INGENIERÍA CIVIL EN MECÁNICA PLAN 2002 GUÍA DE LABORATORIO

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE INGENIERÍA
Departamento de Ingeniería Mecánica
INGENIERÍA CIVIL EN MECÁNICA
PLAN 2002
GUÍA DE LABORATORIO
ASIGNATURA “ RESISTENCIA DE MATERIALES II ”
NIVEL 06
EXPERIENCIA C-973
“ MEDICION DE TENSIONES DE HERTZ”
HORARIO: VIERNES 13-14-15-16
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Departamento de Ingeniería Mecánica
MEDICION DE TENSIONES DE HERTZ
1.
Objetivo General
1.1 Mediante el método fotoelástico, determinar la distribución y el valor de los
esfuerzos de contacto o tensiones de Hertz que se producen cuando dos
cuerpos interaccionan entre ellos.
1.2 Aplicar lo anterior al análisis de tensiones entre un pasador y una biela.
2.
Objetivos Específicos
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3.
Calibrar el material fotoelástico
Determinar niveles de esfuerzo y orden de franjas
Interpretar curvas isocromáticas
Determinar esfuerzos máximos y su ubicación
Comparar resultados experimentales con valores teóricos
Esfuerzos de Contacto de Hertz
Cuando dos cuerpos que tienen superficies curvas se presionan uno contra otro,
el contacto en punto o línea se transforma en contacto de área, y el esfuerzo
desarrollado en ambos cuerpos es tridimensional. Estos problemas de esfuerzo
de contacto surgen en los siguientes casos: el contacto entre una rueda y un riel o
entre una leva y su seguidor o contraleva, en el ajuste de dientes de engranes y
en la acción de cojinetes de rodamiento. Las fallas comunes que ocurren en la
superficie son grietas o cuarteaduras, hendiduras o desprendimiento de partículas
del material.
El caso mas general de esfuerzo de contacto ocurre cuando cada cuerpo en
contacto tiene un doble radio de curvatura; esto es, cuando el radio en el plano de
rotación es diferente del radio en un plano perpendicular, y ambos planos pasan
por el eje de la fuerza de contacto. Aquí sólo consideraremos los dos casos
especiales de esferas y cilindros en contacto. Los resultados que se presentan
fueron obtenidos por Hertz y en consecuencia se les conoce en general como
esfuerzo de Hertz o hertzianos.
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3.1 Cuando dos esferas macizas de diámetros d1 y d2 se presionan entre sí con
una fuerza F se obtiene un área de contacto circular de radio a. Si se
especifica que E1, 1, E2 y 2 son las constantes elásticas respectivas de las
dos esferas, el radio a será determinado por la ecuación.
a3
3F (1   12 ) / E1  (1   22 ) / E 2
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1 / d1  1 / d 2
(3-1)
La presión dentro de cada esfera tiene distribución semielíptica, como se
indica en la figura 1. La presión máxima ocurre en el centro del área de
contacto y es
Pmáx 
3F
2a 2
(3-2)
Las ecuaciones (3-1) y (3-2) son perfectamente generales y se aplican
también al contacto de una esfera y una superficie plana, o a una esfera
apoyada contra una superficie esférica interna. Para una superficie
plana d = ∞. En el caso de superficies internas, el diámetro se expresa como
una cantidad negativa.
Fig. 1
a) Dos esferas mantenidas en contacto por una fuerza F.
b) El esfuerzo de contacto tiene una distribución elíptica en la cara
de contacto de ancho 2a.
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Los esfuerzos máximos se tienen en el eje z y son esfuerzos principales.
Sus valores son


 x   y   Pmáx 



2 




1  z tan  1 1  (1   ) 
z
a



a

 Pmáx
z2
1 2
a
1

z2
21  2
 a









(3-3)
(3-4)
Estas ecuaciones son válidas para una u otra esfera, pero el valor utilizado
para la relación de Poisson debe corresponder a la esfera en consideración.
Las ecuaciones son todavía más complicadas cuando se han de determinar
estados de esfuerzo ubicados fuera del eje z, pues en este caso también
deben incluirse las coordenadas x e y. Sin embargo, tales coordenadas no
se requieren para fines de diseño, pues los esfuerzos máximos se presentan
en el eje z.
Los círculos de Mohr para el estado de esfuerzo descrito en relación con las
ecuaciones (3-3) y (3-4) son un punto y dos círculos coincidentes. Puesto
que  x =  y entonces  xy = 0, y
 xz   yz 
 x  z
2

 y  z
(3-5)
2
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Fig. 2
Magnitud de las componentes de esfuerzo debajo de la superficie en
función de la presión máxima de contacto de las esferas. Obsérvese que
el esfuerzo cortante máximo está ligeramente debajo de la superficie y
vale aproximadamente 0.3 Pmáx. El diagrama se basa en una relación (o
razón) de Poisson de 0.30. Nótese que los esfuerzos normales son de
compresión.
La figura 2 es una gráfica de las ecuaciones (3-3) y (3-4) para una distancia
desde cero hasta 3a hacia abajo de la superficie. Se debe notar que,
ligeramente abajo de la superficie, el esfuerzo cortante alcanza un valor
máximo. En opinión de muchos autores, este esfuerzo cortante máximo es
la causa de las fallas por fatiga en la superficie de los elementos en contacto.
La explicación es que una grieta se origina en el punto de esfuerzo cortante
máximo bajo la superficie y avanza subiendo hasta esta última, y que la
presión del lubricante, al hacerlo fluir hacia la grieta, afloja y desprende
partículas.
3.2
La figura 3 muestra una situación semejante, en la que los elementos en
contacto son dos cilindros de longitud I y diámetros d 1 y d2. Como se ve en
la figura 3, el área de contacto es un rectángulo angosto de ancho 2b y
longitud I, y la distribución de la presión es elíptica. El semiancho b lo da la
ecuación.
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b
2 F (1   12 ) / E1  (1   22 ) / E 2
l
1 / d1  1 / d 2
(3-6)
La presión máxima es
Pmáx 
2F
bl
(3-7)
Fig. 3 a) Dos cilindros mantenidos en contacto por una fuerza F
uniformemente distribuida en la longitud I del cilindro.
b) El esfuerzo de contacto tiene distribución elíptica en la cara de
contacto de ancho 2b.
Las ecuaciones (3-6) y (3-7) se aplican a un cilindro y una superficie plana,
como un riel, haciendo d = ∞ para esta superficie. También se aplican al
contacto de un cilindro y una superficie cilíndrica interna; en este caso, se
considera que d es negativa.
El estado de esfuerzo en el eje z está dado por las ecuaciones



 x  2p máx  1 
z 2 z 

b 2 b 
(3-8)
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

1
 y   p máx  2 

z2

1 2

b
z 



2

 1 z  2 z 

b
b2



 p máx
(3-9)
(3-10)
1  z 2 / b2
Estas tres ecuaciones se representan en forma gráfica en la figura 4 hasta
una distancia de 3b debajo de la superficie. Aunque no es el mayor de los
tres esfuerzos cortantes para todos los valores de z/b, es máximo
aproximadamente a z/b = 0.75, y resulta mayor en ese punto que cualquiera
de los otros dos esfuerzos cortantes para un valor de z/b.
Fig. 4
Magnitud de las componentes de esfuerzo debajo de la superficie en
función de la presión máxima de contacto de los cilindros. El esfuerzo
se vuelve el mayor de los tres esfuerzos cortantes aproximadamente en
z/b = 0.75; su valor máximo es 0.30 pmáx.
El diagrama está
basado en una relación de Poisson de 0.30 ¿Puede señalar qué
pareja de esfuerzos principales se utilizan para determinar máx cuando
z/b < 0.75? Nótese que todos los esfuerzos normales son de
compresión.
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4.
Método a seguir
Se instalará en un marco de carga la probeta de acrílico que simula el trabajo de
una biela contra un pasador de acero que se someterán a una acción y reacción
entre las superficies en contacto. La fuerza aplicada se medirá con una celda de
carga.
El número de “orden de franja” N está relacionado con el color de las franjas
coloreadas que se forman de acuerdo a la tabla 4.1 secuencia de colores que se
generan al ir aplicando carga.
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Marco de Carga
Aquí se instala la probeta y la celda de carga. Este conjunto se intercarla entre las
placas del polariscopio.
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Modelo de biela construida en material foto-elástico.
kg
 cm
2
cm
C  21,43
franja
e  1 / 4"  0,635 cm
C = Constante óptica del material
e = Espesor del material foto-elástico (probeta)
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5.
Temas de interrogación
 Esfuerzos principales y círculo de Mohr
 Esfuerzos que ocurren en el contacto entre superficies de cuerpos que
interaccionan entre sí, las aplicaciones más comunes son:





Esfuerzos en dientes de 2 engranajes en contacto.
Presión entre bolitas o rodillos de rodamientos contra su pista.
Esfuerzos en la rueda de ferrocarril y en el riel
Presión entre una leva y su seguidor
Presión entre los huesos de la pierna y la rótula de la rodilla. Aplicaciones
similares en codos, manos, columna, etc.
 Presión entre frutas y embalajes en el proceso de transporte.
6.
Equipos e instrumentos a utilizar





7.
Polariscopio de transmisión
Marco de carga
Celda de carga de 200 kilogramos
Probeta de material foto-elástico transparente.
Pasador de acero y su sistema de sujeción.
Lo que se pide en el informe



Descripción de la experiencia realizada
Comparación experimental y teórica de los esfuerzos que se generan en el
contacto de las superficies curvas
Conclusión general de la experiencia.
Bibliografía.





Daly y Siegren (Memoria Nº0836)- “Análisis de Tensiones en Pasador y Biela”
Timoskenko y Goodier -“Teoría de Elasticidad”
Frocht -“Photolasticity”
Tuppeny y Kobayashi- “Análisis Experimental de Tensiones”
Kuske y Robertson -“Photo-elastic Stress Análisis”
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