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OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA
Problemas resueltos y comentados por:
José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo
XXXIII OLIMPIADA DE FÍSICA – INDONESIA, 2002
I.-RADAR PENETRANTE BAJO TIERRA
1) El radar penetrante bajo tierra (GPR) se utiliza para detectar y
localizar objetos que están bajo la superficie terrestre a poca
profundidad, para ello, se envían ondas electromagnéticas al interior de
la tierra y se reciben las ondas reflejadas por los objetos. La antena y el
detector están colocados sobre la superficie terrestre y en el mismo lugar.

que se propaga en la dirección z está representada mediante la
ecuación
E  Eoe αz cosωt  βz
En la que Eo es constante,  es el coeficiente de atenuación y  es el
número de onda expresados por
α ω

με 
σ2
 1  2 2  1
2 
ε ω

;
β ω

με 
σ2
 1  2 2  1
2 
ε ω


 y  representan la permeabilidad magnética, la permitividad eléctrica
y la conductividad eléctrica respectivamente.
La señal no se detecta cuando la amplitud de la señal del radar que
proviene del objeto cae por debajo de 1/e (37%) de su valor inicial. Se
emplea una onda electromagnética de frecuencia variable (10 MHz a
1000 MHz) con la finalidad de ajustar el rango y resolución de la
detección.
El funcionamiento del GPR depende de su resolución, la cual representa
la mínima separación entre dos objetos reflectantes que pueden
detectarse. La mínima separación debe originar como mínimo una
diferencia de fase de 180º entre las dos ondas reflejadas que llegan al
detector
Datos: o= 4.10-7 H/m
y
o= 8,85.10-12 F/m
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a) Suponer que la tierra es no magnética ( o) cumpliéndose la
2
σ 
condición 
 <<1. Obtenga la velocidad de propagación v en
ω ε 
términos de y 
b) Calcular la máxima profundidad a la que se puede detectar un objeto
si la conductividad de la tierra es 1,0 mS/m y la permitividad 9 o,
2
σ 
cumpliéndose la condición 
 <<1
ω ε 
c) Considerar dos barras conductoras paralelas que están enterradas bajo
tierra a una profundidad de 4m. La tierra tiene una conductividad de
1,0mS/m y una permitividad de 9o. Suponer que el GPR está situado
por encima de una de las barras y suponer que el detector es puntual.
Calcule la mínima frecuencia requerida para obtener una resolución
lateral de 50 centímetros.
d) Para determinar la profundidad de una barra enterrada a una
distancia d de la superficie terrestre se hacen medidas a lo largo de una
línea perpendicular a la superficie terrestre y el resultado de las mismas
se refleja en la siguiente gráfica
Posición
del
detector
x
t
Gráfica del tiempo empleado t frente a la posición x del detector, t (mínimo ) =100 ns
Obtener la expresión matemática que relaciona t en función de x y
calcular el valor de d.
a) .- Obtenga la velocidad de propagación v en términos de y 
Recordemos que la ecuación de una onda armónica es
2z 
 t z
 2t 2z 
 2v
E  E o cos 2    E o cos

t
  E 0 cos

 
 
T 
 T
 
identificando el paréntesis de la ecuación del problema con la ecuación anterior, se
tiene:
2v
2


; 
   v  v 



El número de ondas que da el enunciado es:
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360


 
2
 1  2 2  1
2 
 

2
 1
 2 2
si

   
1
De las ecuaciones (1) y (2) se deduce v 

b).- Calcular la máxima profundidad a la que se puede detectar un objeto
E
El limite de detección se produce, según el enunciado, cuando E  o  0,37Eo
e
Eo
1
1
 E o e z 
 e z  1  e z1  ln 1  z  1  z 
e
e

1
zm 

με 
σ2
ω
 1  2 2  1
2 
ε ω

1

σ2  2
1 σ2
n
Aplicando el desarrollo 1  x   1  nx , esto es, 1  2 2   1 
2 ε 2ω2
 ε ω 
1
2 ε
zm 

2
σ μ
μ σ
4ε
Teniendo en cuenta que
  1,0
mS
m
,
H
m
   o  4.10 7
zm 
2
1,0.103
,
  9 o  9 * 8,85.10 12
F
m
9 * 8,85.1012
 15,9 m
4.107
c) .- Calcule la mínima frecuencia requerida para obtener una resolución lateral de
50 centímetros.
En la figura inferior se observa que la onda electromagnética para detectar la primera
barra debe recorrer la distancia d , dos veces ida y vuelta, y para detectar la otra barra la
distancia d1, también dos veces.
Tierra
d=4m
d1
0,50 m
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El enunciado del problema dice que para la resolución la diferencia de fase debe ser
180º, por tanto entre la ida y la vuelta, debe existir una diferencia de media longitud de

onda, o lo que es lo mismo d 1  d 
4


2
2
 2  32  4  0
 d    d  0,50
4

Con este dato podemos obtener la frecuencia
2
v  f  f 

  0,125 m
v
1 1
1
1
1
1



 8,0.108 Hz

 
 o * 9 o 
4.107 * 9 * 8,85.1012 0,125
d).- Obtener la expresión matemática que relaciona t en función de x y calcular el
valor de d.
En la figura se observa que cuando el detector y antena estén justamente encima del
objeto enterrado, la longitud que recorre la onda es mínima y por tanto el tiempo
empleado en dicho recorrido
x
d
D
d 2  x 2  D2  v2 t 2 ,
como
v
1


1
3 0 * 0
 1,0.108
m
s
x  1016 t 2  d 2
Al tiempo mínimo (t mínimo de ida y vuelta = 100 ns) , le corresponde el valor x = 0.
0  1016 t 2  d 2  d  108 t  108 * 50.109  5 m
II.-SEÑALES ELÉCTRICAS TRANSMITIDAS
Algunos animales marinos tienen la habilidad de detectar a otras
criaturas situadas a cierta distancia debido a las corrientes eléctricas que
producen estas criaturas al respirar o a otras contracciones musculares.
Algunos predadores utilizan estas señales eléctricas para localizar a sus
presas aun cuando se encuentren escondidas bajo la arena.
El mecanismo eléctrico que subyace en la generación de la corriente por
parte de las presas y su detección por parte del predador pueden
modelarse tal como indica la figura 1.
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Rd
Predador
P
l
d
y
Presa
ls
Fig1.- Un modelo para describir la detección de la potencia eléctrica proviniente
de una presa hacia su predador
La corriente eléctrica generada por la presa fluye entre dos esferas con
potenciales positivo y negativo situadas en el cuerpo de la presa. La
distancia entre los centros de las dos esferas es ls y cada esfera tiene un
radio rs , siendo rs mucho más pequeño que la distancia ls.
La resistividad del agua de mar es . Se supone que la resistividad del
cuerpo de la presa es igual a la del agua de mar, lo cual supone que se
debe ignorar la frontera límite indicada en la figura 1 para la presa.
Con la finalidad de describir la detección de la potencia eléctrica por
parte del predador, el detector se modeliza también mediante dos esferas
situadas en su cuerpo y que se encuentran en contacto con el agua de
mar, situadas de forma paralela a las de la presa. Ambas esferas se
encuentran a una distancia ld y cada una posee un radio rd, siendo éste
muy pequeño respecto de la distancia ld. El campo eléctrico a lo largo de
la linea de conexión de ambas esferas es constante. En este caso el centro
del detector se encuentra a una distancia y por encima de la fuente como
indica la figura1.
El detector forma un circuito eléctrico cerrado formado por la presa, el
agua de mar y el predador, tal como indica la figura 2.
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363
Rm
V
+
Rd
Vd
Fig 2.- El circuito cerrado es equivalente al del predador la presa y el agua de mar.
En la figura 2, V es la diferencia de voltaje entre las esferas del detector
debido al campo eléctrico inducido por la presa, Rm es la resistencia
eléctrica debida al agua de mar, Vd y Rd son respectivamente la diferencia
de voltaje entre las esferas detectoras y la resistencia entre ellas debido al
cuerpo del predador.

1.- Determinar la densidad de corriente j (corriente por unidad de área)
causada por una fuente de corriente puntual Is a una distancia r en un
medio infinito.


2.- Basado en la ley E  ρ j , calcular la intensidad del campo eléctrico
Ep en el medio de las esferas de detección ( punto P) para una corriente
dada Is entre las esferas del cuerpo de la presa.
3.-Determinar para la misma corriente Is la diferencia de voltaje Vs entre
las esferas de la presa y la resistencia eléctrica entre ellas y la potencia
producida por la fuente
4.-Calcular Rm y Vd de la figura2 y también la potencia transferida (Pd)
desde la fuente al detector
5.-Calcular el valor óptimo de Rd que permite la máxima potencia de
detección y determinar el valor de ésta.
Los modelos de campo fuente (source-field) más sencillos son el monopolo y el dipolo.
A efectos de resolver este problema se puede hacer mediante las leyes electrostáticas,
cambiando Is por la carga estática y  reemplaza a la permitividad y el vector densidad
de corriente j está relacionado con el campo mediante la expresión
j
j  E  E   j


1).- Determinar la densidad de corriente j
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El campo creado por una carga puntual en un medio de permitividad , esta dado por la
expresión
I
1 Q
1 Is
E
e  j 
e 
j  s 2 e (1)
2
2
4 r
4  r
4r
e es un vector unitario con origen en la corriente punto y dirigido hacia le punto que
dista r.
2).- Calcular la intensidad del campo eléctrico
Para calcular el campo en el punto P lo hacemos como si las esferas fuesen conductores
con cargas eléctricas de distinto signo y aplicando la expresión (1)
Y
E+
P
Presa
E_
y
uy
ux
X
A
ls
ls
ux es un vector unitario en la dirección positiva del eje X , uy es un vector unitario en la
dirección positiva del eje Y
I s
E   j 
e 1 (2)
4r 2
e1 es un vector unitario dirigido en la dirección y sentido AP y vale
e1 
AP O P  O A


AP
AP
ls
ux
2
(3)
l s2
2
y 
4
yu y 
Se sustituye (3) en (2)




ls
yu y  u x 

I s
I s
I
2 
E   j 
e 
e  s
2 1
2 1
3
4 
4r
4AP
2 2 


l
  y2  s  
 
4  
Siguiendo el mismo procedimiento para E- resulta:
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365




ls
yu  u
I s  y 2 x 


E  
3
4 
2 2 
  y 2  l s  
 
4  
El campo resultante






I
lsu x

EP  E  E   s 
3
4 
2 2 
  y 2  l s  
 
4  
Teniendo en cuenta que y>> ls
I l
E P   s s3 u x (4)
4y
3).- Determinar para la misma corriente Is la diferencia de voltaje V s entre las
esferas de la presa y la resistencia eléctrica entre ellas y la potencia producida por
la fuente
Seguimos suponiendo que las esferas son dos conductores. El potencial de la positiva en
su centro debido a la carga de ella misma es:
I
V  s
4rs
y el dela esfera negativa
I
V   s
4rs
Se hace la aproximación de que al ser ls>>rs la influencia de una esfera en otra es
despreciable
I
V  V  V  s (5)
2rs
Con más rigor debemos tener en cuenta para el cálculo del potencial el que crea una
esfera en el centro de la otra. Así
I
I s
I
I s
V  s 
;
V   s 
4rs 4l s  rs 
4rs 4l s  rs 
V  V  V 
2I s
2I s
I l  r   I s rs I s l s  2rs 

 s s s

4r s 2l s  rs 
2rs l s  rs 
2rs l s  rs 
La expresión anterior conduce a (5) cuando ls>>rs
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I s
V
2rs

La resistencia eléctrica entre las dos esferas vale: R s  s 
(6)

Is
Is
2rs
La potencia:
I s2
(7)
P  Vs I s 
2rs
4).- De acuerdo con la expresión (6) el valor de Rm es: R m 

2rd
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El campo eléctrico creado por la presa en el punto P corresponde a la expresión (4).
Teniendo en cuenta que este es constante resulta:
V  E P * ld 
I s l s l d
4y 3
Si observamos el circuito eléctrico del enunciado
id 
V
; i d  Vd R d
Rd  Rm

Vd 
VR d
I l l
 s s 3d
Rd  Rm
4y
 I l l
VVd
V2R d
Pd  i d Vd 

  s s 3d
2
R d  R m R d  R m 
 4y
Rd
Rd 

2rd
2

Rd

(8)
2
 
 
 R d 

2rd 

Para calcular el valor máximo de la potencia transmitida derivamos la expresión (8)
respecto de la variable Rd e igualamos a cero.
 R  R m 2  2R d R d  R m 
dPd
ρ
 V2  d
  0  R d  R m  2R d  0  R d  R m 
4
dR d
2ππd
R d  R m 


 I l l
Pd (max)  s s 3d
 4y
2

 I l l
R
 * m2   s s 3d
 4R m  4y
 2rd  I s l s l d 
 *

4
32y 6

2
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2
368
III- VEHÍCULO PESADO MOVIÉNDOSE POR UN PLANO
INCLINADO
La figura III-1 es un modelo simplificado de un vehículo pesado que
tiene un cilindro en la parte trasera y otro en la delantera como ruedas y
que se desplaza por un plano inclinado de ángulo q. Cada cilindro tiene
una masa M y su forma (ver figura III.2), consiste en una cilindro hueco
siendo el radio exterior Ro= R y el interior Ri = 0,8 Ro, además lleva ocho
radios iguales distribuidos simétricamente siendo la masa total 0,2 M. La
masa del tren de aterrizaje que soporta el armazón del vehículo se
considera despreciable. El vehículo se desplaza hacia debajo de un plano
inclinado por la acción del campo gravitatorio terrestre y de las fuerzas
de rozamiento
L
m2
cilindro
trasero
2l
R0
m1
m3
t
Ri
h
cilindro
frontal

Fig. III-2
Fig. III-1
Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre los cilindros y la
carretera son s y k respectivamente. El armazón del vehículo tiene una
masa 5M, una longitud L y un espesor t. La distancia entre los centros
de los cilindros es 2l y éstos están dispuestos simétricamente respecto del
armazón. La distancia desde el centro de un cilindro a la base inferior del
armazón es h. El rozamiento entre eje y cilindro es despreciable.
1) Calcular el momento de inercia de cada cilindro
2) Dibujar todas las fuerzas que actúan en los cilindros y en el armazón.
Escribir las ecuaciones de movimiento de cada parte (cilindros y
armazón)
3) El vehículo parte del reposo y se mueve libremente bajo la influencia
del campo gravitatorio. Calcular las aceleraciones para los siguientes
casos: 1) rodadura pura de ambos cilindros 2) rodadura con
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deslizamiento de ambos cilindros 3) rodadura pura del cilindro delantero
y rodadura con deslizamiento del trasero.
4) Suponer que después de que el vehículo ha recorrido una distancia d
con rodadura pura penetra en una sección de la carretera en la que los
coeficientes de rozamiento son menores ss ykk de modo que ambos
cilindros comienzan a deslizar. Determinar la velocidad lineal y angular
de cada cilindro después de que el vehículo haya viajado una distancia
total de s metros. Se supone que d y s son mucho mayores que las
dimensiones del vehículo.
1) El momento de inercia de cada cilindro es la suma del momento de inercia de los
radios mas la del cilindro hueco.
Cada radio gira alrededor de su extremo y su momento de inercia se puede calcular
partiendo del momento de inercia de una barra homogénea y del teorema de Steiner
0,2MRi2 0,2M0,8R 
1 2
ml2
0,128MR 2
l
ml  m  
 I 8radios 


12
3
3
3
3
 2
2
I radio 
2
Para calcular el momento de inercia del cilindro hueco debemos recurrir al cálculo
integral. Supongamos que a una distancia R i  x  R consideramos una capa
cilíndrica de espesor dx, sea  la densidad del material y H su altura, su masa vale
dm  H * 2x dx * 
y su momento de inercia respecto del eje del cilindro dI  H * 2x dx *  * x 2 . El
momento de inercia del cilindro hueco se obtiene por integración de la expresión
anterior entre los límites Ri y R
R
R
 R 4  R i4  H  2
x4
 
I cil.hueco   H * 2x dx *   2H 
 H 
R  R i2 R 2  R 2
4
2
2


R
R
i
i
La masa del cilindro hueco es
0,8 M =  R 2  R i2 * H * 
De las dos últimas ecuaciones se deduce
I cil.hueco  0,4M R 2  R i2  0,4M R 2  0,64R 2  0,656MR2
0,128
I cilindro  I cil.hueco  I 8 radios  0,656 MR 2 
MR 2  0,7MR 2
3
N1
N2

3







fr1
fr2
FP1
FP2
NP1
 
Mg
Rueda trasera




NP2



Mg
Rueda delantera
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370

t
FP11
NP11
FP22
NP22
h
Armazón
5Mg
Rueda trasera : Mg es el peso , fr1 la fuerza de rozamiento, N1 la fuerza que ejerce el
plano inclinado , NP1 y FP1 son las componentes que el armazón ejerce sobre la rueda
Rueda delantera : Mg es el peso , fr2 la fuerza de rozamiento, N2 la fuerza que ejerce el
plano inclinado , NP2 y FP2 son las componentes que el armazón ejerce sobre la rueda
Armazón: 5 Mg es el peso aplicado en el centro de masas, FP11 es la reacción a FP1 ,
NP11 es reacción de NP1, FP22 reacción a FP2 , NP22 reacción a NP2
Ecuaciones del movimiento
Rueda trasera
FP1  f r1  Mg sen  Ma
(1)
;
Rueda delantera
FP2  f r2  Mg senθ  Ma
(3)
;
N P2  Mgcosθ  N 2
(4)
5Mg senθ  FP1  FP2  5Ma
(5)
;5Mg cosθ  N P1  N P2
(6)
Armazón
N P1  Mg cos  N1
(2)
En el armazón se cumple que la suma de momentos de las fuerzas respecto al centro de
masas es nula.
t
t


 N P1 * l  N P 2 * l  FP1  h    FP 2  h    0
2
2


En las ecuaciones del armazón se ha hecho uso del principio de acción y reacción, esto
es, que los módulos de las fuerzas de acción y reacción son iguales.
3)-1 Calcular las aceleraciones para el siguiente caso: 1) rodadura pura de ambos
cilindros
Sumamos las ecuaciones (1) y (2)
FP1  FP 2  f r1  f r 2  2Mg sen  2Ma (8)
Como los dos cilindros ruedan sin deslizar se cumple:
Ia
f r1 * R I ; a  R  f r1  2 ; f r 2 * R I
R
;
a  R  f r 2 
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Ia
R2
371
Sustituyendo en la ecuación (8)
FP1  FP 2 
2Ia
 2Mg sen   2Ma (9)
R2


De la ecuación (5) se deduce: FP1  FP 2  5M g sen  a , llevado a la ecuación (9)


5M g sen  a 
2Ia
 2Mg sen  2Ma
R2

7Mg sen  7Ma 
2 * 0,7MR 2 * a

R2
7
g sen  0,833g sen
8,4
El ángulo debe cumplir alguna relación para que se verifique la rodadura pura.
 7Mg sen  8,4Ma

a
t

lN P 2 N P1    h  FP1  FP 2  (10)
2

 5Mg cos , se suma a la (10), resulta:
A partir de la ecuación (7) se deduce:
La ecuación (6) N P1  N P 2
t


h


2 g sen  0,833g sen 
N P 2  2,5M g cos 
l






Llevando esta relación a la ecuación (4)
t
h
2
(11)
N 2  3,5Mg cos  0,42Mg sen
l
Si la ecuación (6) se suma en lugar de restarse a (10) y se opera el resultado es:
t
h
2
N1  3,5Mg cos  0,42Mg sen
l
Si existe rodadura pura, se tienen que cumplir las siguientes condiciones para la rueda
trasera
Ia
f r1   sN N1 ; f r1 * R  I ; a  R  f r1 * R   s N1 R 
  s N1 R 
R
t

h 

2
0,7MR 2 * 0,833g sen   s R 2  3,5Mg3,5 cos  0,42Mg sen
l 





0,583 sen  3,5 s cos  0,42 s sen
tag  
h
l
t
2  tag
3,5 s
t
h
2
0,583 0,42 s
l

t

h 

2   3,5 
 0,583 0,42 s
s
l 





(12)
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372
Para la rueda delantera las condiciones son:
f r 2   s N 2 ; f r 2 * R  I ; a  R

f r2 * R  s N 2R
Ia
 s N 2R
R

y operando de la misma manera que antes se llega a
tag  
3,5 s
(13)
t
h
2
0,583 0,42 s
l
3)-2 Calcular las aceleraciones para el siguiente caso: 2) rodadura con
deslizamiento de ambos cilindros
Si los dos cilindros deslizan las fuerzas de rozamiento son las máximas posibles
f r1   k N1
f r2  k N2
;
Sumamos las ecuaciones (1) y (3)
FP1  FP 2   k N1  N 2   2Mg sen  2Ma (14)
Sumamos las ecuaciones (2) y (4) y sustituimos el valor de la (6)
N1  N 2  N P1  N P 2  2Mg cos  7Mg cos 
De la ecuación (5)

FP1  FP 2  5M g sen  a

(15)
(16)
Se sustituye (15) y (16) en la (14)
5Mg sen  5Ma   k 7Mg cos  2Mg sen  2Ma

a  g sen   k cos
3)-3. Calcular las aceleraciones para el siguiente caso: 3) rodadura pura del
cilindro delantero y rodadura con deslizamiento del trasero
La rueda trasera desliza
FP1   K N1  Mg sen  Ma
La rueda delantera rueda
a
 Mg sen   Ma
R2
Se suman estas dos ecuaciones y se sustituye el valor del momento de inercia
FP 2  f r 2  Mg sen   Ma

FP 2  I
FP1  FP2   K N1  2Mg sen  0,7Ma  Ma


De la ecuación (5) se deduce: FP1  FP 2  5M g sen  a , combinando esta ecuación
con la anterior
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373
7Mg sen   K N1
(17)
7,7M
t
t


h 
h 
2 F  F   
2 5M g sen  a
La ecuación (7) conduce a  N P1  N P 2  
P1
P2
 l 
 l 








La ecuación (6) N P1  N P 2  5Mg cos
t

h 
2

A partir de estas dos últimas ecuaciones 2 N P1  5Mg cos   
5Mgsen  a 
l






De la ecuación (2) N P1  N1  Mg cos , la ecuación inmediata anterior queda
5Mg sen  5Ma   K N1  2Mg sen  0,7Ma  Ma 
a


t

h 
2 2,5Mg sen  a 
(18)
N1  3,5Mg cos  
 l 




7Mg sen  7,7Ma
De la ecuación (17) se despeja N1
y se lleva a la (18)
N1 
K
t
t


h 
h 
2 2,5M g sen  
2 2,5M a
7Mg sen  7,7Ma  3,5M K g cos  
K
K
 l 
 l 








t
t


h 
h 
2 2,5 g sen  3,5 g cos  7,7a  
2 2,5  a 
 7g sen  
K
K
K
 l 
 l 









a

 

t
 h 

2



g sen 7 
2,5 k   3,5 K g cos
  l 


 




t

h 
2  2,5
7,7  
K
 l 




4).- Si el vehículo parte del reposo y rueda sin deslizamiento su aceleración vale
a d  0,833g sen
y su velocidad lineal al final del tramo de longitud d
v d  2da d  1,666 d g sen 
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374
Su velocidad angular
d 
1,666 d g sen
vd

R
R
Cuando el vehículo entra en la zona de deslizamiento la fuerza de rozamiento disminuye
y la aceleración vale
a s  g sen   kk g cos
Las ecuaciones de movimiento de traslación son:
1
vs  vd  a s t ; s  d  vd t  a s t 2
2
Despejando el tiempo de la segunda ecuación
t
v d  v d2  2a s s  d 
as
sustituyéndolo en la ecuación de la velocidad
vs  vd  a s
v d  v d2  2 a s s  d 
as
 v d2  2 a s s  d 
La fuerza de rozamiento crea un momento de valor f r * R  I


 KK R
I
y la velocidad angular
1,666 g sen  KK R  v d  v d2  2a s s  d  
s  d  t 


R
I 
as


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375