MATEMATICAS ESPECIALES I - Curso 2015 PRACTICA 6 1. (a

MATEMATICAS ESPECIALES I - Curso 2015
PRACTICA 6
1. (a) Encontrar la imagen de la región y ≤ 21 x − 1, x ≥ 1 por la transformación w = z − 2 + i
(b) Hallar la imagen |z − i| ≤ 2 por la transformación w = (2 − i)z − 3i
(c) Hallar la función lineal que transforme el triángulo limitado por las rectas y = −2x − 1,
y = 21 x − 1, y = −x + 2 en otro triángulo idéntico pero con el cateto menor apoyado en el
eje horizontal positivo y el cateto mayor contenido en el eje vertical positivo.
2. Dada la elipse x2 + 4y 2 = 4, hallar su imagen por la transformación w(z) = 2z + i. Graficar la
curva imagen, interpretándola como una combinación de rotación, dilatación y traslación.
3. Demostrar que por medio de la transformación w(z) =
1
z
(a) La imagen de una circunferencia es una circunferencia o una recta
(b) La imagen de una recta es una circunferencia o una recta.
4. Para la misma transformación del ejercicio anterior, hallar las imágenes de las siguientes regiones:
(a) |z − 2| < 2
(b) el segundo cuadrante
αz + β
, αδ − βγ 6= 0 recibe el nombre de transformación
γz + δ
bilineal o transformación fraccionaria o de Möbius.
5. La transformación definida por w =
(a) Hallar los puntos fijos de la transformación bilineal.
(b) Probar que la transformación bilineal puede considerarse como una combinación de transformaciones de traslación, rotación, dilatación/contracción e inversión.
(c) Probar que la transformación bilineal transforma cı́rculos o rectas del plano z en cı́rculos o
rectas del plano w.
6. Considere la transformación w =
z
. Hallar las imágenes de:
z−i
(a) la circunferencia |z| = 1,
(b) el semiplano y ≥ 2x
7. (a) Encontrar la transformación bilineal que mapee los puntos 0, 2i, 1 en −1, 1 − 2i, 0, respectivamente.
(b) Encontrar la transformación bilineal que mapee los puntos 1, i, −1 en 0, i, ∞, respectivamente.
8. (a) Dada f (z) = z1 , hallar el ángulo que giran las tangentes a las cuvas que pasan por 1 + i, es
decir si α es el ángulo de inclinación de una curva en el punto z0 = 1 + i, hallar el ángulo
de inclinación de su imagen en el punto f (1 + i)
(b) Teniendo en cuenta la respuesta anterior, hallar la imagen de la recta x = y por f (z) = z1 .
1
9. Indicar dónde son conformes las transformaciones w = ez , w = z 2 , w = sin z, w(z) = z 2 + 2z,
1
z−1
y w(z) = z +
w(z) =
z+i
z
10. (a) Hallar la imagen del segundo cuadrante por w(z) = z 2
(b) Hallar la transformación que envı́e |Arg(z)| ≤ π4 , |z| ≤ 2 al semiplano u ≤ 0
11. (a) Probar que la función w = eiα
disco unitario (α ∈ R).
z − z0
, Im z0 > 0, transforma el semiplano superior en el
z − z̄0
(b) A partir de esta función, hallar una transformación que envı́e el disco unitario en el semiplano superior.
12. Encontrar la imagen correspondiente a
(a) la franja semi-infinita −∞ < x < ∞,
(b) el sector 1 ≤ x ≤ 2,
0≤y≤π
0≤y≤π
por medio de la transformación w = ez y mostrar las partes correspondientes a la frontera.
13. Determinar la imagen de las siguientes rectas por medio de la transformación w = sen (z) :
(a) x = c,
π/2 < c < π
(b) x = c,
−π < c < −π/2
14. Sea la transformación w = ln(z).
(a) Muestre que un cı́rculo con centro en el origen en el plano z es mapeado en una recta
paralela al eje v en el plano w,
(b) Muestre que una semi-recta que parte del origen en el plano z es mapeada en infinitas rectas
paralelas al eje u en el plano w,
(c) Encuentre la imagen de la región |z| ≥ 2, |argz| ≤ | π2 |
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