LEY DE COULOMB Y EL CAMPO ELECTRICO 3.1 CARGAS ELECTRICAS. Los antiguos griegos sabían ya, hacia el año 600 A de C, que el ámbar, frotado con lana, adquiría la propiedad de atraer cuerpos ligeros (hierba seca, papel, etc.). Al interpretar hoy esta propiedad se dice que el ámbar está electrizado, o que posee carga eléctrica, o que está cargado eléctricamente. Estos términos se derivan del griego, elektron que significa ámbar. En experiencias de clase se utilizan corrientemente una barra de ebonita en lugar del ámbar y una piel. Si después de frotar la ebonita con la piel la acercamos a una bola de corcho que cuelga de una cuerda. Se observa que la bolita de corcho es atraída hacia la varilla (figura 3.1 a). El experimento análogo realizado con una barra de vidrio frotada con seda dará el mismo resultado (figura 3.1b). Por otra parte, si se tienen dos esferas de corcho que previamente han sido “tocadas” cada una por una barra de ebonita previamente frotada con piel. Ambas se repelen (figura 3.1c). Lo mismo ocurre si el mismo experimento es realizado con vidrio (3.1d). Ahora, si una de las bolas de corcho ha estado en contacto con la ebonita electrizada, cuando se coloca cerca de otra que ha mantenido contacto con el vidrio electrizado, se observa que se atraen (figura 3.1 e). Figura 3.1 Esto lleva a la conclusión de que hay dos clases de cargas eléctricas, a las cuales Benjamín Franklin (1706-1790) les asignó los nombres de carga negativa la que posee la ebonita frotada con piel y de carga positiva la que posee el vidrio después de frotado con seda. Como conclusión de los eventos con bolas de corcho se llega a dos resultados fundamentales: 1) cargas de igual signo se repelen; 2) cargas de distinto signo se atraen. Tales interacciones atractivas o repulsivas de origen eléctrico coexisten con la interacción gravitatoria de atracción y, en la mayor parte de los casos, esta última puede despreciarse por ser sumamente débil frente a las primeras(ver ejemplo 1). Otro aspecto importante del modelo de Franklin es el siguiente: si una barra de ebonita se frota con piel y se pone después en contacto con una bola de corcho suspendida. Tanto la ebonita como la bola están cargadas negativamente. Si se aproxima ahora la piel a la bola, esta será atraída, indicando que la piel se halla cargada positivamente. De ello se deduce que cuando la ebonita se frota con piel, aparecen cargas opuestas sobre ambos materiales. Siempre que cualquier objeto se frota con otro se obtiene el mismo resultado. Así el vidrio resulta positivo, mientras que la seda conque se ha frotado resulta negativa. Esto sugiere que las cargas eléctricas no son creadas ni destruidas, sino que el proceso de adquirir carga eléctrica consiste en ceder algo de un cuerpo a otro, de modo que uno posee un exceso y el otro un déficit de ese algo. Esto se puede resumir de la siguiente manera en un proceso físico la carga eléctrica siempre se conserva. Hasta fines del siglo XIX no se descubrió que ese algo se compone de porciones muy pequeñas de electricidad negativa, actualmente llamadas electrones. En 1909, Robert Millikan (1869-1953), quien con su experimento de la gota de aceite encontró que la carga eléctrica siempre se encuentra en la naturaleza como un múltiplo entero de una unidad fundamental de carga e, conocida como carga fundamental. En otra palabras, actualmente se dice que la carga q está cuantizáda, donde q representa la carga eléctrica. Así, q=ne, donde n es un entero. La unidad de carga en el sistema SI es el coulomb (C). La carga e de un electrón es e= 1.602x10-19 C. La materia común está formada por cantidades enteras de electrones y protones que tienen carga positiva y el mismo e. Hoy se cree que los protones están formadas por partículas más pequeñas llamadas quarks, cuyas cargas son múltiplos de e/3. Aparentemente, los quarks no pueden existir fuera de las partículas que forman, de modo que para todo fin práctico, la mínima carga observable es e. Como e es tan pequeña, en los fenómenos a escala de laboratorio n es muy grande. En la misma forma en que el aire se puede considerar como un fluido continuo, aunque en realidad sea un conjunto de moléculas individuales, con frecuencia una distribución de carga se puede considerar continua, aunque está formada por cargas elementales individuales. 3.2 CONDUCTORES Y AISLADORES. En un día seco la varilla de ebonita que ha sido frotada con piel permanecerá cargada por varios minutos, mientras que una varilla metálica cargada pierde su carga instantáneamente al tocarla. La diferencia radica en la capacidad que tiene una carga de moverse a través de los materiales de las dos varillas. El metal es un conductor y la ebonita es un aislante. Cada molécula de la ebonita sujeta fuertemente sus electrones, mientras los electrones externos en un metal son atraídos por los átomos vecinos tan fuertemente como por su propio átomo, y en consecuencia tienen libertad para moverse en el material. Toda carga colocada en un conductor se puede mover libremente en el material, o hasta pasar a través del conductor. Los materiales conductores más comunes son los metales. Los mismos electrones libres que sostienen la corriente en un alambre de cobre también transportan el calor en forma eficiente a través del fondo de una olla, y reflejan la luz para producir su apariencia brillante. El grado con el que los electrones tienen libertad de movimiento en un material se describe con su conductividad. La conductividad varía enormemente entre los materiales. Los metales permiten que las cargas se muevan unas 10 23 veces más fácilmente que los aislantes comunes, como el vidrio. El germanio, el silicio, arseniuro de galio y otros materiales tienen una cantidad intermedia de electrones móviles por átomo, a estos materiales se les llama semiconductores. El control de la conductividad de esos materiales se hace mediante una ingeniosa contaminación con impurezas. Existe un método para cargar un conductor y es por inducción. Uno de los procedimientos es utilizar una barra de ebonita para cargar otros cuerpos, mediante el cual la barra de ebonita comunica una carga de sentido opuesto sin pérdida alguna de su propia carga en el proceso. Para explicar uno de los métodos de carga por inducción se sigue la secuencia de la figura 3.2 de la izquierda. En la parte (1) de esta figura se muestra esquemáticamente dos esferas metálicas neutras en contacto, sostenidas por pies aislantes. Cuando una barra de ebonita cargada negativamente se aproxima a una de las esferas, pero sin llegar a tocarla, como se indica en (2), son repelidos los electrones libres de las esferas metálicas, y toda la nube de gas electrónico contenido en el interior de las esferas se desplaza ligeramente hacia la derecha, alejándose de la barra. Dado que los electrones no pueden escapar de las esferas, en la superficie de la esfera de la derecha, mas alejada de la barra, se acumula un exceso de carga negativa. Esto origina una pérdida de carga negativa ( o sea, un exceso de carga positiva) en la superficie más próxima a la barra de la esfera de la izquierda. Tales excesos de carga se denominan cargas inducidas. Figura 3.2 No debe inferirse que todos los electrones libres son arrastrados hacia la superficie de la esfera derecha. Tan pronto como se producen cargas inducidas, estas también ejercen fuerzas sobre los electrones libres situados en el interior de las esferas. Esta fuerza es hacia la izquierda (repulsión por la carga inducida negativa y atracción por la carga inducida positiva). En un tiempo extremadamente pequeño el sistema alcanza un estado de equilibrio, y en cada punto del interior de las esferas, la fuerza hacia la derecha que la barra cargada ejerce sobre un electrón queda exactamente equilibrada por una fuerza hacia la izquierda producida por las cargas inducidas. Las cargas inducidas permanecerán sobre las superficies de las esferas mientras se mantenga cerca la barra de ebonita. Si esta se aleja, la nube de electrones de las esferas se desplaza hacia la izquierda y se restablece el estado neutro inicial. Sí se desplazan ligeramente las esferas, como en (3), mientras se mantiene la barra cerca la barra de ebonita. Después, se aleja la barra de ebonita, como en (4), quedando dos esferas metálicas cargadas con cargas opuestas. Puesto que estas se atraen entre sí, permanecerán tan próximas como les sea posible, y solo cuando ambas esferas estén separadas lo suficiente, como en (5), las cargas se distribuirán uniformemente. Debe notarse que en los pasos sucesivos de (1) a (5), la barra de ebonita cargada negativamente no perdió carga alguna. Los pasos de (1) a (5), en la figura 3.2 de la derecha se explican fácilmente. En esta figura, se carga por inducción una sola esfera metálica que esta aislada por un soporte aislante, y el símbolo designado por “Tierra” en la parte (3) significa sencillamente que la esfera esta conectada a la tierra, que en este caso desempeña el papel de la segunda esfera de la figura 3.2 de la izquierda. En el paso (3), los electrones son repelidos a tierra, sea a través de un alambre conductor o de una persona que toque la esfera con la mano. La tierra adquiere así una carga negativa igual a la carga positiva inducida que permanece en la esfera. 3.3 LA LEY DE COULOMB. La ley que rige las fuerzas entre partículas inmóviles fue determinada en 1784 por Charles Augustin Coulomb (1736-1806), quien usando una balanza de torsión figura 3.3 estableció la dependencia de la fuerza eléctrica con la distancia y el valor de la carga. Figura 3.3 La ley de Coulomb establece que “La interacción eléctrica entre dos partículas cargadas qa y qb en reposo, es proporcional al producto de sus cargas y al inverso del cuadrado de la distancia entre ellas, y su dirección se halla a lo largo de la línea que las une”. Que se puede expresar en forma vectorial como q q Fba K e a 2 b rˆab r 3.1 donde rab es un vector unitario dirigido de qa a qb, como en la figura 3.4 a y señala la dirección de la fuerza que ejerce qa sobre qb. Si qa y qb tienen el mismo signo, el producto de ellas es positivo y la fuerza es de repulsión figura 3.4a. Si q a y qb son de signo opuesto, como en la figura 3.4b, el producto de ellas es negativo y la fuerza es atractiva. Además, como la ley de Coulomb obedece la tercera ley de Newton, la fuerza que ejerce qa sobre qb es igual en magnitud a la fuerza que ejerce qb sobre qa y en dirección opuesta, es decir Fba Fab . Figura 3.4 En 3.1 Ke es la constante de Coulomb que se escribe como Ke 1 4 0 donde la constante 0 se conoce como la permitividad del vacío y tiene en unidades SI, el valor 0 =8.8542x10-12 C2 .N-1 .m-2 por lo tanto Ke= 8.9875x109 N. m2. C-2. Ejemplo. 1 ¿Cuál es la relación que existe entre la fuerza eléctrica y gravitacional cuando interactúan un electrón y un protón?. Las fuerzas eléctrica y gravitacional varían ambas de la misma forma en función de la distancia. Por consiguiente su relación no depende de la distancia. Felc Ke e 2 (9 x10 9 kg. m3 . s 2 . C 2 )(16 . x10 19 C) 2 2 x10 39 11 3 2 1 27 31 Fgra v Gm p me (6.7 x10 m . s . kg )(17 . x10 kg )(9 x10 kg ) Definitivamente, las fuerzas gravitacionales son tan pequeñas comparadas con la fuerza eléctrica que a nivel atómico son despreciables. Cuando están presentes más de dos cargas, la fuerza esta dada por la ecuación 3.1, que es un vector, por lo tanto la fuerza resultante sobre cualquiera de ellas es igual a la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por diversas cargas individuales. Ejemplo. 2 Cuatro cargas puntuales están en las esquinas de un cuadrado de lado a, como en la figura 3.5. figura 3.5a Determine la fuerza neta sobre la carga colocada en el vértice superior derecho de la figura. Para efectos del calculo q1=2q, q2=q, q3=-q y q4=-2q. O sea que la fuerza que hay que determinar es sobre la carga q3 debido a las otras cargas. Primero se dibujan las fuerzas que ejercen q1, q2, y q4 sobre q3 y luego se hace un diagrama de cuerpo libre como en la figura 3.5b. figura 3.5b La fuerza neta sobre q3 es F F31 F32 F34 Por lo tanto, las componentes x e y de la fuerza resultante sobre q 3 son F F cos45 F F F F sen45 0 x 31 32 0 y 34 31 donde F31 K e 2q 2 q2 q2 2q 2 K F K F K , y e 32 e 34 e 2a 2 a2 a2 a2 el signo de las cargas se tuvo en cuenta cuando se construyo el diagrama de cuerpo libre. Reemplazando la magnitud de las fuerzas en las sumatorias, se tiene Fx K e Fy K e q2 2 q2 1 1 . 70 K e a 2 2 a2 q2 a2 2 q2 2 1.29K e 2 2 a entonces, F ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 K e tan q2 a2 (1.70) 2 (1.29) 2 2.13K e q2 a2 1.29 0.76 1.70 entonces 37.190 3.4 EL CAMPO ELECTRICO. La interacción entre cargas se puede medir de otra manera. Una carga crea un campo eléctrico en la región que la rodea, y este ejerce una fuerza sobre cualquier carga que se coloque en él. El campo eléctrico está presente en cada punto del espacio independientemente de que allí exista una carga. Sin embargo, para medir el campo en determinado punto colocamos allí una carga y medimos la fuerza sobre ella. Para no perturbar apreciablemente el sistema, lo que colocamos es una carga de prueba positiva q0, tan pequeña como sea posible. A partir de la fuerza medida sobre la carga de prueba se determina el valor del campo eléctrico en ese punto. F q E lim Ke 2 r q0 0 q r 0 3.2 La magnitud del vector campo eléctrico E es la intensidad del campo eléctrico La ley de Coulomb describe el campo eléctrico producido por una sola carga. Si existen varias cargas en una región del espacio, cada una de ellas contribuye al campo eléctrico neto. Se observa que el campo eléctrico total es la suma vectorial de las aportaciones individuales. La presencia de una carga no afecta la contribución de la otra. A esta regla se le llama principio de superposición. O sea, que si existen varias cargas puntuales qi en una cierta región del espacio, el vector campo eléctrico total E en un punto P es la suma de los vectores de campo eléctrico producidos por las cargas individuales. qi E Ei Ke 2 ri i i ri 3.3 Como una aplicación, se calcula el campo eléctrico producido por dos cargas iguales y de signo contrario separadas una distancia 2a en un punto P, a una distancia x a lo largo de la perpendicular bisectriz de la línea que une las cargas ver figura 3.6. A esta distribución de dos cargas se le llama dipolo eléctrico. figura 3.6 El campo total en el punto P es E E E donde E E Ke q q 2 Ke 2 r x a2 Las componentes x de E y E se cancelan entre sí. El campo total E tiene por lo tanto una componente a lo largo del eje y únicamente, de magnitud q a 2qa E E cos E cos 2 Ke 2 2 1 Ke 3 x a 2 2 2 2 2 2 x a x a 2 para el caso x >> a, se puede ignorar a en el denominador de la ultima ecuación, por lo tanto el campo E para un dipolo eléctrico es 2aq p E K e 3 (uˆ y ) K e 3 x x 3.4 donde p (2qa)uˆ y es llamado el vector de momento dipolar y va de la carga negativa a la carga positiva y por lo tanto antiparalelo al campo eléctrico de la distribución (figura 3.6). El momento dipolar eléctrico es una propiedad fundamental de las moléculas llamadas dipolares, por ejemplo el H 2O. Pero, en la practica los campos los crean generalmente cargas distribuidas sobre las superficies de tamaño finito, y no cargas puntuales. El campo eléctrico se calcula entonces imaginando subdividida la carga de cada objeto cargado en pequeños elementos q . No toda la carga se halla a la misma distancia del punto P como en la figura 3.7, pero si los elementos son pequeños comparados con la distancia al punto, y si r representa la distancia de un punto cualquiera del elemento al punto P, se puede escribir (aproximadamente) el campo eléctrico como q E K e 2 r r 3.4 Figura 3.7 cuanto más fina sea la subdivisión, más aproximado será el resultado, y en el limite, cuando, q 0 se tiene entonces q dq E Ke lim 2 r Ke 2 r 3.5 q 0 r r Los limites de integración han de ser tales que queden incluidas todas las cargas que contribuyen a crear el campo. como cualquier ecuación vectorial, 3.5 equivale a tres ecuaciones escalares, una para cada componente de los vectores E y r . Para hallar la integral vectorial, se calcula cada una de las tres integrales escalares. Una distribución de carga continua se describe por su densidad de carga, si dq se distribuye en un volumen dV, la carga por unidad de volumen, se define dq dV y tiene como unidades C-m-3. Si dq se distribuye en un área dA, la carga por unidad de área, se define dq dA y tiene como unidades C-m-2 y si dq se distribuye en una longitud dl, la carga por unidad de longitud, se define dq dl y tiene como unidades C-m-1. Ejemplo. 3 Distribución lineal de carga. Determinar E de un alambre de longitud l en un punto P que esta en la perpendicular bisectriz como se muestra en la figura 3.8. La carga del alambre está uniformemente distribuida. Figura 3.8 Un elemento de longitud dx tiene una carga dq dx que produce un campo eléctrico infinitesimal dE en el punto P de la figura, dado por dE dE x ux dE y u y dE (sen ux cos u y ) donde la magnitud de dE es dx dE Ke (x y2 ) 2 calculando primero la componente y del campo dada por l E y Ke 2l cos 2 l 2 dx (x y2 ) E y 2 Ke cos 0 2 dx (x y2 ) 2 de la figura se ve que las cantidades y x no son independientes. Por lo tanto se debe expresar una de ellas en termino de la otra, por ejemplo x. De la figura la relación es x y tan , por lo tanto dx y sec 2 d sustituyendo en la ultima integral estas dos expresiones, se llega finalmente a E y 2 Ke donde sen Max l (l 2 4 y 2 ) Max y 0 cos d 2 Ke por lo que y sen Max E y 2 Ke cuando l l y (l 4 y 2 ) E y 2 Ke y 2 0 y 2 La componente Ex debe ser cero porque todo elemento de carga a la izquierda tiene un elemento correspondiente a la derecha de modo que sus contribuciones al campo en la dirección de las x se anulan. Es decir, existe una simetría a lo largo del eje y de tal manera que las componentes perpendiculares a este eje se anulan. Ejemplo. 4 Se tiene un alambre que forma un arco de circunferencia de radio R y que subtiende un ángulo 2 0 ver figura. La carga del alambre está uniformemente distribuida y es q. Encuentre el campo eléctrico en el punto P. Figura 3.9 Para cada elemento de carga que se toma, existe uno simétrico con respecto al eje y; en consecuencia la componente x del campo eléctrico en el punto P es cero. E x ( P) 0 Por lo tanto dE dE uˆ y y donde dE y Ke dq cos R2 Si consideramos únicamente la mitad del alambre entonces la anterior expresión se multiplica por dos debido a la simetría. Haciendo dq ds Rd (q 2R 0 ) Rd (q 2 0 )d Entonces Keq 0 E 2 cos d uˆ y R 0 0 Entonces K q E 2e sen 0 uˆ y R 0 Ejemplo. 5 Distribución superficial de carga. Determinar E de una lámina plana infinita en un punto P que esta en la perpendicular bisectriz como se muestra en la figura 3.9. La carga en la lámina está uniformemente distribuida. Figura3.10 Se subdivide la carga en estrechas franjas de anchura dz, paralelas al eje x. Cada franja es una carga lineal, de modo que se puede utilizar el resultado del alambre infinito del ejemplo anterior. El área de una porción de franja de longitud l es ldz, la carga dq ldz y la magnitud del campo en el punto P debida a esta franja es dE 2 K e r donde dq dA ldz d dz , l l l por lo tanto dz dE 2 K e con r ( z 2 y 2 ) ver figura. r Este campo se puede descomponer en sus componentes dE y y dEz; que por razones de simetría, las componentes dEz al hacer la integración completa sobre la lámina da cero. El campo en el punto P, por lo tanto está en la dirección y, perpendicular a la lamina de carga. De la figura 3.10 se tiene dE y dE sen entonces, sen dz r E y 2 Ke reemplazando sen y y a r en la anterior ecuación se obtiene r dz E y 2 Ke y 2 z y 2 1 z E y 2 Ke y arctan y y 2 Ke 2 0 Resultado parecido al obtenido en el capitulo de gravitación. Nótese que en el resultado no aparece la distancia y. O sea que el campo resultante es uniforme y normal al plano. Otros ejemplos se pueden resolver simplemente tomando los ejemplos de 1 gravitación. En estos ejemplos, donde aparece G se reemplaza por Ke y 4 0 en donde está m por q con su signo respectivo. 3.5 LINEAS DE FUERZA. Una buena manera de visualizar el campo eléctrico producido por cualquier distribución de cargas es trazar un diagrama de líneas de fuerza en ese punto. Concepto que fue introducido por Michael Faraday. La dirección del vector de campo eléctrico en cada punto es tangente a la línea de fuerza en ese punto ver figura 3.10. Figura3.11 En otras palabras, en cada punto la línea de fuerza tiene la misma dirección que el vector de campo eléctrico. Puesto que, de ordinario, la dirección del campo varía de un punto a otro, las líneas de fuerza son en general curvas. En la figura 3.12 se muestran las líneas de fuerza para algunas distribuciones de carga. Se observa que cerca de una carga puntual las líneas de fuerza son radiales y van dirigidas hacia fuera si la carga es positiva o hacia la propia carga si es negativa. figura 3.12 En las regiones donde las líneas de fuerza están muy juntas el campo eléctrico es grande, mientras que donde están muy separadas el campo es muy pequeño. Por tanto, la densidad de líneas es proporcional al campo eléctrico, hecho que se tratará en otro capitulo mediante la ley de Gauss. Además, en cualquier punto, el campo resultante solo puede tener una dirección; por tanto, por cada punto del campo pasa solo una línea de fuerza. En otras palabras: las líneas de fuerza no se cortan. 3.6 MOVIMIENTO DE PARTICULAS CARGADAS EN UN CAMPO ELECTRICO. E Si una partícula con carga q se encuentra en una región con campo eléctrico , esta sufre una fuerza F qE . Haciendo caso omiso de otras fuerzas, la aceleración de una partícula en un campo eléctrico está dada por F q a E . 3.6 m m Que permite para un campo conocido determinar la relación carga a masa, q/m, de una partícula cargada. Ejemplo. 6. Escribir las ecuaciones cinemáticas para una partícula cargada que está inicialmente en reposo en un campo eléctrico uniforme. Una partícula cargada, soltada desde el reposo en el seno de un campo eléctrico uniforme, se mueve con una aceleración constante a lo largo de una línea paralela a E , de la misma forma que una partícula de masa m soltada en un campo gravitatorio uniforme cae verticalmente siguiendo una línea paralela a g como se muestra en la figura 3.12. Figura 3.12 Si se toma el origen inicial del movimiento en la región punteada, y el eje y en la dirección de E y se hace t=0 para y=0, la cinemática es: ay qE , m vy qE t, m y 1 qE 2 t 2 m Despejando el tiempo t en vy y remplazándolo en y se obtienen: v y2 2 qE y m y K 1 2 mv q E y 2 y Ejemplo. 7. Escribir las ecuaciones cinemáticas para una partícula cargada que se envía con una velocidad perpendicular hacia un campo eléctrico uniforme. Figura 3.13 En la figura 3.13 se toma el campo E en la dirección y a x0 = y0 = 0 y a v=v0x en t=0. El movimiento es similar al de una bola lanzada horizontalmente en el campo gravitacional uniforme de la tierra. Utilizando de nuevo los procedimientos cinemáticos se obtiene: qE ax 0 az 0 m qE vy t v x v0 x v z 0 m 1 qE 2 y t x v ox t z 0 2 m ay Como se puede ver de las ecuaciones, el movimiento se realiza en el plano xy. Si se elimina t entre las ecuaciones de x e y se obtiene una trayectoria parabólica de la partícula: 1 qE 2 y x 2 mv 02x Si la carga fuese negativa, ay sería negativa , con lo que la trayectoria se curvaría hacia abajo parecido al movimiento de una bola en un campo gravitacional. Ejemplo. 8. Un electrón describe una trayectoria circular alrededor de un alambre largo cargado uniformemente ver figura. Si la velocidad del electrón es de 6x106 m-s-1 , ¿ Cuál es la densidad de carga en el alambre?. El campo eléctrico de un alambre con carga positiva es radial y hacia afuera. El electrón se entonces en un circulo alrededor del alambre debido a que la mueve fuerza F qE eE que actúa sobre él siempre se dirige hacia el centro del circulo. Figura 3.14 El campo eléctrico es el calculado en el ejemplo 3 para un alambre muy largo. Por lo tanto la magnitud de la fuerza sobre el electrón para un radio y es: 2k F eE e e . y Esta fuerza causa la aceleración centrípeta 2k e v2 e m . y y por lo tanto mv 2 (9.11x10 31 kg)(6.0x106 m. s 1 ) 2 11 . x10 8 C. m1 2eKe 2(160 . x1019 C)(9.0x109 N . m2 . C 2 ) 3.7 DIPOLO EN PRESENCIA DE UN CAMPO ELECTRICO. figura 3.15 En la figura 3.15 se muestra un en una región donde hay dipolo eléctrico colocado un campo eléctrico uniforme E , el dipolo eléctrico p forma con este un ángulo . Obran dos fuerzas iguales y opuestas F y F como se muestra, con F=q E. La fuerza neta es cero, pero hay un torque neto con respecto a un eje que pasa por 0 dado por 2 F (a sen ) 2aqE sen Teniendo en cuenta que p=2aq, se obtiene pE sen 3.7 La anterior ecuación se puede escribir en forma vectorial así: p E 3.8 El torque está en la dirección entrando al plano de la figura. Este torque hace que el dipolo comience a girar para alinearse con el campo eléctrico; cuando el dipolo está paralelo al campo eléctrico, el torque en ese instante es cero, pero el dipolo ha adquirido momento angular. Continua girando y se pasa de la alineación; entonces el torque invierte su dirección. El dipolo oscila respecto a una posición de equilibrio, paralela a la dirección del campo. Este modelo no tiene mecanismo alguno para que el dipolo pierda energía, así que este continuará oscilando indefinidamente. Los dipolos reales, están sujetos a fricción; en consecuencia sus oscilaciones se amortiguan y estos quedan alineados con el campo. Ejemplo. 9. ¿Cuál es la aceleración angular máxima de una molécula de HCl ( momento de dipolo p= 3.6 x 10-30C.m y momento de inercia I= 2.7 x 10-47 Kg.m2) en una región de campo eléctrico E=1.7 x 104 N.C-1?. Cuando el vector momento de dipolo forma un ángulo recto con el vector del campo eléctrico en la figura 3.15, el ángulo entre ellos es 2 . En este caso, el torque es máximo y está dado por pEsen( 2) pE La aceleración angular se relaciona con el torque por medio de I . Por ello, la aceleración angular es pE (3.6 1030 C.m)(1.7 104 N .C 1 ) 2.3x1021 rad.s 2 I I 2.7 1047 kg.m 2 Obsérvese que aunque el torque es bastante pequeño, el momento de inercia también lo es, la molécula tiene una aceleración muy grande. Para cambiar la orientación de un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo debe hacerse trabajo mediante un agente externo. Este trabajo queda almacenado como energía potencial U en el sistema formado por el dipolo y el dispositivo usado para crear el campo externo. Por lo tanto el trabajo requerido para hacer girar el dipolo un ángulo , está dado por W d U 0 Siendo el momento ejercido por el agente que hace el trabajo. Combinando esta última ecuación con la ecuación 3.7 se obtiene: 0 0 U pE sen d pE sen d pE (cos cos0 ) Como lo que interesa son los cambios de energía potencial, se escoge la orientación de referencia como 0 . Así se obtiene: 2 U pE cos 3.9 que en forma vectorial es 3.10 U p. E Ejemplo 10. Una molécula de agua tiene un momento de dipolo eléctrico p=6.2x10-30 C.m . Si la molécula está en un campo eléctrico de 1.0x10 3 N.C-1, ¿cuánta energía se requiere para rotar el dipolo desde el alineamiento paralelo hasta uno antiparalelo al campo?. En la figura 3.16 se muestra como la energía potencial depende de la orientación del vector de momento de dipolo respecto a la dirección del campo. Figura 3.16 La energía que se requiere para rotar la molécula es igual al cambio en la energía potencial: U U antiparalelo U paralelo pE cos1800 ( pE cos00 ) 2 pE U 2(6.2x1030 C.m)(1.0x103 N.C 1 ) 1.2x1026 J 3.8 APLICACIONES PRACTICAS. Los campos electrostáticos aceleran partículas en el interior de los tubos de rayos catódicos de los osciloscopios y televisores, y en los aceleradores lineales para investigación de partículas de alta energía. Los campos electrostáticos también se usan en algunos diseños de altoparlantes de alta frecuencia y micrófonos, y en las fotocopiadoras. Los dipolos son un buen modelo para moléculas expuestas a campos eléctricos como en los hornos de microondas y también son la base del comportamiento 1/r6 de las fuerzas moleculares en el modelo de los gases de Van der Waals.