 0]
}
;
Ejercicio 1. ¿Es correcta la siguiente especificación para el producto entre dos números racionales
r1 y r2 ?
problema producto(r1 , r2 : Racional) = res : Racional{
asegura : denominador(res) = denominador(r1 ) ∗ denominador(r2 );
asegura : numerador(res) = numerador(r1 ) ∗ numerador(r2 );
}
Ejercicio 2. Especificar las siguientes operaciones:
1. problema nuevoRac(r1 , r2 : Z) = res : Racional que dados dos enteros, obtiene el racional
a
b.
2. problema menor(r1 , r2 : Racional) = res : Racional, que devuelve verdadero si y sólo si r1 es
menor que r2 .
3. problema suma(r1 , r2 : Racional) = res : Racional, que devuelve la suma de r1 y r2 .
4. problema representacionEntera(r : Racional) = res : Z, que devuelve, en caso de que sea
posible, el número entero equivalente a r.
2.
Tipo Conjunto
Sea el tipo de datos compuesto ConjuntohT i, que representa a los conjuntos de elementos de
tipo T . Suponer que un conjunto nunca es infinito (esta propiedad serı́a parte del invariante si
nuestro lenguaje nos permitiera escribirlo).
tipo ConjuntohT i{
observador e ∈ C(e : T, C : ConjuntohT i) : Bool
Devuelve True sii el elemento e está en el conjunto C
}
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Ejercicio 3. Especificar las siguientes operaciones sobre conjuntos:
1. problema vacio() = result : ConjuntohT i, que devuelve el conjunto vacı́o.
2. problema pertenece(e : T, C : ConjuntohT i) = result : Bool, que dado un elemento indica si el
mismo pertenece al conjunto.
3. problema agregar(e : T, C : ConjuntohT i) = result : ConjuntohT i, que devuelve el conjunto
que resulta de agregarle a C el elemento e.
4. problema sacar(e : T, C : ConjuntohT i) = result : ConjuntohT i, que devuelve el conjunto que
resulta de sacarle a C el elemento e.
5. problema cantidad(C : ConjuntohT i) = result : Z, que dado un conjunto devuelve su cardinal.
6. problema incluido(C1 , C2 : ConjuntohT i) = result : Bool, que decide si C1 está incluido en C2 .
7. problema union(C1 , C2 : ConjuntohT i) = result : ConjuntohT i, que devuelve la unión de C1 y
C2 .
8. problema interseccion(C1 , C2 : ConjuntohT i) = result : ConjuntohT i, que devuelve la intersección de C1 y C2 .
9. problema diferencia(C1 , C2 : ConjuntohT i) = result : ConjuntohT i, que devuelve la diferencia
entre C1 y C2 .
10. problema tomarUno(C : ConjuntohT i) = result : T , que toma un conjunto no vacı́o, le saca
un elemento cualquiera y lo devuelve.
Ejercicio 4. Dado C : ConjuntohZi, especificar los siguientes problemas:
1. Obtener el máximo de C.
2. Obtener el producto de todos los elementos pares de C.
3. Obtener el conjunto formado por todos los números primos que pertenezcan a C.
4. Obtener el conjunto de enteros que dupliquen los de C. Por ejemplo, si C = {2, 1, 3}, devolver
{4, 2, 6}.
5. Obtener el conjunto C 0 tal que el n-ésimo primo pertenece a C 0 sii n pertenece a C.
6. Obtener el conjunto C 0 : ConjuntohRacionali que se obtiene dividiendo por 2 a todos los
elementos de C.
7. Obtener algún subconjunto maximal de C que tenga todos sus elementos consecutivos. Por
ejemplo, si C = {6, 2, 10, 7, 5, 11} entonces result = {5, 6, 7} o result = {10, 11}.
8. Obtener el conjunto P : ConjuntohConjuntohZii, tal que P sea el conjunto de partes de C.
3.
Tipo Vector
tipo Vector{
observador abscisa(t : V ector) : R
observador ordenada(t : V ector) : R
}
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Ejercicio 5. Sobre este tipo, especificar las siguientes operaciones:
1. problema igualX(v1 , v2 : Vector) = result : Bool, que devuelve True sii v1 y v2 tienen la misma
componente x.
2. problema igualY(v1 , v2 : Vector) = result : Bool, que devuelve True sii v1 y v2 tienen la misma
componente y.
3. problema colineales(v1 , v2 : Vector) = result : Bool, que devuelve True sii v1 y v2 son linealmente dependientes.
4. problema módulo(v : Vector) = result : R, que devuelve el módulo de v.
5. problema productoEscalar(v1 , v2 : Vector) = result : R.
6. problema todosColineales(V : ConjuntohVectori) = result : Bool, que dice si todos los vectores
del conjunto son colineales tomados de a pares.
7. problema resultante(V : ConjuntohVectori) = result : Vector, que calcula la resultante entre
todos los vectores del conjunto.
8. problema primerCuadrante(V : ConjuntohVectori) = result : ConjuntohVectori, que devuelve
un conjunto con todos los vectores de V que están en el primer cuadrante.
9. problema equilibrio(V : ConjuntohVectori) = result : Bool, que indica si la resultante entre
todos los vectores del conjunto es cero.
4.
Tipo Pirámide
Ejercicio 6. Sea el tipo Piramide definido de la siguiente forma:
tipo Piramide{
observador altura(Piramide) : Z
Devuelve un entero no negativo que indica la altura de una pirámide.
observador valor(p : Piramide, f : Z, c : Z) : Z{
Permite saber el valor en una casilla de fila f y columna c.
requiere : 1 ≤ c ≤ f ≤ altura(p);
}
invariante altura(p) ≥ 0
}
Ejemplos de Pirámides y sus observadores son:
P1
P2
altura(P1 ) = 4
valor(P1 , 1, 1) = 11
valor(P2 , 3, 2) = 9
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Especificar los siguientes problemas sobre el tipo Piramide:
1. problema todosIguales(P : Piramide) = result : Bool, que es True si todos los elementos de la
pirámide son iguales.
2. problema esAscendente(P : Piramide) = result : Bool, que devuelve True sii los valores de
todas las casillas que se encuentran en un piso son menores que aquellos que se encuentran
en las casillas de los pisos que están más abajo.
3. problema sumarTodos(P : Piramide) = result : Z, que devuelve la suma de los valores de todas
las casillas de P .
4. problema mayoresQueN(P : Piramide, n : Z) = result : ConjuntohZi, que dada P y un entero
n, devuelve el conjunto de los valores de las casillas de P que son mayores que n.
5. problema subpiramides(P : Piramide, n : Z) = result : ConjuntohPiramidei, que dada una
pirámide P y un entero n positivo y menor que la altura de P , devuelva un conjunto con
todas las subpirámides de P de altura n.
6. Un camino en una pirámide P es una secuencia de al menos 2 y a lo sumo altura(P ) casillas
válidas distintas, tal que en cada par de casillas consecutivas en la secuencia, la primera
está apoyada sobre la segunda. Las casillas las representaremos como pares ordenados: (fila,
columna). Por ejemplo, tanto en P1 como en P2 , [(1, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 3)] y [(2, 1), (3, 2)] son
caminos. Especificar el problema hayCaminoDeIguales(P : Piramide, n : Z) = result : Bool,
que devuelve True sii P tiene un camino de longitud n en el que todos sus elementos tienen
el mismo valor (n debe ser una longitud posible para un camino en P ).
7. Se dice que una pirámide está bien formada cuando el valor de cada celda es igual a la suma
de las dos celdas inferiores (si es que existen). Es decir, cuando en todas sus celdas se verifica:
Por ejemplo, P1 no está bien formada porque valor(P1 , 1, 1) 6= valor(P1 , 2, 1) + valor(P1 , 2, 2).
En cambio, P2 está bien formada.
Se pide especificar: problema bienFormada(P : Pir0 amide) = result : Bool, que indique si P
está bien formada.
5.
Trenes y Terminales
Se cuenta con el tipo enumerado TipoVagon = hLocomotora, Pasajero, Cargai y con el tipo
compuesto Vagon:
tipo Vagon{
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observador tipo(v : V agon) : T ipoV agon
observador peso(v : V agon) : Z
observador carga(v : V agon) : Z{
requiere : tipo(v) 6= Locomotora;
}
observador potencia(v : V agon) : Z{
requiere : tipo(v) == Locomotora;
}
invariante peso(v) > 0
invariante carga(v) > 0
invariante potencia(v) > 0
}
Un vagón puede ser una locomotora, un coche de pasajeros o un vagón de carga. Todos los vagones
tienen peso (en Toneladas). Una locomotora tiene una determinada potencia que se refleja en la
cantidad de Toneladas que puede arrastrar. La carga en un coche de pasajeros es la cantidad
máxima de pasajeros que puede transportar, mientras que en uno de carga, representa el tonelaje
máximo que puede cargar.
También tenemos el tipo Tren que es un sinónimo de [Vagon]. En un tren pueden aparecer
más de una locomotora y no necesariamente encabezando el convoy. Por último, se tiene el tipo
compuesto Terminal:
tipo Terminal{
observador cantA(t : Terminal) : Z
Devuelve la cantidad de andenes
observador longA(t : Terminal) : Z
Devuelve la cantidad máxima de vagones por andén
observador iesimoTren(i : Z, t : Terminal) : Tren{
requiere : 0 ≤ i < cantA(t);
}
Devuelve el tren en el i-ésimo andén
invariante cantA(t) > 0
invariante longA > 0
invariante V agonesN oDemasiadoLargos(t)
}
Notar que si en un andén hay un tren de longitud cero, significa que el andén está vacı́o.
Ejercicio 7. Sobre el tipo Terminal especificar el invariante VagonesNoDemasiadoLargos(t), que
indica que en la terminal no hay vagones más largos que la longitud del anden.
Ejercicio 8. Especificar los siguientes problemas:
1. problema cabeEn(t, u : Tren) = result : Bool donde t y u son trenes conformados por vagones
del tipo Carga. Devuelve True en caso de que el tren t tenga menor carga que el tren u.
2. Dado un tren, decidir si el tren se puede mover. Para que un tren se mueva, la suma de las
potencias de las locomotoras tiene que ser mayor o igual a la suma de los pesos de todos los
vagones suponiendo que todas las personas pesan 80kg.
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