las variaciones de sol lewitt sobre cubos abiertos incompletos

SIGMA
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LAS VARIACIONES DE SOL LEWITT SOBRE CUBOS
ABIERTOS INCOMPLETOS
Vicente Meavilla Seguí (*)
Figura 1. Sol LeWitt. Incomplete Open Cube,1974
INTRODUCCIÓN
La fotografía de la figura anterior reproduce una bella estructura tridimensional del artista minimalista norteamericano Sol LeWitt (1928-2007) que forma parte de la colección Variations of
Incomplete Open Cubes, integrada por más de un centenar de obras.
Todas las esculturas de dicha serie (cubos abiertos incompletos) se generan a partir del esqueleto de un cubo del que se eliminan n aristas (1 ≤ n ≤ 9) de modo que la composición resultante
no esté "contenida" en un plano.
(*) Departamento de Matemáticas. Universidad de Zaragoza.
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Así, el objeto 3D de la figura 2 no es un cubo abierto incompleto con tres aristas.
Figura 2. Estructura tridimensional que no se encuentra en el catálogo de la colección de Sol LeWitt
EL PROBLEMA
Llegados a este punto parece natural que nos planteemos el siguiente interrogante:
¿De cuántas esculturas consta la colección Variations of Incomplete Open Cubes?
Para responder a esta pregunta esbozaremos un proceso empírico(1) de aproximaciones sucesivas que si se aplica pacientemente permite resolver los nueve subproblemas siguientes:
¿Cuántos cubos abiertos incompletos distintos tienen tres aristas?
¿Cuántos cubos abiertos incompletos distintos tienen cuatro aristas?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¿Cuántos cubos abiertos incompletos distintos tienen once aristas?
A lo largo del procedimiento utilizaremos un material didáctico, disponible en el mercado, y
compuesto por cubos encajables.
CUBOS ABIERTOS INCOMPLETOS CON TRES ARISTAS
Haciendo uso de dicho material no resulta difícil construir los tres cubos abiertos incompletos
con tres aristas (véase la figura 3).
Figura 3. Los tres cubos abiertos incompletos con tres aristas
CUBOS ABIERTOS INCOMPLETOS CON CUATRO ARISTAS
Añadiendo una nueva arista a cada una de las tres esculturas anteriores se pueden generar
cubos abiertos incompletos con cuatro aristas.
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Así, a partir del sólido naranja de la figura 3 se pueden diseñar las seis estructuras siguientes:
Figura 4. Seis cubos abiertos incompletos naranjas con cuatro aristas
¿Son todas distintas?
Manipulando físicamente los seis objetos 3D anteriores se observa que cada una de las parejas
1-6, 2-5 y 3-4 define una escultura diferente.
Por tanto, a partir del sólido naranja de la figura 3 se obtienen tres cubos abiertos incompletos
con cuatro aristas (el 1, el 2 y el 3 de la figura 4).
Por otro lado, añadiendo una arista a la estructura amarilla de la figura 3 se engendran media
docena de cubos abiertos incompletos con cuatro aristas (véase la figura 5).
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Figura 5. Seis cubos abiertos incompletos amarillos con cuatro aristas
Manipulando convenientemente las seis esculturas anteriores se descubre que cada una de las
ternas 7-9-12 y 8-10-11 define un objeto tridimensional diferente.
Además, el sólido 7 es análogo a la estructura 1 de la figura 3.
En consecuencia, los seis sólidos amarillos sólo dan origen a una nueva escultura: la 8.
Por último, si se añade una arista al cubo abierto incompleto azul de la figura 3 se obtienen
las seis composiciones 3D representadas en la figura 6.
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Las variaciones de Sol LeWitt sobre cubos incompletos
Figura 6. Seis cubos abiertos incompletos azules con cuatro aristas
Resulta fácil comprobar que cada una de las parejas 13-15, 14-16 y 17-18 define una escultura
diferente.
Además, la estructura 13 coincide con la 1 y la 14 con la 8.
Por tanto, los seis objetos azules sólo dan origen a un nuevo cubo abierto incompleto: el 17.
Resumiendo:
Con cuatro aristas se pueden construir cinco cubos abiertos incompletos (véase la figura 7).
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Figura 7. Los seis cubos abiertos incompletos con cuatro aristas
CUBOS ABIERTOS INCOMPLETOS CON MÁS DE CUATRO ARISTAS
A partir de aquí, resulta claro que para contar los diferentes cubos abiertos incompletos con
cinco aristas deberemos añadir (de todas las formas posibles) una arista a cada una de las
cinco estructuras anteriores, eliminar las estructuras que estén repetidas y contabilizar las que
sobren. De este modo se llegan a descubrir catorce esculturas con cinco aristas.
Añadiendo una nueva arista a cada uno de los catorce objetos 3D anteriores obtendremos
cubos abiertos incompletos con seis aristas de los cuales sólo veinticuatro son distintos.
Repitiendo el mismo procedimiento hasta que las esculturas tengan once aristas podríamos
contar el número de cubos abiertos incompletos con siete, ocho, nueve, diez y once aristas.
En la tabla adjunta, a modo de resumen, se indica el número de esculturas de cada clase.
Dejamos al lector interesado la construcción de los objetos de cada tipo(2).
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Las variaciones de Sol LeWitt sobre cubos incompletos
Número de aristas
Número de cubos abiertos incompletos
3
3
4
5
5
14
6
24
7
32
8
25
9
13
10
5
11
1
Total
122
UN PAR DE CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS
• E l procedimiento descrito en las líneas precedentes quizás tiene escaso interés desde un
punto de vista estrictamente matemático.
No obstante, si se atiende:
(1) a la tenacidad que debe tenerse para ponerlo en práctica,
(2) al orden que debe seguirse para construir cada uno de los diversos objetos 3D involucrados en la resolución del problema, y
(3) a la meticulosidad necesaria para eliminar las esculturas repetidas,
resulta que la propuesta y desarrollo de situaciones problemáticas semejantes a la que
hemos presentado en este artículo puede ser de gran utilidad a la hora de inculcar en
nuestros alumnos y alumnas contenidos no conceptuales que podrán serles tanto o más
útiles que aquellos en muchas facetas de su vida.
• E l procedimiento descrito en este artículo se puede desarrollar sin la ayuda de material didáctico susceptible de ser manipulado físicamente (p. e.: con diagramas 2D). En esta situación,
el reconocimiento de estructuras idénticas resulta más dificultoso y, consecuentemente, es
preciso que los alumnos tengan una “visión” del espacio tridimensional más refinada de la
que se precisa si se dispone de algún material similar al que hemos utilizado.
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REFERENCIAS
Sol LeWitt (American, 1928):
ttp://www.artnet.com/Galleries/Artists_detail.asp?G=&gid=826&which=&aid=
h
10484&ViewArtistBy=online&rta=http://www.artnet.com
Sol LeWitt: Devant l’ouvre Incomplete Open cube
http://www.geneve.ch/cellule-pedagogique/asource/Lewitt02.pdf
Sol LeWitt (American, 1928): Incomplete Open Cube 7/1, 1974.
http://www.uky.edu/ArtMuseum/luce/Top50/50/pages/LeWitt_jpg.htm
Sol LeWitt. Incomplete Open Cube 7/1, 1974
NOTAS
(1) Consideramos que el procedimiento que vamos a utilizar para contar el número de cubos abiertos incompletos se puede desarrollar
(al menos en parte) con alumnos de Educación Secundaria Obligatoria.
(2) Losesquemas de los 122 cubos abiertos incompletos se encuentran en la siguiente dirección:
http://www.geneve.ch/cellule-pedagogique/Lewitt02.pdf
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