CONTINUIDAD (CONTINUITY) Decimos que una función es continua en x = c cuando no hay interrupción en la gráfica de f en c. Su gráfica no aparece con huecos en c o saltos. Esto es, una función es continua en todo lugar si su gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. A function is continuous at x = c when there is No anomalies on the graph of f at c. The graphs should not have “jumps or holes”. This is, a function is continuous everywhere if you could draw the graph without having to lift the pencil. Ejemplos: (Examples) Continua/Continuous Continua/Continuous No es continua en x = 1/Not continuous at x = 1 Definición: Una función es continua en c si satisface las siguientes condiciones: (Definition:A function is continuous at c if it satisfies the following conditions:) i) f(c) está definida (f(c) is defined) ii) El límite existe (The limit exists) : lim 𝑓(𝑥) iii) lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 Una función es continua en un intervalo (a,b) si es continua en cada punto del intervalo/ A function is continuous in the interval (a,b) if it is continuous at every point in the interval. Ejemplo para discusión: Determina si f(x) = x2 es continua para c = 3./ Example for dicussion: Determine if f(x) = x2 is continuous at c=3. Teorema: Una función polinómica es continua en Theorem: A polynomial function is continuous for all real numbers. todo número real. La función f(x) = x2 es una función polinómica, por tanto es continua para c = 3 y para cualquier otro número real. The function f(x) = x2 is a polynomial function, therefore it is continuous at c = 3 and at every real number. Teorema: Una función racional es continua en todos los números reales de su dominio. Theorem: A rational function is continuous for all real numbers in its domain. ¿Para qué valores la función f(x) es continua? (At what values is f(x) continuous?) Nota: En aquellos puntos en los que el denominador de una función racional es cero, la función no está definida y por tanto, no es continua; en todos los demás puntos las funciones racionales son continuas. Note: At those points where the denominator of the rational function is zero, the function is No defined, therefore, it is Not continuous. At all other points rational functions are continuous. Ejemplos para discusión: Examples to discuss: 1) Determina para qué valores la función f(x) = x es continua. (Determine for what values f(x) = x| is continuous) 2) Determina la continuidad de la función f(x) Determine if the following function is continuous at c=2 3) Determina la continuidad de la función f(x) en c=2 Determine if the following function is continuous at c=2 4) Discute la continuidad de la función: (Discuss the continuity of the function:) 5) Determina la continuidad de la función f(x) en c=2 Determine if the following function is continuous at c=2 6) Determina la continuidad de la función f(x) en c=2 Determine if the following function is continuous at c=2 Propiedades de las funciones continuas Properties of continuous functions Si f y g son funciones continuas, entonces las siguientes funciones también son continuas en c: If f and g are continuous functions, then the following functinos derived from f and g are also continuous at c: i) f g ii) af, (a constante arbitraria/ a arbitrary constant) iii) fg v) f(g(x)) , supuesto que f es continua en g(c) / as long as f is continuous at g(c) Una función es discontinua en c si no es continua en c. Las discontinuidades se clasifican en: evitables y no evitables. Una discontinuidad en x = c es evitable si f se puede redefinir en x = c. A function is discontinuous at c if it is not continuous at c. Discontinuities are classified as removable and nonremovable discontinuity. Ejemplo para discusión: Halla las discontinuidades (si las hay) de cada función dada. Determina cuáles son evitables y cuáles no son evitables. Example for discussion: find the disconuities of each function (if they exist). Determine which are removable or nonremovable. Ejercicio de práctica: Practice Exercise: 1) ¿Es la función continua para x 4 ? Is the function continuous for x 4? 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4 2) ¿Es la función continua en el intervalo [-2,2]? Is the function continuous at the interval [ – 2 ,2] ? 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 2 3) ¿Es f(x) = sen (x) continua en el intervalo (0,2)? Is f(x) = sen (x) continuous in the interval (0,2)? 4) Halla todos los valores en los que la función es contínua: Find all values where the function is continuous. 𝑓(𝑥) = 3𝑥−5 2𝑥 2 −𝑥−3 5) Halla las discontinuidades en las siguientes funciones e indica si son o no evitables. Find the discontinuities of the following functions and classify as removable or nonremovable. 6) Determina si la función es continua para c=2 Determine if the function is continuous at c=2. Dibuja la gráfica para verificar tu respuesta. Draw the graph and verify your answer. Tema: Derivabilidad y Continuidad (Differentiability and Continuity) Decimos que una función f es derivable en x = c si existe: We say that the function f is differentiable at x = c if the following exists: 𝑓(𝑥 + 𝑐) − 𝑓(𝑐) 𝑥→𝑐 𝑥−𝑐 lim El próximo teorema muestra que la “diferenciación” implica “continuidad” (El converso No es cierto) The next theorem shows that “differentiability” implies “continuity”. (The converse is Not true) Teorema: Si f es derivable en x = c, entonces f es continua en x = c. Theorem: Let f be differentiable at x=c, then f is continuous at x = c. Veamos tres ejemplos importantes: Let’s see three important examples: 1) Considera la función (Consider the function) f(x) = x. Esta función es continua para x = 0, observa que: This function is continuous at x=0, note that: i) La función está definida para cero, (the function is defined at zero): f(0) = 0 = 0. ii) El límite existe. The limit exists. lim |𝑥| = 0 iii) 𝑓(0) = lim |𝑥| = 0 𝑥→0 𝑥→0 Por tanto, la función f(x) = x es continua para c = 0. Therefore the function f(x) = x is continuous at c = 0, También podemos observar que gráficamente esta función es continua. We can also obser that the function is continuous from the graph. Ahora, Nonetheless y Los límites laterales (por la izquierda y por la derecha) no son iguales. Por lo tanto, el límite del cociente diferencial no existe. Es decir, f(x) = x no es derivable en x = 0 pues los límites laterales no son iguales. Esta función es derivable en todo punto excepto en x = 0. The lateral limits (left and right) are Not equal. Therefore, the limit of the differential quotient does not exist. Then f(x) = |x| is not differentiable at x=0, because the lateral limits are not the same. This function is differentiable at all points except x=0. Nota: Una función puede ser continua pero no derivable en un punto. Note: A function can be continuous but Not differentiable at a point. 2) Considera la función con asíntota x = 0: Consider the function with asymptote x = 0: Esta función es discontinua en x = 0, puesto que no está definida para x = 0. Se sabe que: (This function is discontinuous at x=0, because it is Not defined at 0. We know that:) y De manera que la función, 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 no es derivable en x = 0 y la función es discontinua en ese punto (pues existe una asíntota vertical en x = 0). (Therefore the function 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 is not differentiable at x=0, and is discontinuous at this point because there is a vertical asymptote at x=0) Nota: La discontinuidad de una función es suficiente para que la función no sea derivable. La continuidad no es suficiente para garantizar la derivabilidad, pero por otro lado la descontinuidad basta para destruirla. Note: The discontinuity of the function is sufficient to know that the function is Not differentiable. Although the continuity of the function is Not enough to guarantee that it is differentiable, on the other hand a discontinuity is enough to eliminate differentiability. 3)Sea Let El límite en x = 0 no existe puesto que f no es continua en x = 0. The limit at x=0 does not exist because f is not continuous at x=0. Este ejemplo sugiere que si una función no es continua entonces no es derivable. This example suggests that if a function is not continuous then it is not differentiable. ¿Cuándo una función no es derivable en x = c? When is a function not differentiacle at x=c? 1) En un pico, donde el límite por la izquierda y por la derecha no coinciden. When there is a Sharp peak, where the left and right limits are Not the same. Ejemplo: f(x) = x, los límites laterales no son iguales cuando x = 0. Example: f(x) = |x|, the lateral limits are not equal when x = 0. 2) Funciones que tienen una tangente vertical. La discontinuidad de una función en un punto es suficiente para que la función no sea derivable. Functions that have a vertical tangent. The discontinuity of a function at a point is enough for the function not be differentiable. Example: 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 has a vertical asymptote at x=0. 3) Funciones donde hay interrupciones, esto es, que no son continuas. Functions with disruptions, that is, Not continuous Nota: Si f es derivable entonces f es continua. Pero si f es continua no necesariamente es derivable. Note: If f is differentiable then f is continuous. But if f is continuous, it is Not necessary differentiable. ¿Qué funciones son derivables? What functions are differentiable? Las funciones polinómicas, funciones racionales y funciones trigonométricas. La composición de funciones derivables son derivables. Polynomial, rational, and trigonometric functions are differentiable. The composition of these is differentiable. Ejercicio de práctica: Practice exercises: 1) Determina si las siguientes funciones son derivables: Determine if the following functions are differentiable. 2) Demuestra que la función no es derivable en x=0. Show that the function is not differentiable at x=0. (Sugerencia: Utiliza la definición de derivable y dibuja la gráfica. Suggestion: Use the definition of the differentiale and draw the graph)