Los laberintos - Uruguay Educa

Los laberintos
Este artículo fue escrito por el gran divulgador de las matemáticas: Martín Gardner.
Actualmente se encuentra publicado en su libro "Nuevos Rompecabezas Mentales".
Por respeto al autor, el artículo se presenta completo.
"Cuando el joven Teseo penetró al laberinto de Creta en Cnosos, en busca del terrible
minotauro se desenredó el ovillo de seda que le proporcionó Ariadna para no perderse al
volver. Los laberintos arquitectónicos de esta clase, edificios con intrincados pasadizos
diseñados para desconcertar a los no iniciados, eran frecuentes en el mundo antiguo.
Herodoto describe un laberinto egipcio que tenía tres mil cámaras. Las monedas de Cnosos
llevaban grabado un laberinto sencillo, y modelos de laberintos más complicados
aparecieron en las aceras romanas y en las túnicas de los antiguos emperadores romanos.
Durante la Edad Media, los muros y el piso de muchas catedrales en la Europa continental
fueron decorados con diseños similares.
En Inglaterra el más famoso laberinto arquitectónico fue el del laberinto para Rosamunda.
En los relatos se cuenta que fue construido en un parque de Woodstock en el siglo XII por
el Rey Enrique II, que buscaba esconder a su amante, Rosamunda la Bella, de su esposa
Leonor de Aquitania. Usando la técnica del hilo de Ariadna, dice la leyenda, Leonor
encontró la manera de llegar al centro del laberinto, donde forzó a la infeliz Rosamunda a
beber veneno. La leyenda captó el interés de muchos escritores, entre los que destacan
Joseph Addison quien escribió una ópera sobre el tema, y Algernon Charles Swinburne,
cuyo poema dramático "Rosamunda" es quizás la versión literaria más conmovedora.
Aunque parezca mentira, la costumbre continental de decorar el interior de una catedral con
mosaicos de laberintos no fue adoptada en Inglaterra.
Era una práctica inglesa muy común, sin embargo, hacer laberintos en el prado afuera de la
iglesia, que eran atravesados como parte de un ritual religioso. Estos, "extraños laberintos
en el caprichoso césped", como Shakespeare le llamó, florecieron en Inglaterra hasta el
siglo XVIII. Los laberintos hechos en jardines, elaborados con altos setos y con el
propósito único de divertir, eran la moda hacia el final del Renacimiento.
En Inglaterra, el más popular de estos laberintos hechos con setos, a través del cual los
turistas confundidos aún serpentean buscando el camino, fue diseñado en 1690 para el
palacio de Justicia de Hampton de Guillermo de Orange. El plano del laberinto que existe
actualmente es el siguiente:
El único laberinto de setos de importancia histórica en los Estados Unidos fue construido a
principios del siglo XIX por los "Harmonistas", una secta protestante alemana que se
estableció en Harmony, Indiana. El laberinto de Harmony, como los dos de las iglesias
medievales, simboliza el serpentear de la serpiente del pecado y la dificultad de mantenerse
en el camino verdadero.
Desde el punto de vista matemático, un laberinto es un problema de topología. Si su plano
se dibuja en una lámina de hule, el camino correcto desde la entrada hasta la salida es
topológicamente invariante y se mantiene correcto no importa cuánto se deforme el hule. El
laberinto se puede resolver rápidamente en un papel cuando se sombrean todos los
callejones sin salida hasta que sólo queden las rutas directas.
Pero cuando uno se enfrenta, como la reina Leonor, con la tarea de desenredar un hilo para
penetrar al laberinto cuyo mapa no poseemos, es una cuestión diferente. Si el laberinto tiene
una entrada, y el objetivo es encontrar el camino a la única salida, siempre puede resolverse
el problema colocando la mano contra el muro de la derecha (o el de la izquierda) y
manteniéndola ahí conforme se camina. Es seguro que se encontrará la salida, a pesar de
que la ruta, con mucha probabilidad, no será la más corta. Este procedimiento también
funciona en el laberinto tradicional, en el que la meta está en el interior, pero partiendo de
la consideración de que no hay ruta por la que se pueda caminar alrededor de la meta y
regresar a donde se empezó. Si la meta está rodeada por uno o más de estos circuitos
cerrados, el método de la mano en la pared con seguridad lo llevará por la ruta más larga y
lo sacará del laberinto; nunca podrá llevarlo a la "isla" dentro del circuito.
A los laberintos que no contienen circuitos cerrados, tales como el laberinto que se muestra
en el siguiente dibujo, los topólogos los llaman "simplemente conectados". Esto equivale a
decir que el laberinto no tiene muros separados. Los laberintos con muros separados sí
contienen circuitos cerrados, y se les conoce como laberintos de "conexiones múltiples"; un
ejemplo es el siguiente laberinto.
La técnica de la mano en la pared, que se usa sólo para laberintos "simplemente
conectados", lo llevará una sola vez en cada dirección a lo largo de cada sendero, así que
esté seguro que en algún momento dentro de la ruta, encontrará la salida.
¿Existe un procedimiento mecánico -un algoritmo, para usar un término matemático- que
solucione los laberintos, incluyendo los que están conectados en forma múltiple, con
circuitos cerrados que rodean la meta? Lo hay, y su mejor formulación se da en el libro de
Edouard Lucas "Recréations mathématiques" (volumen 1, 1882). Conforme camina a través
de un laberinto, dibuje una línea en un costado del camino, digamos a la derecha. Cuando
llegue a una nueva unión de caminos, tome el que desee. Si al caminar a lo largo de un
sendero, regresa a una unión que previamente ha visitado, o llega a un callejón sin salida,
dé la vuelta y regrese por donde llegó. Si al caminar a lo largo de un camino anterior, ya
recorrido (un camino marcado sobre la izquierda), llega a una unión ya visitada, tome un
nuevo camino, si uno está disponible; de otra manera tome uno de los viejos caminos.
Nunca entre a un camino que esté marcado por ambos lados.
En el laberinto de conexiones múltiples que se mostró anteriormente hay dos circuitos
cerrados que rodean la celda central. Si el lector aplica el algoritmo que acabamos de
explicar, usando un lápiz rojo para marcar el camino, descubrirá que en verdad lo llevará al
centro y de regreso a la entrada después de pasar dos veces (una en cada dirección) a través
de cada tramo del laberinto. Mejor aún, si usted deja de marcar los caminos una vez que
llegó a la meta, tendrá registrada automáticamente una ruta directa de la entrada a la meta.
Simplemente siga el camino marcado con un solo rastro.
Para los lectores interesados en probar esta técnica en un laberinto más difícil, el siguiente
dibujo le muestra el plano de un laberinto con conexiones múltiples que el matemático
británico W.W. Rouse Ball había trazado en su jardín. La meta es el punto negro en el
interior.
Los adultos de hoy en día ya no se entretienen con tales acertijos, pero hay dos campos
dentro de la ciencia en los que el interés por los laberintos permanece: la psicología y el
diseño de computadoras. Los psicólogos han usado laberintos desde hace varias décadas
para estudiar el comportamiento de aprendizaje en el hombre y en los animales. Aún al más
inferior de los gusanos se le puede enseñar a recorrer el laberinto de un tenedor, y la
hormiga puede aprender laberintos hasta con diez puntos de elección. Para los diseñadores
de computadoras, los robots que manejan laberintos son parte de un emocionante programa
para construir máquinas que, como los animales, saquen provecho de su experiencia.
Uno de los más antiguos de estos pintorescos instrumentos es Teseo, el famoso ratón robot
para resolver laberintos inventado por Claude E. Shannon, ahora en el Instituto Tecnológico
de Massachussets. El ratón hace su camino sistemáticamente a través de un laberinto
desconocido, que puede ser de conexiones múltiples, usando una variación del algoritmo
antes expuesto. Cuando el ratón llega a la unión en la que debe elegir, no lo hace al azar,
como un hombre lo haría, sino que siempre toma el sendero más cercano a un cierto lado.
"Esto es bastante difícil para máquinas de solución de problemas que contienen elementos
aleatorios", explica Shannon. "Es difícil decir cuando está fallando la máquina si usted no
puede predecir lo que ésta debería hacer".
Una vez que el ratón ha encontrado su camino hacia la meta, los circuitos de la memoria le
permiten recorrer el laberinto una segunda vez sin error. Un verdadero ratón es mucho más
lento para aprender un laberinto, porque su técnica de exploración es en gran medida (pero
no por completo) de prueba y error al azar, y necesita lograr muchos éxitos antes de
memorizar el camino correcto.
Las máquinas de aprendizaje del futuro adquirirán enormes poderes y jugarán papeles
insospechados en las máquinas automáticas de la era espacial. Laberintos y vuelos
espaciales; la combinación nos lleva de regreso al mito griego mencionado al inicio del
artículo. El laberinto del Minotauro fue construido para el rey Minos por Dédalo, quien
inventó un par de alas mecánicas y cuyo hijo pereció por volar muy cerca del sol.
"Un laberinto tan astutamente tramado no fue jamás visto en el mundo, ni antes ni
después", escribe Nathaniel Hawthorne en su libro "Cuentos de laberintos", en el que relata
la historia. "No puede haber nada más intrincado, excepto quizá que el cerebro de un
hombre como Dédalo, que lo planeó, o el corazón de cualquier hombre común..."