CICLO DE NIVELACIÓN CICLO DE NIVELACIÓN

CICLO DE NIVELACIÓN
2015
ÁREA MATEMÁTICA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
NORMAS DE CÁTEDRA
CICLO DE NIVELACIÓN - ÁREA DE MATEMÁTICA
Carreras
Contador Público – Licenciado en Administración de Empresas –
Licenciado en Economía Facultad de Ciencias Económicas – Universidad Nacional de Misiones
Equipo docente
Coordinación Área Matemática: Ing. Nora Marrone.
Equipo Docente:
Ing. Nora Sosa
CP Ernesto Krausemann
Prof. Norma Nuñez
Prof. Lucas Domínguez
Prof. Claudia Lagraña
Objetivos generales
Ofrecer a los alumnos/as ingresantes experiencias de aprendizajes que faciliten su
inserción en las carreras elegidas.
Fortalecer los saberes alcanzados en otros niveles de la enseñanza de acuerdo a las
exigencias de los estudios superiores.
Relacionar los conceptos de las Unidades que conforman el Programa de Área
Matemática para un uso flexible frente a situaciones problemáticas.
Favorecer la práctica funciones intelectuales básicas tales como: análisis, síntesis,
analogía, inferencia, clasificación, comparación, entre otras.
Promover actitudes cooperativas, solidarias y participativas.
Objetivos específicos
Revisar los conceptos fundamentales relativos a los números reales y sus
propiedades.
Operar con procedimientos algebraicos que permitan profundizar en modelos
matemáticos sencillos.
Favorecer el razonamiento deductivo y aplicarlo en la resolución de problemas.
Contenidos del Área Matemática
Unidad I: Campos numéricos
Revisión de los campos numéricos. Operaciones en R. Propiedades. Orden en R.
Números Complejos. Suma y producto. Propiedades. Resolución de ecuaciones.
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1
Unidad II: Funciones Polinómicas
Función polinómica. Forma general. Grado. Análisis de gráficos. Intersecciones con
los ejes coordenados. Función polinómica de primer grado. Operaciones con
polinomios. Divisibilidad de polinomios: Teorema del resto y Teorema del factor.
Factoreo. Función polinómica de segundo grado. Gráficos. Simplificación de
expresiones racionales. Resolución de ecuaciones.
Unidad III: Análisis de relaciones numéricas y funcionales.
Descripción del comportamiento de relaciones funcionales de acuerdo a las
operaciones involucradas. Relaciones de proporcionalidad directa e inversa.
Porcentaje: cálculo y estimación. Problemas de aplicación a las Ciencias Económicas
Metodología de trabajo
Se llevarán a cabo 8 encuentros presenciales de cuatro horas reloj cada uno, durante
los meses de febrero y marzo. Al finalizar este ciclo se realizará una evaluación
general con su respectivo recuperatorio.
Las actividades presenciales se desarrollan bajo la modalidad de aula taller. Se
trabajará con el apoyo de la Guía de trabajos Prácticos, y en actividades propuestas
por los docentes y los alumnos/as. Para quienes así lo deseen, la Cátedra ofrece
clases de consulta presenciales, en horarios a convenir.
La guía de trabajos prácticos se encuentra disponible para su impresión en la sección
"Documentos y Enlaces” del Aula Virtual
Además de las actividades presenciales se trabajará en forma virtual, a través de
ejercicios, autoevaluaciones, foros, sesiones de chat, entre otros
Evaluación
Al finalizar el período de cursado se prevé una evaluación con opción a recuperatorio.
En función de los resultados los alumnos/as quedan en condición de Promocionados
o Libres.
Los alumnos/as en condición de libres rinden evaluación final teórico-práctica de los
contenidos desarrollados en el ciclo de nivelación, en las mesas examinadoras según
el calendario académico correspondiente al año en curso.
Condiciones de Alumno/a Promocional
Para promocionar la asignatura el alumno/a debe aprobar la evaluación final con una
calificación no inferior a 6 (seis), con opción a un recuperatorio por ausencia o por no
haber alcanzado la nota mínima, en sentido excluyente.
Bibliografía
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2
• Textos de la escuela secundaria
• Bello, I. (1999). Álgebra Elemental. Mexico: Thompson Editores.(*)
• Carnelli G, F. M. (2007). Matemática para el aprestamiento Universitario. Los
Polvorines: Universidad Nacional General Sarmiento.
• Kaseberg, A. (2000). Álgebra Elemental. Un enfoque justo a tiempo. Thompson
Editores. 2000, México) (*)
• Livigni, E. (2004). Matemática preuniversitaria. Trelew, Argentina: Ed.
U.N.P.S.J.Bosco.
• Musomecci F, H. H. (2004). Matemática para ingresantes a la Universidad.
Tucumán. Argentina. Ed. UNSTA.
(*) Ejemplares disponibles en la biblioteca de la Facultad de Ciencias Económicas.
Webgrafía
• Programa de Matemática Aplicada. Consulta: 05/10/2012
http://www.fce.unam.edu.ar/aulavirtual/claroline/course/index.php?cid=PMA
• Algebra con papas Consulta: 27/08/2013
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~29700989/departamentos/departament
os/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/
• Descartes. Consulta: 11/12/2012
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/25/11/2014
• Guía básica del uso del aula virtual Claroline. Consulta: 16/08/2012
http://av.ricaldone.edu.sv/claroline/manual.pdf
• Curso de Matemática Remediadora – Material interactivo. Consulta: 25/11/2014
http://quiz.uprm.edu/remediadora/
• http://arquimedes.matem.unam.mx/descartes.org.mx/descartes/web/materiales
_didacticos/EDAD_2eso_expresiones_algebraicas/index_2quincena5.htm
Consulta: 28/10/2014
• http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/3_ESO/Expresiones%20algebraicas.pdf
Consulta: 09/10/2014
• http://www.vitutor.com/ab/p/a_6.html
Consulta: 05/10/2014
Aula Virtual
Toda las actividades previstas serán publicadas en el Aula Virtual. Para entrar en el
aula virtual debes crear una cuenta de usuario en la plataforma de la Facultad (Paso
1) y luego inscribirte en el curso de Área Matemática (Paso 2)
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Para más información consultar por mail a la coordinadora Ing. Nora B. Marrone:
marrone@fce.unam.edu.ar o en forma presencial en horarios de consulta en el
Departamento de Matemática (subsuelo edificio central)
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4
INDICE
UNIDAD I - CAMPOS NUMÉRICOS ..................................................................................2
Sistema de los números reales.............................................................................................2
Síntesis Teórica ..............................................................................................................2
Números complejos ............................................................................................................8
Trabajo Práctico Nº1.........................................................................................................11
UNIDAD II - FUNCIONES POLINOMIALES ....................................................................24
Operaciones con polinomios .............................................................................................24
Síntesis teórica ..............................................................................................................24
Trabajo Práctico Nº2.........................................................................................................32
UNIDAD III - ANÁLISIS DE RELACIONES NUMÉRICAS Y FUNCIONALES ..............42
Relaciones proporcionales ................................................................................................43
Trabajo Práctico Nº3.........................................................................................................47
EVALUACIONES DE AÑOS ANTERIORES .....................................................................54
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1
UNIDAD I - CAMPOS NUMÉRICOS
SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
SÍNTESIS TEÓRICA
ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN
El conjunto de los números reales R junto con las operaciones de adición y multiplicación se
llama sistema de números reales. Las reglas básicas del álgebra para este sistema nos
permiten expresar hechos matemáticos en formas simples, y resolver ecuaciones para
encontrar respuestas a preguntas matemáticas. Las propiedades básicas del sistema de
números reales con respecto a las operaciones de la adición y la multiplicación están en una
lista en el siguiente recuadro, donde a, b y c representan números reales.
ADICIÓN
MULTIPLICACIÓN
1. Ley de composición interna
(i)
a + b es un número real
(ii) ab es un número real
2. Ley asociativa
(i) a + (b + c) = (a + b) + c
(ii) a(bc) = (ab)c
3. Ley conmutativa
(i) a + b = b + a
(ii) ab = ba
4. Existencia de neutro
El número real 0 es llamado elemento El número real 1 es llamado identidad
neutro, ya que para todo número real a:
multiplicativa, ya que para todo número real
(i) a + 0 = a = 0 + a
a:
5. Existencia de inverso
(ii) a .1 = a = 1.a
Para todo número real a, existe un único
número real (llamado opuesto, o inverso Para todo número real a ≠ 0 , existe un único
aditivo de a), representado
número real (llamado recíproco o inverso
por –a, tal que
multiplicativo de a), representado por 1 / a ,
(i) a + (-a) = 0 = (-a) + a
de tal forma que
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2
(ii) a ⋅
1
1
=1= ⋅a
a
a
6. Propiedad distributiva: (I) a ( b + c ) = ab + ac
(II) ( a + b ) c = ac + bc
Muchas propiedades adicionales pueden derivarse de las básicas como las siguientes:
7. Ley cancelativa
(ii) Si ac = bc y c ≠ 0 , entonces a = b
(i) Si a + c = b + c , entonces a = b
8. Ley de la multiplicación por 0
(i) a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0
(ii) Si a ⋅ b = 0 , entonces a = 0 ó b = 0 (o ambas)
Es posible definir las operaciones de sustracción y división en términos de la adición y de la
multiplicación, respectivamente.
Para los números reales a y b, la diferencia, a – b se define como
a – b = a + (-b).
Si b ≠ 0 , entonces el cociente, a ÷ b se define como
1 a
a ÷ b = a  =  
b b
A continuación presentamos una lista de las propiedades importantes de la sustracción,
relacionadas con negativos y fraccionarios:
9. Propiedades de la sustracción y de los negativos
(i) -(-a) = a
(ii) -(ab) = (-a)b = a(-b)
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3
(iii) -a = (-1)a
(iv) (-a)(-b) = ab
Para todas las fracciones a/b y c/d, donde b ≠ 0 y d ≠ 0 :
10. Fracciones equivalentes
a c
= si y solo si ad = bc
b d
11. Regla de los signos
−
a −a
a
=
=
b
b
−b
12. Cancelativa o de la simplificación
ac a
= , c≠0
bc b
13. Adición y sustracción con común denominador
a c a±c
± =
b b
b
14. Adición y sustracción con distintos denominadores
a c ad ± cb
± =
b d
bd
15. Multiplicación
a c ac
⋅ =
b d bd
16. División
a c a / b a d ad
÷ =
= ⋅ =
b d c / d b c bc
17. División de 0 y división por 0
(i) 0 ÷ b =
0
,b≠0
b
(ii) 0 ÷ 0 =
(iii) a ÷ 0 =
0
0
es indefinido
a
es indefinido, a ≠ 0
0
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4
EXPONENTES
EXPONENTES ENTEROS
Así como el producto es unA forma más conveniente de expresar una suma repetida, los
exponentes nos permiten escribir el producto repetido x ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ x . En general, para cualquier
n
número real x y para cualquier número positivo n, el símbolo x representa el producto de n
factores de x.
n factores
6
4
74
8
x = x ⋅ x ⋅⋅⋅ x
n
A continuación se listan las reglas que permiten combinar potencias, llamadas leyes de los
exponentes:
Leyes de los exponentes
Sean x y y números reales y m y n enteros. Entonces,
m n
(i) x x = x
( )
(ii) x m
n
m+n
= x mn
n
x
xn
(iv)   = n
y
 y
(v)
xm
= x m− n
n
x
(iii) ( xy ) n = x n y n
dado que cada expresión representa un número real.
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Los exponentes enteros con frecuencia se utilizan para escribir números muy grandes o muy
pequeños de una forma conveniente.
Cualquier número real positivo puede escribirse en la forma
a ×10n
donde 1 ≤ a < 10 y n es un entero. Decimos que un número escrito así está en notación
científica. Por ejemplo,
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5
1 .000 .000 = 1 × 10 6
0,0000000537 = 5,37 × 10 −8
RADICALES
En general, las raíces de números reales se definen por el enunciado
n
x = r si y sólo si r n = x
donde x y r son números reales no negativos y n es un entero positivo, o x y r son números
reales negativos y n es un número positivo impar.
Las siguientes propiedades se pueden usar frecuentemente para simplificar expresiones que
contengan radicales.
Leyes de los radicales
Sean x y y números reales y m y n enteros positivos. Entonces,
(i)
( x)
n
(ii)
n
(iii)
n
n
n
=x
(iv)
 x , si n es impar
xn = 
 x , si n es par
(v)
n
x
=
y
mn
n
x
y
x = mn x
x n y = n xy
siempre y cuando los radicales representen números reales.
EXPONENTES RACIONALES
n
El concepto de la raíz enésima de un número nos permite ampliar la definición de x de
exponentes enteros a exponentes racionales; y, como veremos, con frecuencia es más fácil
trabajar con exponentes racionales que con radicales.
Para cualquier número real x y para cualquier entero positivo n, definimos
x1 n = n x ,
dado que
n
x es un número real
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6
Así, definimos
( )
x m / n = x1 / n
m
para cualquier entero m tal que m/n sea la expresión mínima.
A continuación se generalizan las leyes de los exponentes en caso de que éstos sean
números racionales.
Leyes de los exponentes racionales
Sean x y y números reales y r y s números racionales. Entonces,
r s
(i) x x = x
( )
(ii) x
r s
=x
r
x
xr
(iv)   = r
y
 y
r +s
rs
( )
= x
s r
(v)
xr
x
s
= x r −s
(iii) ( xy) r = x r y r
dado que cada expresión representa un número real.
LOGARITMOS
El logaritmo en base a dada (positiva y distinta de 1) de un número M es el exponente a que
hay que elevar la base a para que resulte igual a M.
En símbolos,
loga M = b ⇔ a b = M .
Por ejemplo, la pregunta ¿a qué exponente se debe elevar 2 para obtener 16?, equivale a la
expresión log2 16. La respuesta es 4 ya que 2 4 = 16 .
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Si se desea saber ¿a qué exponente se debe elevar 3 para obtener 1/9?, la operación
matemática y su resultado son los siguientes:
log 3
1
= −2
9
2
1
1
porque 3 − 2 =   =
9
3
Casos particulares:
El logaritmo de la base es 1, es decir: log a a = 1 pues a1 = a .
El logaritmo de 1 en cualquier base es cero, es decir: log a 1 = 0 pues a 0 = 1 .
Las siguientes propiedades son útiles en la resolución de ecuaciones exponenciales y
logarítmicas:
Propiedades de los logaritmos:
Para cualquier par de números reales positivos M y N:
(i) log b MN = log b M + log b N
(ii) log b
M
= log b M − log b N
N
(iii) log b N c = c log b N , para cualquier número real c
NÚMEROS COMPLEJOS
Si desea encontrar la raíz cuadrada de –16, se plantearía la siguiente situación,
− 16 = x ⇔ − 16 = x 2
pero resulta que el cuadrado de un número real nunca es negativo, por lo tanto este
problema no tiene solución en R.
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8
Con el fin de dar solución a planteos de este tipo se crean nuevos entes: los números
imaginarios. La unidad para estos números es i = − 1 .
Entonces, para resolver el problema anterior se podría proceder de la siguiente manera:
− 16 = x ⇔ 16(−1) = x ⇔ 16 − 1 = x ⇔ 4i = x
El resultado no corresponde a un número real, sino al número imaginario 4i (cuatro veces la
unidad imaginaria i).
Con los números reales y los números imaginarios se compone un nuevo campo numérico
llamado Números Complejos. Sus elementos son de la forma
a{ +
real
bi
{
imaginario
donde a y b son números reales y se denominan parte o componente real y parte o
componente imaginaria, respectivamente.
En caso de que a = 0, el número complejo es un imaginario puro, y si b = 0, el número
complejo es un real puro.
La suma y producto entre números complejo se definen de manera tal que siguen siendo
válidas las operaciones y propiedades en R.
ADICIÓN
La suma de dos números complejos es otro complejo cuya componente real es la suma de
las componentes reales consideradas y su componente imaginaria es la suma de las
componentes imaginarias de los complejos dados. Simbólicamente,
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9
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
Como se indicó anteriormente, la suma de complejos verifica las mismas propiedades que la
suma de números reales.
MULTIPLICACIÓN
Para realizar el producto de números complejos se puede utilizar la propiedad conmutativa
del producto con respecto a la suma. Por ejemplo,
(2 − 7i ) ⋅ (1 + 3i ) = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3i + (−7i) ⋅ 1 + (−7i) ⋅ (3i) = 2 + 6i − 7i + (−21i 2 )
pero i 2 =
(
−1
)2 = −1 , por lo tanto se tendría
( 2 − 7i ) ⋅ (1 + 3i ) = 2 − i + ( −21)(−1) = 2 − i + 21 = 23 − i
tal resultado es otro número complejo.
El producto se podría formalizar en la siguiente expresión:
( a + bi ) ⋅ (c + di ) = ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + ( a ⋅ d + b ⋅ c )i
Nuevamente se tiene que el producto cumple con las propiedades que verifica en R,
respetando también la propiedad distributiva con respecto a la suma.
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TRABAJO PRÁCTICO Nº1
SUMA Y PRODUCTO EN R
Ejercicio Nº1: Establecer si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
1
es un elemento de Z .
a) 3
i) –4 es un elemento de Z , pero –4 ∉ N .
1
− es un elemento de Q .
b) 2
j) π es un elemento de R , pero π ∉Q .
2 es un número racional.
k) Todo número irracional es número real.
c)
d) 3 es un elemento de R .
l) Todo número entero es número racional.
e) 0.1333... es un número irracional.
m) Todo número decimal es número real.
f) 1.5 es un número racional.
n) La intersección del conjunto de números
racionales y el conjunto de los irracionales
es el conjunto vacío ( φ )
g) 0.121212... es un número racional.
h)
8
es un elemento de Q .
0
o) Cada número entero es un racional.
p)
Algunos
números
irracionales
son
enteros.
Ejercicio Nº2: Indicar la propiedad del sistema de números reales que justifica cada uno de
los siguientes enunciados.

 1  
 1 
a) (− 2)  z = −2  z 
 2 

 2  
f) [(w + 3)2]z = [2(w + 3)]z
b) 1( 2 ) =
g) { 3 + [(− 5)(1)] } + 4 = {3 + (− 5) } + 4
2
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11
c)
(3 + 4)(5 + 2) = (3 + 4)5 + (3 + 4)2
1
d)  5 = 1
5
e)
1  1
+ −  = 0
4  4
h) (− 13 + z )(2) + 7 = [z + (− 13)](2) + 7
i) (a − b) + [− (a − b)] = 0
 1 
 = 1, x ≠ y
j) ( x − y )
x− y
Ejercicio Nº3: Indicar la propiedad del sistema de números reales que justifica cada uno de
los siguientes enunciados.
a) (− 5)(− x) = 5x
f) Si z 2 = 0, entonces z = 0
b) − (− 17) = 17
g) (a + b + c).0 = 0
c) Si x + 3 = y + 3, entonces x = y
h)
0
2
a +1
=0
d) Si ( x + 2)(3) = 4(3), entoncesx + 2 = 4
e) Si ( x + 1)( x − 2) = 0, entoncesx + 1 = 0 ó x − 2 = 0
i)
(
(x
)=2
+ 1)
2 x2 +1
2
Ejercicio Nº4: Dar un contraejemplo para demostrar que en R :
a) la sustracción no es conmutativa ni asociativa.
b) la división no es conmutativa ni asociativa.
c) la división sólo es distributiva con respecto a la suma y a la sustracción a derecha.
d) la suma no es distributiva respecto al producto.
Ejercicio Nº5: ¿Son correctas las siguientes simplificaciones?
a) 3 + 2 + 5 − 2 = 3 + 5
d)
5. 0 5
=
2. 0 2
b) 4 + 1 − 3 + (− 1).5 = 4 − 3 + 5
e)
5+3 5
=
2+3 2
e)
5 +1 2
5 +1 2
.3 =
3.(2 + 4 )
2+4
c)
5. 3 5
=
2. 3 2
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Ejercicio Nº6: Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando sus
respuestas.
Si a y b son números racionales, a . b > a
Si a y b son números racionales, a : b < a
Si a y b son números racionales, y b ≠ 0 , la mitad de b a es b 2 a
Ejercicio Nº7:
a) ¿Es el producto de dos números irracionales necesariamente irracional? De un ejemplo
b) ¿Es el cociente de dos números irracionales necesariamente irracional? De un ejemplo
c) ¿Son números reales 3 + 7 y 3. 7 ? Explique por qué.
Ejercicio Nº8: Sean m, n, p y q en R / m + n = −2 y m + q = 5 , calcular:
a) (q + 3) + (m + 1) =
b) (1 + m ) + (m − 3) + (q + n ) =
c) (m + 1) + (n + 2 q + 4 ) + (5 + 2m ) =
Ejercicio Nº9: Sean a, b y c en R / a.b = −2 y c = 4 , calcular:
a) b (4ac ) =
d) 2ab (c +1) =
b) (2a + ac )b =
e) 4ab + 8c =
c) (− a )(3cb ) + 4 =
f) c − ab (ab − 1) =
Ejercicio Nº10: Decidir si las siguientes expresiones son iguales:
a) 2 x (y − a ) + 2 ; 2[x (y − a ) + 1]
b) 5bc(x + y )
; c(5 y + 5bx )
c) (3m )(2 x ) − 2(mx − 2 ) ; 4(mx + 1)
d) 3ab(x + 1) + a (x − 3b ) ; ax (3b + 1)
Ejercicio Nº11: Reducir las siguientes expresiones.
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  1  1 
d) (4)  −  (− z ) + z
  2  2 
a) − (− a )[2 − 3]
b)
− (− b )
− bc
c)
4(3 + c )
4c
e)
g)
(7)(0)( x )
l−l
[(14)(0)( x)]
(
2− 3
)
f) (π − π )( x + y − 3)
Ejercicio Nº12: Expresar de otra manera las siguientes divisiones
a : 0,1
a : 100
a : 0,001
a : 1000
(en todos los casos a es un número racional).
Ejercicio Nº13: Sabiendo que 7,27 . 0,032 = 0,23264 , indicar sin hacer la multiplicación, el
resultado de
a) 0,727 . 3,2
b) 0,00727 . 3200
d) 72700 . 3200
d) 0,00727 . 32
c) 727 . 320
ORDEN EN R
Ejercicio Nº14: Colocar el signo <, = ó > en medio de cada pareja de números.
a) –100 ____2
13
20
____ −
14
21
h)
1
(4.02 ) ____2.01
2
2
c) − ____ −
5
3
i)
1
____0.111
9
d) 2.619 ____2.621
j) −
b)
1
1
____
2
3
g) −
4
e) 0.7 ____
7
9
1
____-0.33
3
k) π ____3.14
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14
f) 2.5 ____
5
2
l)
423
____2.6
157
Ejercicio Nº15: Ordenar de menor a mayor los números de los siguientes grupos de
números reales.
a) − 3; − 2;
6 ; − 2,8; 4; 7 2
b) 2π ; − 6;
8 ; − 3π ; 4,8; 19 3
Ejercicio Nº16: Ubicar sobre la recta real los siguientes puntos:
1
4
a) 0; − ; 1; − 1; 2; − 2; ; 2,5
2
3
b) 0; 1; − 1;
2 ; − 3; − 2 + 1
Ejercicio Nº17:
a) Si x < −1 . Clasificar como positivo o negativo: (a) x + 1 ; (b) x − 3 .
b) ii) Si − 2 < x . Clasificar como positivo o negativo: (a) x + 2 ; (b) x + 4 .
c) iii) Si x < 1 2 . Clasificar como positivo o negativo: (a) x − 1 2 ; (b) x − 1 .
d) iv) Si 4 < x < 5 . Clasificar como positivo o negativo: (a) x − 4 ; (b) x − 5 .
e) v) ) Si − 1 < x < 3 . Clasificar como positivo o negativo: (a) x + 4 ; (b) x − 6 .
f) vi) ) Si − 3 2 < x < 1 2 . Clasificar como positivo o negativo:(a) x + 3 2 ; (b) x − 1 .
Ejercicio Nº18:
i) a) Indicar el conjunto de los números enteros x que verifiquen 2 < x < 5 .
¿Cuál es el menor de los elementos de este conjunto?¿Y el mayor?
b) Considerar el conjunto de los números racionales x que verifiquen 2 < x < 5 .
¿Cuál es el menor de los elementos de este conjunto?.¿Y el mayor?.
ii) Indicar cuando sea posible:
a) El mayor número ENTERO X que verifica: x ≤ 10,3
b) El mayor número RACIONAL X que verifica: x ≤ 10
c) El mayor número RACIONAL X que verifica: x ≤ 10,3
d) El mayor número RACIONAL X que verifica: x < 10
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15
iii) Indicar en cada caso, cuáles son los números enteros que verifican:
a) − 3 < x < −2
d) − 3,105 < x < −1,995
b) − 3 ≤ x ≤ −2
e) − 2,999 ≤ x ≤ −2,0001
c) − 3,1 < x < −1,9 f) − 2,999 < x < −2,0001
EXPONENTES ENTEROS
Ejercicio Nº19: Suponiendo que todas las variables son distintas de cero escriba:
i- la expresión con exponentes positivos
a)
1
8. 8 . 8
b) 3.3.3
1 1
.
z z
c) 2 y.2 y.2 y.2 y
d)
1
c) 3
x
 1
d)  
 z
ii- la expresión con exponente negativo
x2
b) 2
y
1
a) 5
4
2
Ejercicio Nº20: Evaluar las siguientes expresiones:
a) 2 −1 − 2 1
b)
2 −2
3− 3
c)
2 −1 − 3−1
2 −1 + 3−1
d)
( − 1) 5 − 2 6
( − 1) −1
e)
01
10
f)
(1 − 1) 0
10
Ejercicio Nº21: Suponiendo que todas las variables son distintas de cero, simplificar y
eliminar cualquier exponente negativo.
a) x 6 x −2
e)
b) 2 10 .2 12
28
23
f)
2
i) ( 5x )
ll) ( 4 x . y
2
34
3− 2
g)
j) ( − 4 x)
)
−1 3
m)
10 −7
10 4
k) (52 )
3
d) ( − 5. x 2 y 3 ). ( 3. x. y −2 )
c) ( 7x 4 ). ( − 3x 2 )
h)
35. y 8 . x 5
− 21. y −1 . x 9
l) ( x 4 )
3
−5
( 3abc) 3
(2a −1 .b −2 . c) 2
Ejercicio Nº22: Determinar si los siguiente números son positivos o negativos :
a) ( − 4) . (2 −4 )
−3
−1
0
b) ( − 1) .( − 1) .( − 1)
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[
5
−5
c) 10 −5 ( − 10) . ( − 10)
]
2
16
[
d) ( − 1)
]
−2 −3
f) (π 2 .π 3 .π −4 )
−10+10
e) ( − 10 − 10)
−1
Ejercicio Nº23: Escribir los números dados en notación científica :
a) 1.050.000
b) 0,0000105
c) 1.200.000.000
d) 0,00341
e)341.000.000
f) 0,000000000120
g) 825.600
h) 0,0008256
i) 523.000
j) 0,000523
Ejercicio Nº24: Escribir cada número en notación normal.
a) 7,89 ×10 4
b) 7,89 ×10 −4
c) 3,0 ×10 3
d) 3,0 ×10 −3
e) 1,74 ×10 −1
f) 1,74 × 10 0
g) 1,74 × 101
h) 9,06 × 10 −2
Ejercicio Nº25: Expresar cada una de las siguientes fracciones con una sola potencia de 10.
a)
d)
10 −3 ×10 5
10
b)
101 ×10 2 + 10 3 ×10 4
e)
1010
10 8 × 10 4 ×10 −5
c)
10 2 ×10 3
10 −3
10 − 5
(10 ) × 10
f)
(10 )
2 3
10 9 × 10 −2
10 6 ×10 −9
−1
−3 4
Ejercicio Nº26: Resolver las siguientes operaciones utilizando notación científica.
a)
1
5.000
0,000625
3125
f)
b)
1
0,0005
(
1.728.000 )1 3
g)
(0,06)(400 )2
c)
0,0064
0,000016
d)
(6.000 )(720 )
12.000
h) [(0,002)(0,2)(200)(2.000)]1 2
RADICALES
Ejercicio Nº27: Hallar el valor numérico de lo siguientes radicales, suponiendo que todas las
variables son positivas.
a)
3
− 125
b)
3
27
c)
4
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14 1
4 4
d)
7ab2
49a 7b 4
17
e) 5 100.000
f)
i) 3 16
j)  − xyz5 


m)
10a 2
n)
bc 4
g) 4 0.0001
0.0016
4
2
(− 4r s )
2 6 2
k)
1
2 4
x y
o) 3 4ab 3 3 16 a 2
h)
3
a 6b11
(− abc )2
l)
q)
− 16 x 2
− 8x−2
Ejercicio Nº28: Combinar los radicales y simplificar.
a) 3 x + 3 x − 2 x
3
3
xy + 3 3 x − xz 3
a
a3
−
b
b
g)
e) 3 8 x 3 − 18 xy 2 + 32 x 5
2− 6+ 8
b)
d)
c) 4 3 2 − 3 16
f)
3
x 4 yz − 3 xy 4 z + 3 xyz 4
h)
3
x
x
xy
−3 2 −3 2
y
y
y
Ejercicio Nº29: Responder verdadero o falso.
a)
a + b = a + b , para a, b ≥ 0 . ____
b)
a.b = a . b , para a, b ≥ 0 . ____
c)
a 2 = a , para cualquier número real a . ____
d)
( a )2 = a , para cualquier número real a . ____
e) Si n es impar,
f) Si n es par,
g)
4
x2 =
n
n
x está definida para cualquier número real x . ____
x está definida para cualquier número real x . ____
x , para cualquier número real x . ____
EXPONENTES RACIONALES
Ejercicio Nº30: Para los siguientes ejercicios suponga que las variables son positivas:
i. Escribir las expresiones usando exponentes racionales:
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18
3
a) a.b
b)
5
7x
c)
1
( x)
3
d) 7 x + y e)
4
5
a 2 + b 2 f)
1
( x)
4
3
ii.Volver a escribir la expresión dada usando notación radical :
a) a 2 / 3
2/3
c) ( 3a )
b) 2. a 1/ 3
d) 3. a 2 / 3
e) 3 + a 2 / 3
−1/ 3
d) ( − 8)
 81
e)  − 
 16 
2/ 3
f) ( 3 + a )
Ejercicio Nº31:
i. Encontrar los números indicados:
a) (49)
−1/ 2
b) ( 49)
1/ 2
1/ 3
c) ( − 8)
3/ 4
 81
f)  − 
 16 
− 3/ 4
ii. Volver a escribir la expresión como un solo radical:
3
3
a) 2 . 5
b)
3
4. 2
3
3
16
c) 6
4
81
d) 3
3
e)
x. x
f)
y2. y
4
y
EJERCICIOS COMBINADOS
Ejercicio Nº32: Resolver las siguientes operaciones:
a) ( − 2) − ( − 3) + [( − 1). ( − 3) ] + [( − 10) ÷ 5] `+4 2 =
3
b)
5
c)
(
2
2
2
( − 320) ÷ 10 − 3 ( − 64) ÷ ( − 1 + 9) =
3
2. 3 2. 3 2.
)
4
+ ( 5 − 7) − 150 =
2
d) ( − 3). ( − 1). ( − 2) − 10 2 − 6 2 − ( − 2) + 3 − 72 . 3 − 3 =
3
[
]
2
e) 2 − ( − 3) ÷ ( − 3) + ( − 4 + 1). ( − 2) + 3 − 125 =
3
2
( 5) − [2.(3 − 2 )]
3
6
3
f)
2 . 8.
g)
5 2 − 3 2 − ( − 9 + 7) −
3
2
=
{[(− 5) ] }
3 0
2
=
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19
8  3   3
2
15   
h) 1 − . −  − 2 −  − 1 + . − 10 +  − 1  =
3  4   4
5
2  
−8
i)
4
6
0
81  2   2   3 
− −  ÷−  + −  =
16  3   3   5 
−2
3
4
1 1  1  1
 1 3
j)  −  .4 − 2 + 3 − .  −  ÷  −  =
 2 4
4 8  2  2
2
2
 3  −2   1  −1
8
 2 1
−2
k)  −  −    −  −  ÷ 2 − 6 ÷ − ( − 1)
 3 6
3
 2    4 
[
1
l)
]
−3
=
1
1 2  1  5  1
 5

 −  ÷ ( − 15) + 1 ÷  2 +  −   ÷  −  =
 2

 32 
 4
4
16  3 
− 
m) )
81  2 
4
 3 
n)  − 
 4 
−7
16
 3
÷ 
 2
 3
÷ − 
 4
−10
18
0
 3 3 
7
−1 −
− 1 −    =
8
 5 
54
3
2

1 3 27
8  4
 1
+
− 152 ÷   + ÷  −  =
÷
 5
64
512
9  9

Ejercicio Nº33: Resolver:
a)
(0,2 + 0,32 − 0,001) ÷ 5,19 =
b)
(4,2.0,05 + 3,25.0,4 − 0,01) ÷ (4 ÷ 0,04) =
c)
0,6 − 0,02
. ( − 0,5) =
− 0,29
d)
(3,2 − 0,4) ÷ 1,4
0,5
. ( 0,075 − 0,1) =
e)
 0,41 + 0,04 0,32 − 0,04 
−

 ÷ 25 =
 0,01
0,007 
f)
1
1
1
1
−
−
−
=
0,1 0,2 0,4 0,5
g)
0,04 − 0,0009 + 0,0016
− 0,49
=
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20
−1
h)
5
 0,04 − 3 0,125 

 + 0,00032 =
 3 0,000027 
3
0,000064


ECUACIONES
Ejercicio Nº34: Resolver las siguientes ecuaciones y verificar que los valores hallados son
soluciones de las mismas.
5
x − 5 = 3x + 7
2
a) − 3x − 2 = 10
b)
d) x . ( x + 2) − 3 = ( x − 2)2
e) (1 − 5 x )2 = (1 − x )(−3)(1 + x)
c)
4
1
x−7 = x+8
3
3
f)
x x
+ = 10
3 2
g)
3 2
+ = 10
x x
h)
8
=4
x −3
3x − 1 x − 1
−
=1
4
2
g)
2
3
+
=4
3x 2 x
h)
8 x 2 − 2 + 3x
= 4x
2x −1
i)
x +1 = 3
j)
x −2 =3
k) x + 2 = 2 x − 5
l)
x2 + 9 = 5
x 2 + 16 − x = 4
o)
m)
4
=2
x −1
 5x + 4 
p) 

 2 
n)
13
=3
q) (3x + 1)1 2 = 2 x + 6
x − 7 − x =1
1
r) x −3 2 − x −1 2 = 0
9
Ejercicio Nº35: Resolver las siguientes ecuaciones y verificar que los valores hallados son
soluciones de las mismas.
a) x + 1 = 3
b) x − 2 = 3
c) x + 2 = 2 x − 5
d ) x 2 + 9 = −5
1/ 3
 5x + 4 
e)
=3

 2 
e) (3x + 1)1 / 2 = 2 x + 6
f )x − 3 / 2 −
1 −1 / 2
x
=0
9
LOGARITMOS
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21
Ejercicio Nº36: Escribir en forma logarítmica el enunciado dado en forma exponencial:
a) 4 −1/ 2 =
 1
d)  
 64 
1
2
b) 9 0 = 1
−1/ 2
e) ( 32 )
=8
−2
c) 10 2 = x
=
1
81
f) 36 − 3/ 2 =
1
216
Ejercicio Nº37: Calcular:
a) log 3 81 = 4
e) log 5
1
= −2
25
b) log 2 32 = 5
c) log 10 10 = 1
d) log17 17 5 = 5
f) logb u = v
g) ln 1 = 0
h) ln (1/e ) = −1
1
64
1
32
i) log 7 3 49
f) log10 0,000001
g) log 4
j) log1/ 2 16
k) ln e e
l) ln (e . e 2 .e 3 )
ll) ln e −2
m) 10 log10 6
o) 25log5 8
p) e − ln 7
q)
h) log 64
e ln 9
Ejercicio Nº38: Aplicando propiedades simplificar y reducir la expresión a un solo logaritmo.
(Por convención se expresa log 10 x = log x )
1
1.
.log 5 49 − .log 5 8 + 13.log 5 1
2
3
a) log 2 + log 5
b)
c) log( x 4 − 4) − log( x 2 + 2)
 x
d) log y − 4 − 2.log x 3 + log 
 y
e) log 2 5 + log 2 52 + log 2 53 − log 2 56
f) 5.ln 2 + 2.ln 3 − 3.ln 4
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Ejercicio Nº39: Hallar el valor de x
a) 2 x.2 3 = 8
b) 10 x.103 x = 10000
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c) 32 x = 3
1/ x
22
d) 2 2 x = 16
 1
e) log 2   = 5
 x
f) 2.log 9 x = 1
h) log 7 x = −2
 1 
 =1
i) log
 1000 
x
g)
ln x = 3
2
Ejercicio Nº40: Dadas las siguientes ecuaciones, analizar si tienen solución en R, si no la
tienen, justificar.
a) x 2 = 9
2
2
c) x = 16 / 27
2
2
b) x = −9
2
d) 1 + x = 5
e) x − 3 = −7
f) − 2 x = 200
e) x 2 − 2 x + 2 = 0
f) (2x + 1)2 = 3(x+1)2
g) 7x + 3 (x2 –5)) = x - 3
Ejercicio Nº41: Resolver las siguientes operaciones de números complejos expresados en
forma binómica:
2 1  3 1 
− i −  + i =
3 2  2 3 
a) (2 + 5i) + (-3 + 4i ) + (2 – 8i) =
b) 
c) 3i - (1 + 2i ) =
d) (-3 + i ) - (2 + i) =
e) (2 + 5i). (-3 + 4i ) =
f) (3 + 4i ) . (2 – 8i) =
g) (2 − i) 2 =
h) (2 + 3i ) 2 =
En biblioteca encontrarás libros que te facilitarán el estudio. Consulta la bibliografía en
el programa de la asignatura.
En los horarios de consulta encontrarás docentes dispuestos a explicarte lo que no
entiendas.
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23
UNIDAD II - FUNCIONES POLINOMIALES
OPERACIONES CON POLINOMIOS
SÍNTESIS TEÓRICA
La expresión 5 x 3 + 7 x 2 + 4 x − 12 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de tercer
grado, porque la tercera es la máxima potencia de la variable x que aparece en él. Los
términos de este polinomio son: 5 x3 , − 7 x2 , 4 x y -12. Los coeficientes son 5, -7, 4, y -12.
Todos los exponentes de las variables de un polinomio deben ser enteros no negativos. Por
consiguiente, las expresiones x 3 + x1 2 y x −2 + 3 x + 1 no son polinomios, por los exponentes
fraccionarios y negativos.
Cualquier constante diferente de cero, como 7, se clasifica como un polinomio de grado
cero, ya que: 7 = 7 x 0 . También al número cero nos referimos como una constante
polinomial, pero no se le asigna grado alguno.
Los polinomios que tienen sólo uno, dos o tres términos reciben nombres especiales:
Números de términos
Nombre del polinomio
Ejemplo
uno
monomio
17 x 5
dos
binomio
1 x3 − 6x
2
tres
trinomio
x4 − x2 + 2
La variable x en el polinomio representa cualquier número real. Por este motivo expresiones
como 2 x , x + 3 y x 2 + x representan también números reales, cuyo valor depende del que
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24
tome x. Por ejemplo si x = 3 los valores de las expresiones dadas serán 6, 6 y 12
respectivamente.
Ya que cada símbolo de un polinomio es un número real, se pueden usar las propiedades del
sistema de los números reales para operar con ellos.
OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS
Suma o resta de polinomios: se puede sumar o restar dos polinomios en x mediante la
suma o resta de los coeficientes de potencias iguales. Por ejemplo:
Sumar 2 x 2 + x − 1 y
3x + 2
Solución:
(2x
2
)
+ x − 1 + (3x + 2)
se suprime paréntesis utilizando la regla de supresión de
paréntesis,
2 x2 + x − 1 + 3x + 2
se agrupan los términos semejantes haciendo uso de las
propiedades conmutativa y asociativa,
2 x 2 + ( x + 3x ) − 1 + 2
se suman los coeficientes de las potencias iguales de x.
2 x2 + 4 x + 1
¿Por qué no es válido sumar los términos 2x 2 y 4x ?
Para restar se deberá tener en cuenta que al suprimir los paréntesis cambiarán los signos de
cada término del polinomio sustraendo.
Producto entre polinomios: para hallar el producto de dos polinomios, se utilizan la
propiedad distributiva y las leyes de los exponentes, como muestra el siguiente ejemplo:
Multiplicar x3 + 3x − 1 y 2 x 2 − 4 x + 5 .
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25
Solución:
(x
3
)(
+ 3x − 1 . 2 x 2 − 4 x + 5
)
(
= (2 x
)( ) (
− 2 x ) + (− 4 x
)
(
+ 4 x ) + (5 x
)
= x 3 + 3x − 1 . 2 x 2 + x 3 + 3x − 1 .(− 4 x ) + x 3 + 3x − 1 .(5)
5
+ 6x3
2
4
− 12 x 2
3
+ 15 x − 5
)
Combinando términos semejantes, se encuentra el producto:
2 x 5 − 4 x 4 + 11x 3 − 14 x 2 + 19 x − 5
Cuando se multiplican dos polinomios debemos multiplicar cada término del primer
polinomio por cada término del segundo polinomio. Se puede usar un formato vertical (con
tal que conservemos los términos semejantes alineados) como una forma de organizar los
datos. Se procede de la siguiente manera:
x3 + 3 x − 1
× 2 x2 − 4 x + 5
+ 15 x − 5
5 x3
− 4 x4
2x5
− 12x 2 + 4 x
+ 6 x3 − 2x2
(
)
⇐ 5. x 3 + 3x − 1
(
⇐2 x .(x
)
+ 3x − 1)
⇐ −4 x. x 3 + 3x − 1
2
3
2 x 5 − 4 x 4 + 11x 3 − 14 x 2 + 19 x − 5
División de polinomios:
Ladivisión de un polinomio por un monomio usa las propiedades de las fracciones y las leyes
de los exponentes como se muestra a continuación.
Dividir 15 x 4 + 25 x 3 − 35x 2
por
5x 2
Solución:
15x 4 + 25x 3 − 35x 2 15x 4 25x 3 35x 2
=
+ 2 −
5x 2
5x 2
5x
5x 2
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26
= 3x 2 + 5x − 7
Observación: es válido hacer notar que el monomio divisor debe ser de grado menor o igual
al grado del dividendo para asegurar que el cociente sea un polinomio. Por ejemplo:
Dividir 15 x 4 + 25 x 3 − 35 x 2 por
5x5
Solución:
15x 4 + 25x 3 − 35 x 2
5 x5
=
=
15 x 4
5 x5
+
25 x3
5 x5
−
35 x 2
5 x5
3 5
7
+ 2 − 3 esta expresión algebraica no es polinómica.
x x
x
2) La división de polinomios se realiza con un algoritmo similar al
de la división entera. Se explicará con un ejemplo.
Dividir x 4 − 2 x 2 − 8 por
x2 + 2
Solución:
Dividendo ⇒
x4 − 2 x2 − 8
x2 + 2
⇐ divisor
x4 + 2 x2
x2 − 4
⇐ Cociente
−4 x 2 − 8
−4 x 2 − 8
0 ⇐ Residuo
El procedimiento es el siguiente:
1. Se divide x 4 (el primer término del dividendo) por x 2 (el primer término del divisor), para
obtener x 2 (el primer término del cociente).
2. Se multiplica x 2 + 2 (el divisor) por x 2 y se escribe el producto x 4 + 2 x 2 debajo de los
términos correspondientes en el dividendo.
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27
3. Se resta para obtener −4 x 2 − 8, el cual se trata como el nuevo dividendo.
4.
Se divide −4 x 2 (el primer término del nuevo dividendo) por x 2 , se obtiene -4 (el
segundo término del cociente).
5.
Se multiplica x 2 + 2 por -4 y se resta el producto del nuevo dividendo.
6.
Obsérvese que la diferencia anterior es 0, representa el resto de la división e indica que
el polinomio dividendo es múltiplo del divisor.
Analizar el siguiente ejemplo:
Dividir el polinomio 3x 3 − x 2 − 2 x + 6 por
x2 + x
Solución:
Dividendo ⇒
3x 3 + 3x 2
3x 3 − x 2 − 2 x + 6  x 2 + x
3x − 4
⇐ divisor
⇐ Cociente
−4 x 2 − 2 x + 6
−4 x 2 − 4 x
2x + 6 ⇐ Residuo
En este caso el resto es 2x + 6 y su grado es menor que el grado del divisor, por lo tanto la
división está terminada. El polinomio dividendo no es múltiplo del divisor.
Recordar que en la división entera se cumple que D = d . C + R , es decir que el dividendo (D)
es igual al divisor (d) por el cociente (C) más el resto (R), lo cual proporciona una prueba para
la división de polinomios.
TEOREMA DEL RESTO Y FACTOREO
El siguiente teorema relaciona el residuo R obtenido por la división de un polinomio P(x) por
x – c y el valor del polinomio en x = c.
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28
“Cuando un polinomio P (x) se divide por x – c, el residuo R es el valor del polinomio en x = c,
estos es, R = P (c).”
De acuerdo a lo expresado y retomando la expresión para la división entera de poloinomios,
se tiene que el polinomio P(x) podrá ser escrito como
P(x) = ( x – c).C (x) + R
(1)
donde C (x) es el cociente de dividir P(x) por x – c y el residuo R es igual a P(c).
Por ejemplo si P (x) = x3 –3. x2 + 4, es posible anticipar cuál será el resto de dividirlo por x – 1,
ya que según el teorema se tendrá:
R = P(1)
R = 13 – 3.12 + 4
R=2
También se puede escribir P(x) en términos de x – 1 encontrando el cociente C(x) y
utilizando la expresión (1):
P(x) = ( x – 1).C (x) + 2
Si P(c) = 0, entonces x = c se constituye en una raíz de P(x) resultando de (1) la siguiente
expresión:
P(x) = ( x – c).C (x)
donde P(x) queda escrito como un producto, es decir P(x) está factoreado.
Así, si x = 2, se tiene que P (2) = 23 – 3.22 + 4 = 0 y x – 2 será un factor de P(x) y podrá ser
factoreado en términos del divisor, de la siguiente manera:
P(x) = ( x – 2).(x2 – x – 2 )
donde C(x) = x2 – x – 2 es el polinomio cociente.
APLICACIÓN DEL FACTOREO
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29
El cociente de dos polinomios P(x)
y Q(x) se denomina expresión racional. Si estos
polinomios tienen en común algún factor entonces es posible simplificarlo y escribir
P( x )
Q( x )
en forma más sencilla.
Por ejemplo en la expresión
x 2 − 5x − 6
se tiene que x = - 1 es raíz del numerador y del
x3 +1
denominador. Así ambos podrán ser escritos como producto donde uno de los factores será
x − (− 1) , es decir x + 1:
x2 − 5x − 6
3
x +1
=
( x + 1)( x − 6)
2
( x + 1)( x − x + 1)
=
x−6
2
x − x +1
El numerador tiene una raíz x = 6 y el denominador tiene raíces complejas conjugadas.
Como no comparten raíces, carecen de factores comunes y no es posible simplificar más la
última expresión. Finalmente se obtiene que
x 2 − 5x − 6
3
x +1
=
x−6
2
x − x +1
para x ≠ −1
Nota: La condición x ≠ −1 debe ser considerada porque las expresiones en ambos miembros
son equivalentes para cualquier valor de x excepto para x = –1, donde la expresión original
no está definida.
EJERCICIOS
Para trabajar en grupo:
1) En cada caso determinar si la expresión algebraica es un polinomio. Si lo es, dar su grado.
a-
8 + 3x
c- 0, 2 x + 3 x 2 + 52
b- x 3 + x1 3 − 2 x
d- 4 x 5 + 5x 3 − x 2 + x −4
2) Hallar el valor del polinomio x 2 − 5x + 6 para: (a) x = −3; (b) x = 0; (c) x = 21 .
3) En cada caso, realizar las operaciones indicadas.
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30
(
) (
c- (3 y + 4 y 3 − 2 y 4 ) − (y 3 + 4 − 5 y )
e- (2 x + 3x 3 − x 5 )(
. x 2 + 3x )
g- (x + 3x ).( x + 2 ) + x − 5
)
a- 3x 5 − 5 x 2 + 4 x − 7 + x 3 − 3x 2 + 2 x + 1
2
3
(
) (
)
d- (2 x + 3x − x ) − (− x − x + 1)
f- (6 y + 4 − 5 y )(
. y + 1)
b- x 3 + 2 x − 1 + 3x 4 − x 3 − 2 x
3
5
5
3
2
2
h- ( x + 2 )2
i- ( x − 2 )2
j- ( x + 2 )(
. x − 2)
k- (3 x + 1)(
. 3 x − 1)
l- 2 x. − 4 x 3 + 3x .(2 + 7 x )
(
)
4) Hallar el cociente de las divisiones propuestas y luego controlar la operación realizada
utilizando la prueba de la división.
(
)
c- (x 4 + 8) : (x 3 + 2 x − 1)
e- (5 x − 7 x + 4 x + 1) : (x
a- x 2 + 4 x − 7 : ( x + 8)
3
2
(
)( )
d- (x 2 − 9 ) : ( x + 3)
f- (27 x + x − 2) : (3x − x )
b- x 2 + 2 x − 3 : x 2 + 1
2
)
+ x −1
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3
2
31
TRABAJO PRÁCTICO Nº2
POLINOMIOS
Ejercicio Nº 1: Dados las siguientes funciones polinómicas:
P( x ) = 2 x − 4
Q( x ) = 4 x 2 + 2 x 3 − 6 x
R ( x ) = −6 − 3 x + 3 x 2
S( x) = x 4 − x 3 − 6 x
T( x ) = 5 − x
i) Indicar el grado de cada una de ellas y determinar los coeficientes de los términos de
grado cero, uno, dos y cuatro.
ii) Encontrar el valor de la función polinómica para los valores de "x" que se indican:
x1 = 0
x2 = 3
x3 = −3
x4 = 1
x5 = −2
x6 = 4
x7 = −1
iii) Ubicar algunos puntos ( xi , P ( xi )) en un sistema de ejes cartesianos e indicar en cuáles de
las funciones polinómicas es posible anticipar su gráfico.
Ejercicio Nº 2:
i) Determinar las raíces reales de cada función polinómica graficada a continuación.
ii) Sabiendo que la forma general de la función polinómica es
P( x ) = a0 + a1x + a2 x 2 + ... + an x n , determinar para cada gráfico el valor de " a0 " y completar
ecuación que la define.
1
a) P( x ) = − x + a0
2
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b) P ( x ) = 3 x 2 − 3 x + a0
32
c) P( x ) = −5 x 2 + 20 x + a 0
e) P( x ) = x 3 − 4 x + a0
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d) P( x ) = a0
f) P( x ) = x 4 − 4 x 2 + a0
33
g) P( x ) = x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 + a0
h) P( x ) = − x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 + 16 x + a0
i) P( x ) = − x 4 + 4 x 3 − 2 x 2 − 4 x + a0
j) P( x ) = x 3 − 6 x 2 + 12 x + a0
k) P( x ) = 2 x 2 − 4 x + a0
l) P( x ) = x 5 − 5 x 3 + 4 x + a 0
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34
Ejercicio Nº 3: Utilizando la raíz y el término a0 , graficar las siguientes funciones polinómicas
de primer grado.
b) P( x ) =
a) P ( x) = −3 x + 1
c) P( x ) = x +
2
3
1
x +5
2
d) P( x ) = −4 x
4
e) P( x ) = − x + 4
3
f) P( x ) = − x + 3
Ejercicio Nº 4: Dados los siguientes polinomios:
P( x ) = 4 x 3 + x 2 − 2 x − 13
Q( x ) = 2 x 2 + 3 x + 9
R ( x) = − x 3 + 2
S( x ) = x − 5
T( x ) = 2 x 2
Encontrar:
a) 3. Q( x )
e) S( x ). R ( x )
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i) T( x ). Q( x )
35
b) −5. S ( x )
f) T( x ). R ( x )
j) Q( x ). R ( x )
c) P( x ) + Q( x )
g) P ( x ) + 4. R ( x )
k) T( x ).S( x ). R ( x )
d) Q( x ) + R ( x )
h) Q( x ) − P ( x )
l) (S ( x )) 2
Ejercicio Nº 5: Dados los siguientes polinomios:
i) Predecir el grado de cada uno de ellos.
ii) Reducir a su mínima expresión.
a) P ( x ) = 7 x − ( 3 − x ) − 2 x
f) P( x ) = 2 x 2 .( 2 x + 1 − 10 x 2 )
b) P ( x ) = ( 7 x + 5) − ( 2 x + 3)
g) P ( x ) = ( x − 10).( x + 10)
c) P ( x ) = ( x + 2).( x − 2)
h) P( x ) = ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1) − ( x 2 + 2 x + 1)
d) P ( x ) = ( 3 − 5x ).( 3 + 5x )
i) P( x ) = ( x − 2 ).( x + 2 ) + 1
e) P ( x ) = ( −2 x − 3).( 3x + 6)
j) P ( x ) = ( x + 3).( 2 x + 2) − ( 6 x + 10)
Ejercicio Nº6: Se dan los siguientes polinomios:
P ( x) = − x 2 − 6 x + 4
Q( x) = x − 1
R ( x) = x 2 + 6x − 4
S( x ) = 4 − x 2
obtener mediante operaciones entre los mismos, un polinomio con las características
indicadas en cada caso.
a) De dos términos.
b) De grado 3.
c) De grado 5.
d) Nulo.
e) Sea un monomio en "x" con coeficiente positivo.
f) Sea un cuatrinomio de 3er grado.
Ejercicio Nº 7: Factorear el polinomio P ( x ) extrayendo como factor común el indicado en
cada caso.
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36
i) P( x ) = 24 x 9 − 18 x 6 − 6 x 4 + 90 x 2
a) 6x2
b) 3x
c) 4 x 3
ii) P( x ) = 4 x 5 + 2 x 2 − 10 x 6 + 20 x 3
a)
1
x
2
b) 4 x 2
c) 5 x 4
Ejercicio Nº 8:
i) Usar el algoritmo de la división para encontrar el cociente y el resto de las siguientes
divisiones entre polinomios:
(
)(
)
b) (4 x3 − 5 x 2 + x − 7 ) : (x 2 − 2 x )
c) (5 x + 7 x + x + 8): (x − 2)
d) (x3 − x 2 + 7 ) : (x − 1)
e) (x3 − 2 x 2 − 13x + 6) : (x + 3)
a) x3 − x 2 − x + 10 : x 2 − 3x + 5
2
3
(
)(
)
g) (8 x 4 − 8 x 2 + 6 x + 6) : (2 x 2 − x )
h) (2 x + 9 x − 3x − 1) : (2 x − 1)
i) (5 x + 2 x 3 − 3): (x + 2)
j) (x3 + 4 x 2 + 3x − 2) : (x + 2)
f) 3x3 + 4 x 2 − 13x + 6 : x 2 + 2 x − 3
3
2
ii) Verifique cada resultado teniendo en cuenta la relación entre dividendo, divisor, cociente
y resto. ( P( x ) = Q( x ). C( x ) + R ( x )) .
iii) Escribir el resultado de las divisiones dadas teniendo en cuenta que
P( x)
R ( x)
= C( x ) +
.
Q( x )
Q( x )
iv) Factorear cuando sea posible, el polinomio dividendo, de manera tal que uno de los
Factorear sea el divisor.
Ejercicio Nº 9:
Dadas las siguientes divisiones:
(
)
1 3 
1
e) ( − x ) :  x − 
8
2

b) 2 x3 + x 2 − 3x + 7 : ( x + 1)
(
)
f) ( x3 + 27) : ( x + 3)
c) ( x5 − 32) : (x − 2 )
g) x 4 − 3x3 + 7 x 2 − 2 x + 1 : ( x + 2)
a) x3 − 2 x 2 − 5 x + 6 : ( x − 3)
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(
)
37
(
)
(
d) x3 + 5 x 2 − 7 x + 8 : ( x − 2)
)
h) x 4 + x3 − 2 x 2 + 3x − 1 : (x − 2)
i) Utilice el Teorema del Resto para establecer si el polinomio dividendo es divisible por el
polinomio divisor.
ii) Cuando sea posible, factorear en término del divisor, aplicando la regla de Ruffini para
encontrar el cociente.
Ejercicio Nº 10: Teniendo en cuenta que: "Un polinomio P( x ) tiene un factor x − c , si y sólo
si: P ( c) = 0 " (Teorema del factor).
i) Establecer si el binomio dado x − c es un factor del polinomio P( x ) .
a) P ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 11x + 6;
x +1
b) P ( x ) = x 3 + 5 x 2 − 2 x − 24;
x−3
c) P ( x ) = − x 3 + 7 x + 6;
x+2
d) P( x) = x 4 + 4 x3 + 3x 2 − 4 x − 4;
x +1
e) P ( x ) = x 4 − 8 x 3 + 7 x 2 + 72 x − 144 ;
x−4
f) P ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 11x − 6;
x −1
ii) Si lo es, factorear P ( x ) .
Ejercicio Nº 11:
i) Establecer si existe un factor " x − c " para los siguientes binomios:
a) x 3 + 1
f) 2 + x 3
k) 16x 2 − 9
b) x 2 − 4
g) x 4 + 1
l) 2 − x 3
c) x 2 − 1
h) 9 x 2 − 1
m) x 4 − 3
d) x 2 + 4
i) x 2 − 5
n)
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1 3
−x
8
38
e) x 5 − 32
j)
1
+ x5
32
ii) Factorear los binomios dados.
Ejercicio Nº 12:
i) Para cada polinomio de segundo grado, encontrar los Factorear ( x − c ).
a) P( x ) =
1 2
x
2
b) P ( x ) = x 2 − 1
c) P ( x ) = − x 2 + 4
d) P ( x ) = x 2 + 4 x + 4
e) P ( x ) = 2 x 2 − 2 x − 4
1
f) P( x ) = − x 2 + 2 x − 3
3
g) P ( x ) = − x 2
h) P ( x ) = 3 x 2 + 3 x − 18
i) P ( x ) = −3 x 2 + 27
j) P ( x ) = x 2 − 6 x + 9
ii) Factorear los polinomios dados en término de uno de los factores encontrados.
iii) Escribir los polinomios dados como producto de sus factores.
Ejercicio Nº 13: Dar la expresión general de la forma factoreada del polinomio de segundo
grado.
Ejercicio Nº 14: Graficar las funciones polinómicas del ejercicio anterior utilizando las raíces
obtenidas.
Ejercicio Nº 15: Graficar las siguientes funciones polinómicas de segundo grado cuyas raíces
son números complejos:
a) P ( x ) = x 2 + 1
b) P ( x ) = − x 2 − 4
c) P ( x ) = x 2 − 4 x + 5
d) P ( x ) = x 2 + 2 x + 10
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39
Ejercicio Nº 16: Relacionar cada una de las gráficas con su respectiva fórmula.
Ejercicio Nº 17: De ser posible, simplificar las siguientes expresiones racionales.
a)
x2
x2 + 2 x
b)
9 y 2 + 12 y 8 − 15 y 6
3y3
c)
−6a 3 + 9 a 6 − 12 a 9
−2 a 3
d)
n −1
n2 − 1
e)
x2 + 6x + 5
x2 − x − 2
f)
4 x 2 + 12 x + 9
4 x2 − 9
g)
3 x 2 + x − 10
5 x − 3x 2
h)
3x 2 + 3x − 6
2 x2 + 6x + 4
i)
2 x3 − x2 − 2 x + 1
x2 − 1
j)
x 2 − 5x
5− x
k)
8 − x3
x2 − x
l)
n2 − 1
n3 − n2 + n − 1
ñ)
2 x 3 + x 2 − 3x + 1
2x −1
m)
x3 − x
x3 − 2 x2 + x
n)
2x + 4
3
x + 5x 2 − 2 x − 24
Ejercicio Nº 18: Resolver las siguientes ecuaciones.
a) x 2 + 3 x = 0
b) x 2 + 4 x + 4 = 0
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c) x 3 − 6 x 2 + 9 x = 0
40
d) x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 = 0
4 − 2x x + 2
⋅ 2
=x
2
x −4
g)
j)
x2
=3
x2 + 2x
m)
x3 − x
= ( x + 1)
x3 − 2x2 + x
(
)
e) − x. ( x + 4). x 2 − 4 = 0
f)
2
1
−
=3
2
2x
3x
h)
x − 2 x2 + 2 x
:
=0
3( x + 1) 2 + x
i)
4
x2 + 6x + 9
⋅
=2
x2 − 9
x+3
k)
3x
8
− =0
x+7 5
l)
2x − 5
3
− 2
=0
x +1 x + x
n)
5x
(2 x + 5)
2
+
3x − 2
24
5
3
= 0 o) 2
+
=
2
x − 16 x + 4 x − 4
4 x − 25
Si no puede realizar algún ejercicio o tiene dudas, concurra al horario de consulta
de la Cátedra.
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41
UNIDAD III - ANÁLISIS DE RELACIONES NUMÉRICAS Y
FUNCIONALES
En esta unidad trabajaremos fundamentalmente en la resolución de situaciones
problemáticas utilizando todas aquellas herramientas matemáticas disponibles. Para
resolverlas es conveniente que considere las siguientes cuestiones:
Entender el problema. Analizar los enunciados, identificar los datos y las
incógnitas. Muchas veces le ayudará realizar un gráfico, introducir una
notación conveniente, o dividir el problema en partes.
Comparar lo dado con lo que debe demostrar. Piense si ya ha resuelto un
ejercicio semejante.
Elaborar un plan y ejecutarlo. Éste es el paso más difícil, debe encontrar el
camino que lo lleve a la solución y traducir el problema a una ecuación.
Corrobore cada paso dado.
Encontrar la respuesta y comprobarla.
.
Si no puede realizar algún ejercicio o tiene dudas, concurra al horario de consulta
de la Cátedra.
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42
RELACIONES PROPORCIONALES
RELACIONES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
INTRODUCCIÓN
Ejemplo 1:
La tabla muestra la relación entre las horas trabajadas y el dinero en pesos que obtuvo Juan
trabajando a razón de $3.00 por hora.
x = Horas Trabajadas
0 1 2 3
y = Pesos Ganados
4
0 3 6 9 12
En esta tabla, podemos ver que el dinero ganado (y) es igual al producto de las horas
trabajadas (x) por 3. La relación está dada por y = 3x
Observe que cada vez que aumenta una hora trabajada, los pesos ganados aumentan en 3.
Se dice que 3 es la constante de variación o proporción.
Otra manera de decir eso es que la razón de cambio es igual a 3.
Ejemplo 2
La tabla siguiente muestra la relación entre el número de cajas de leche y el número de
botellas que contienen.
x = Cajas de Leche
0
1
2
3
4
y = Botellas de Leche
0
4
8
12
16
En esta tabla, podemos ver que cada caja de leche contiene 4 botellas y que el número de
botellas de leche (y) se obtiene multiplicando el número de cajas de leche (x) por 4.
La relación está dada por y = 4x
4 es la constante de variación o proporción.
Definición:
Dadas dos variables x e y, cuando y = kx (k pertenece a los reales), se dice que
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43
y es directamente proporcional a x y que k es la constante de variación o de
proporcionalidad. K representa la razón de cambio de la relación.
Es decir, cada vez que x aumenta una unidad, y aumenta k unidades.
Para encontrar la constante de proporcionalidad analicemos el ejemplo:
Ejemplo 3:
Cuando x = 200, entonces y = 210. Escriba la fórmula que expresa que la relación entre x e y
es directamente proporcional.
Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.
y es directamente proporcional a x
y = k·X
Paso 2: Sustituir valores conocidos para encontrar k.
210 = k· 200
k=210/200=1.05
Paso 3: Sustituir k y escribir la fórmula.
y =1.05x
Resolver:
1) w es directamente proporcional a m. Si w = 42 cuando m = 6, encontrar el valor
de m cuando w = 140
2) A varía directamente con respecto a b. Si A = 3 cuando b = 8, encontrar el valor
de A cuando b = 1000
3) El importe del impuesto sobre ventas de un auto nuevo es directamente
proporcional al precio de venta del auto, si un auto de $95000 paga $1750 de
impuesto sobre ventas. ¿Cuál es el precio de venta de un coche nuevo que tiene un
impuesto sobre ventas de $3500?. De la ecuación correspondiente e identifique la
constante de proporcionalidad k.
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44
RELACIONES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
INTRODUCCIÓN
Ejemplo 1:
Trabajadores (x)
1
2
3
4
Horas para completar un trabajo (y)
12
6
4
3
La tabla anterior muestra la relación entre el número de trabajadores y la cantidad de horas
necesarias para completar el trabajo, si se asume que un solo trabajador necesita 12 horas
para completar el trabajo.
En esta tabla, se puede concluir que la cantidad de horas necesarias para completar el
trabajo es igual a 12 dividido entre el número de trabajadores.
y=12/x
k = 12 , es la constante de variación o proporción.
Mientras el número de trabajadores se incrementa (x), el número de horas para completar el
trabajo disminuye (y).
Ejemplo 2:
Velocidad (km/h)
1
2
4
8
8
4
2
1
Horas para completar la
vuelta
Ana correrá una carrera de 8 kilómetros en bicicleta. La tabla anterior muestra la relación
entre la velocidad con que pedalea y el número de horas requeridas para completar la vuelta
(asumimos que la velocidad es constante). De esta tabla, podemos ver que el número de
horas necesarias para arribar a la meta es igual a 8 dividido la velocidad con que pedalea.
Y = 8/x.
K = 8, es la constante de variación o proporción. Mientras Ana incrementa su velocidad, el
número de horas para completar el circuito disminuye.
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45
Definición
Dadas dos variables x e y:
y es inversamente proporcional a x significa que
y = k/x
para algún número real fijo diferente de cero “k”, y se llama constante de
variación o constante de proporcionalidad.
Para encontrar la constante de proporcionalidad analicemos el ejemplo:
Ejemplo 3:
r es inversamente proporcional a s. Si r = 15 cuando s = 3, escriba la fórmula de la relación
entre r y s.
Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación inversa.
r es inversamente proporcional a s significa
r = k/s
Paso 2: Sustituir las variables conocidas para encontrar k.
15 = k/3
k =15.3 = 45
Paso 3: Sustituir k y escribir la fórmula.
r = 45/s
Resolver
1) c varía inversamente con d. Si c = 100 cuando d = 0.2, escriba la fórmula para la
relación entre c y d.
2) El tiempo para completar un proyecto es inversamente proporcional al número de
personas que están trabajando en el proyecto. Un determinado proyecto puede ser
completado por 5 trabajadores en 24 días. Con el fin de terminar el proyecto antes, la
empresa planea contratar a más trabajadores. ¿Cuántos trabajadores se necesitan
para terminar el proyecto en 15 días?
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46
TRABAJO PRÁCTICO Nº3
Ejercicio Nº1: Completar el siguiente cuadro según se muestra en la primera fila
Expresión
Lenguaje corriente
Algebraica
El doble de x por y
(2x)y
Un número cualquiera
El triplo de un número
x/2
Un número par
2x + 1
½ (x + y)
- 2x2
La raíz cuadrada de un tercio de x
0,25 (x – y)
La suma de 14 más otro número es 19
Ejercicio Nº2: Un mayorista de muebles gana 25% sobre el costo de cada artículo que vende:
a) Si un escritorio lo compró a $250 ¿A cuánto deberá venderlo?
b) Si vendió una silla giratoria a $350 ¿cuál fue el precio de costo?
Ejercicio Nº3: Si el precio de costo de un auto es de $73.000 y la concesionaria lo vende a
$87.000 ¿cuál es la variación porcentual de aumento con respecto al costo?
Ejercicio Nº4: Para realizar un viaje de estudios del último año de la escuela se contratará un
colectivo que cuesta $ 4600. El 45% del valor del viaje lo pagará la cooperadora de la
escuela, 2/5 partes de lo que falta estará a cargo de los padres y para pagar el resto se
organizará un evento deportivo.
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47
a) ¿Cuánto dinero aporta la cooperadora?
b) ¿Qué porcentaje deben pagar los padres?
c) ¿Cuánto dinero deberán recaudar en el evento deportivo?
Ejercicio Nº5: Un vendedor de telas gana el 30% sobre cada producto que vende. (a) Si un
producto A le costó $560 ¿a cuánto debe venderlo? (b) Y si a otro producto B lo vendió a
$1800, ¿Cuál fue el precio de costo?
Ejercicio Nº6: La municipalidad de la ciudad de Posadas está realizando obras de
pavimentación y cordón cuneta en las calles del Barrio Norte A. Una cuadrilla de obreros ha
hecho las 3/5 partes de la cuneta de la calle Nº3 y otra cuadrilla el 20% de la calle Nº81.
Realiza una representación gráfica esquemática de cada calle y pinta la parte realizada por
cada grupo de trabajadores considerando que las calles miden 100 m de largo cada una.
Ejercicio Nº7: Indicar como fracción y porcentaje cuánto representan dos porciones de una
pizza que está dividida en 8 partes iguales. Represente gráficamente.
Ejercicio Nº8: Dos amigos decidieron comprar un billete de lotería que les costó $250. Juan
pagó 15% menos que Bruno. ¿Cuánto pagó cada uno?
Ejercicio Nº9: ¿Cuántas vacas formaban un lote si el dueño sacó primero la cuarta parte de
los animales para llevarlos a otro potrero, a la semana vendió la mitad de lo que quedaba,
pasados 5 días murieron tres y actualmente quedan 27?
Ejercicio Nº10: Juan y Lucía compraron un libro de Contabilidad al cursar la materia en el año
2011 que les costó $120, Juan puso el 37% del valor y Lucía el resto. Al año siguiente lo
vendieron por 2/3 del valor original y se repartieron el dinero en las mismas proporciones de
lo invertido. ¿Cuánto recibió Lucía?
Ejercicio Nº11: Al comprar una remera que cuesta $125, me ofrecen tres opciones de pagos
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48
Opción 1: Si pago de contado me harán un descuento del 15%.
Opción 2: Si pago con tarjeta de débito abonaré $143,75.
Opción 3: Si financio el pago en 5 cuotas, el recargo total será del 10% y en cada
cuota abonaré 1/5 del valor total.
Con esa información, responda:
a) Si dispusiera de $ 725, ¿Cuántas remeras podré comprar si pago de contado?
b) ¿A cuánto ascenderá cada cuota si opto por la opción 3 e invierto $1.000?
c) Con $650 ¿Cuál es el número máximo de remeras que podré adquirir según la opción 2?
d) ¿Cuánto ahorro si compro 10 remeras de contado, con respecto al pago con débito?
e) Opto por la opción 1 y compro 2 remeras: ¿el descuento será del 15% o del 30% sobre el
total? Justifique.
Ejercicio Nº12: La tierra tiene aproximadamente 1,3.104 km de diámetro y la luna 3,5.102
km. a) ¿cuántas veces es el diámetro de la tierra respecto del de la luna? b) ¿Qué porcentaje
representa el diámetro de la tierra respecto del de la luna? c) Calcule el diámetro
aproximado del sol si es 100 veces el de la tierra. Notación Científica
Ejercicio Nº13: Estime la cantidad kilos de basura que genera diariamente cada habitante en
un país si se sabe que la producción total anual es de 15,5 millones de toneladas y que el
total de habitantes es de 23 millones.
Ejercicio Nº14: Carla cobró el sueldo (S), y gastó $175 en un libro. Un cuarto de lo que le
quedó luego de adquirir el libro lo utilizó para realizar compras en el supermercado. Si aún le
quedan $2400. ¿Cuáles de las opciones siguientes son verdaderas?
a) Luego de ir a la librería a Carla le quedarán:
a.1) 2400 - 175
a.2) (S – 175)
a.3) Ninguna
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49
b) Si Carla gastó ¼ de lo que le quedaba en el supermercado, la ecuación que lo representa
es:
b.1) (s – 1/4s)
b.2) 1/4 (s – 175)
b.3) (s – 175) – (1/4s)
b.4) Ninguna
c) La relación que se plantea entre sueldo y gastos que realiza Carla se puede representar
por la ecuación:
c.1) s = (S – 175) - 1/4 (s – 175) + 2400
c.2) 2400 = S – 175 – ¼(s – 175)
c.3) Ninguna
Ejercicio Nº15: A partir de los siguientes enunciados, agregue una pregunta y resuelva la
ecuación que queda planteada:
a) “El precio de 5 kilos de pan es de $64”
b) “El 10% de un número es 40”
Ejercicio Nº16: Magia: Un mago realiza el siguiente truco: Le pide a un integrante del público
que piense un número y lo multiplique por 2; al resultado le sume el número siguiente al que
pensó, luego sume 8 y divida por 3. Finalmente reste el número que pensó. Le queda 3.
Arme la ecuación y encontrará la explicación de por qué este truco funciona siempre.
Ejercicio Nº17: Un repartidor de soda lleva en las botellas llenas, con tan mala suerte que
tropieza y se le rompe 2/5 de la mercancía. Entonces vuelve al camión y recoge 21 sifones
más, con lo que ahora tiene 1/8 más de la cantidad inicial. ¿Cuántos sifones tenía al
principio?
Ejercicio Nº18: El recargo por pago con tarjeta de un producto es del 15%. Indicar cuál o
cuáles de las siguientes expresiones simbólicas representan la situación planteada. Para P:
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50
precio de venta con tarjeta y C: precio de venta de contado
a)P = C + 15%
b) P = C + 15% P
c) P = C + 15% C
d) P = C (1, 15)
Ejercicio Nº19: Un cartel indica que los días martes el Supermercado A realiza descuentos
del 15% en productos de almacén. Indicar cuál o cuáles de las siguientes expresiones
simbólicas representan la situación para un bidón de cinco litros de aceite que cuesta $46.
(Para: D: precio de venta con descuento y C: precio de sin descuento).
a) D = 45 -15%
b) D = C - 15% D
c) D = C - 15% C
d) D = C (0,85)
Ejercicio Nº20: ¿Cuáles son los números cuyo doble excede a su mitad más treinta?
Ejercicio Nº21: La bodega “los Paraísos” paga a sus viajantes $10 por botella de vino
vendidos más una cantidad fija de $500. La bodega “Las Conde” de la competencia paga $15
por artículo y $300 fijos. ¿Cuántas botellas debe vender el viajante de Las Conde para ganar
más dinero que uno de los Paraísos?
Ejercicio Nº22: Si al doble de un número positivo le restamos la mitad de su cuadrado y da
por resultado cero ¿Cuál es ese número?
Ejercicio Nº23: Si a un número par lo nombramos “2x”, entonces a un número impar lo
nombramos como (2x+1) ó (2x-1). Con esa información halle dos números impares
consecutivos cuyo producto de por resultado 323.
Ejercicio Nº24: Analice las siguientes relaciones e Indicar cuáles son directamente
proporcionales, cuáles son inversamente proporcionales y cuáles no mantienen relación de
proporcionalidad.
a) Cantidad de kilos de papas comprados y precio final pagado por la compra.
b) Tiempo que tarda un coche en recorrer una distancia. (velocidad constante)
c) Número de páginas de un libro y su precio.
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51
d) Cantidad de días que tarda un determinado número de obreros para levantar una pared
a ritmo constante.
Ejercicio Nº25: Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45
días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?
Ejercicio Nº26: Sea la la función polinómica de grado 1: y = 2x
a) Represente gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas usando la raíz y la
ordenada al origen.
b) Analice si las variables mantienen una relación de proporcionalidad directa o inversa.
Justifique.
Ejercicio Nº27: Sea la función polinómica y = x
a) Clasifique al polinomio que caracteriza a la función.
b) Analice si las variables mantienen una relación de proporcionalidad.
c) En caso de que la relación sea de proporcionalidad, clasifíquela y de la constante de
proporcionalidad.
d) Represente gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas.
e) De el valor de la/las raíces y de la ordenada al origen y señálelas en el gráfico.
Ejercicio Nº 28: Por cada $100 que se invierten en un banco, el banco paga $5 de interés
simple por año. Calcule:
a) ¿Cuánto dinero se retirará al cabo de 7 años si depositan $1500?
b) Elija alguna de las siguientes fórmulas que sirva para representar la relación entre las
variables para “I” que representa al interés en pesos y “T” al tiempo en años: i) I = 1.500.
0, 5. T ii) I = 1.500 . 0, 05. T iii)
T = 1.000. 0,05. I
Ejercicio Nº 29: Candelaria se ubica en el sudoeste de la Provincia de Misiones a 23
kilómetros de la ciudad de Posadas. Otras de las ciudades cercanas son: Garupá a 16
kilómetros de distancia; Santa Ana a 22 kilómetros y San Ignacio a 36 kilómetros.
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52
a) Calcule cuánto tiempo tarda un ciclista para arribar a Candelaria desde esas localidades.
b) Si el ciclista sale a las 06 AM ¿a qué hora llegará a Santa Ana?
c) Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:
c1) Si aumenta la distancia recorrida por el ciclista, aumenta el tiempo utilizado en
recorrerla.
c2) Si pedalea dos horas, entonces recorre 40 kilómetros.
c3) La razón entre el tiempo y la distancia recorrida es constante.
c4) Si se duplica el tiempo pedaleado, entonces se triplica la distancia recorrida.
c5)Si se multiplica el tiempo por una constante positiva cualquiera, entonces la distancia
recorrida correspondiente al nuevo tiempo resulta de multiplicar la distancia por la
misma constante.
c6) La relación entre las horas pedaleadas y la distancia recorrida es una función de
proporcionalidad directa.
c7) La constante de proporcionalidad es 15.
Ejercicio Nº 29: Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de
capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles.
a) ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?
b) Analice si las variables mantienen una relación de proporcionalidad. En caso afirmativo
indique si es directa o inversa e identifique la constante de proporcionalidad.
c) Represente gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas.
d) De el valor de la/las raíces y de la ordenada al origen y señálelas en el gráfico.
Si no puede realizar algún ejercicio o tiene dudas, concurra al horario de consulta
de la Cátedra.
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EVALUACIONES DE AÑOS ANTERIORES
EVALUACIÓN DE ÁREA MATEMÁTICA Ingreso 2014 - FECHA: 06/03/2014
Tema 1
Ejercicio1: (6p)
a) Completar para x = 1/2:, entonces (-x) =……. -(-x) =……….1/(-x) =………..(x) -1 =……
b) Calcular: -2/3a(c-b)+ [ 3(a +b)c – a (2b+c)] -3ac. (Llegar a la mínima expresión)
c) Resolver: (1-1/2). 0,3+[ (1/2)-1.(2/3) – 0,25 ] + 0,1=
d) Representar en la Recta Real el conjunto de números enteros x que verifican: -3,5< x < 3
e) Colocar el signo: según corresponda: (1/5)-3…….1/(5-3)
f) Resolver la siguiente expresión y expresar en forma simplificada y con exponentes positivos:
(x/y)-2 + (x-2/y-2)
5
 1 
 =
−5
a 
g) Resolver: loga 5 
(para a > 0 y a ≠ 1)
h) Completar: log 7 343 = ……porque……….(aplicar definición de logaritmo)
i) Resolver: (y -1)2 – (y+1)2
Ejercicio 2: (2p)
Sea P(x) = 2x3 +2x4 -3 -3x, a) Indicar si x = -1 ´o x = -3 son raíces del polinomio. Justificar la respuesta.
De ser posible factorear P(x) en función de la o las raíces halladas. b) Encontrar el valor de la
ordenada al origen. c) Uno de los gráficos siguientes corresponde a P(x), indicar cuál es y Justifique su
elección.
Ejercicio 3: (2p)
Resolver: Se reparte una herencia entre tres herederos, Juan, Pedro y Marta. A Juan le tocan las dos
quintas partes, y a Pedro las tres décimas partes.
a) ¿Qué porcentaje reúnen entre Juan y Pedro? b) Si la herencia a repartir es de 60.000, ¿cuánto
dinero le toca a cada uno? c) ¿Qué porcentaje cobró el abogado por el tramite si el monto inicial a
repartir era de $ 61600?
EXAMEN LIBRE. CICLO DE NIVELACIÓN – ÁREA MATEMÁTICA - FECHA: JULIO/2013
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54
Ejercicio1:
Sea
P(x)
−4x+x + 8 + 2x
=
Q(x)
=
−4 + x
(2puntos)
a) Utilice el teorema del resto para saber si Q(x) es divisor de P(x). (b)De ser posible factoree
el polinomio dividendo en términos del divisor. (c) De el valor numérico del polinomio
dividendo cuando x toma el valor (- 1/7). (d) Para el polinomio Q(x): Grafique la función en
un sistema de coordenadas cartesianas, señale en el gráfico la ordenada al origen, la o las
raíces y de su valor.
Ejercicio 2: Resuelva las ecuaciones, verifique los resultados y dé el conjunto solución
(4puntos)
a) +
−
−
b) 5x 4 + 4x 2 = 1/(2x) -2
d) Simplifique la siguiente fracción hasta su mínima expresión
c) −/
Ejercicio 3: a) El recargo por pago con tarjeta de un producto es del 15%. Indique cuál o
cuáles de las siguientes expresiones simbólicas representan la situación planteada para P:
precio de venta con tarjeta
a1) P = C + 15%
C: precio de venta de contado. Explique su elección
a2) P = C + 15% P
a3) P = C + 15%C
a4) P = C (1,15)
(2puntos)
Ejercicio 4: Lucio viaja en colectivo desde Iguazú a Posadas, recorriendo una distancia de
320 kilómetros. Si viaja en automóvil a una velocidad constante de 110 km/hora:
a) ¿Al cabo de cuánto tiempo llega a destino?
b) ¿Cuánto tiempo pasa cuando recorre 2/5 del camino?
c) ¿Qué porcentaje del total del camino a recorrer hace al cabo de 45 minutos?
(2puntos)
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55
EXAMEN LIBRE. CICLO DE NIVELACIÓN – ÁREA MATEMÁTICA – FECHA: Marzo/2013
Ejercicio 1: Irene tiene un sueldo de $1200 mensuales. Gasta una tercera parte en el alquiler
del departamento que comparte con una amiga. Del resto, dedica 42% alimentación y gastos
de la casa y 2/5 a ocio y entretenimiento. (2p)
a) ¿Qué fracción del sueldo dedica a alimentación y gastos de la casa?
b) ¿Qué parte del sueldo gasta mensualmente y qué parte ahorra?
c) ¿Cuánto paga de alquiler?
Ejercicio 2: A partir de las siguientes expresiones:
a) Resuelva:
(2p)
: −4 =
b) Indique si es verdadera o falsa. Para las que sean falsas, de la respuesta correcta:
i)
ii) + "
c) 9,2x10-5 =…………………….. (Exprese en notación corriente)
d) Aplique la/las propiedades y exprese como suma o resta según corresponda:
(-3) (–x+1/3) =………………
Ejercicio3: Simplifique las siguientes expresiones:
I.
#
(2p)
$ ⋯ expreseelresultadousandoexponentespositivos
3
II.
Ejercicio4:
a)
… … ..
√3 7
8
0
b)log (2x - 4) = 1
(2p)
Ejercicio 5:
Para el polinomio P(x) = (-1/3)x2+2x - 3
a) Factoree la expresión en función
de las raíces
b) Grafique la función asociada a P(x) ; c) Diga si P(x) es divisible por Q(x) = x-1/2.
Justifique su respuesta.
(2p)
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56
EXAMEN PROMOCIONAL - CICLO DE NIVELACIÓN – ÁREA MATEMÁTICA Fecha: 06/03/2012
Ejercicio 1:
a) Indicar la propiedad de los números reales que justifica la siguiente igualdad:
2(a+b)*(a+b) =2(a+b)2.
10
científica: 1,4*10
(b) Expresar el resultado de la siguiente operación en notación
* 0,0000301 c) Indicar el mayor número racional x que verifica que x <
5/3
Ejercicio 2: Resolver las ecuaciones y verificar que los valores obtenidos son posibles
soluciones. En caso de no serlo, justificar la respuesta.
a) log 5 (x+1) + log5 (x+1)2 = log5 (4)6 -3 log5
b) √x # − 3 −2x
Ejercicio 3: Representar gráficamente una función cuya relación está dada por el polinomio
P(x) = (x-1)2. De ser posible, encontrar la/las raíces y señalarlas en el gráfico. En el mismo
gráfico representar una función cuya relación esté dada por un polinomio de grado 1 cuya
ordenada al origen sea (7/3).
Ejercicio 4: Simplificar
x2 − 5x − 6
x3 + 1
hasta llegar a la mínima expresión.
Ejercicio 5: Juan y Lucía compraron un libro de Contabilidad al cursar la materia en el año
2010 y les costó $120, Juan puso el 37% del valor y Lucía el resto. Al año siguiente lo
vendieron y se repartieron el dinero en las mismas proporciones de lo invertido. Lucía
recibió $56, ¿A cuánto se vendió el libro en el año 2011?
Ejercicio 6: (a) Comprobar por el teorema del resto si (1) ó (-1) son raíces de
P(x) =2x3 + x2 - 5x + 2,. (b)Hallar las raíces del polinomio y factorearlo completamente
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------EXAMEN PROMOCIONAL - CICLO DE NIVELACIÓN – ÁREA MATEMÁTICA. Fecha 28/02/2012
Ejercicio 1: En un colegio se quiere organizar una excursión en primavera. Se contrata un
colectivo con conductor que dispone de 40 plazas para alumnos y cuesta $3600. Si se llena el
colectivo, ¿cuánto debe pagar cada alumno? ¿Y si sólo se cubren la mitad de las plazas?
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Ejercicio 2:
2.1. Sea un polinomio P(x) divisible por el binomio (x – a): Indicar cuál/cuáles de las
siguientes afirmaciones son verdaderas:
a) La división del polinomio P(x) por el binomio (x - a) es exacta.
b) (x - a) es un factor del polinomio: P(x) = (x - a) C(x), siendo C (x) el cociente de P(x)
: (x-a)
2.2. Expresar en notación científica el número 1/789.
Ejercicio 3: Expresar como producto de factores el polinomio P(x) =2x3 + x2 - 5x + 2,
sabiendo que una raíz toma el valor 1(uno)
Ejercicio 4: Representar gráficamente una función cuya relación está dada por el polinomio
P(x) = (x – 2)2. De ser posible, señalar la/las raíces en el gráfico. Indicar el valor de la
ordenada al origen.
Ejercicio 5: Resolver
5.1. 1253x-10 = 254x+11
Ejercicio 6: Simplificar
5.2. log (x+6) - log(2x-1) = 0
x 2 + 2bx + b 2 x 2 − b 2
:
b 2 + bx
x+b
hasta llegar a la mínima expresión.
Ejercicio 7: Indique cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es/son correctas:
La siguiente gráfica corresponde a la función polinómica:
a)P( x) = 2 x 2 − 4 x + 8
b)P( x) = (−2 x − 6) * ( x − 1)
c)P ( x) = −2( x − 3) * ( x + 1)
d ) Ninguna
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