I. Aspecto teórico - Ludifisica - Universidad Nacional de Colombia

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
CURSO: ENSEÑANZA DE LA FÍSICA –MECÁNICAPRÁCTICA # 9: CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA –PARTÍCULASDiego L. Aristizábal R.
Profesor asociado con tenencia de cargo, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Mayo de 2014
Temas
 Introducción
I. Aspecto teórico





Trabajo
Teorema TE y energía cinética
Energía potencial y las denominadas fuerzas conservativas
Teorema de conservación de la energía mecánica
Una discusión sobre el concepto de energía
II. Experimentos
 Experimento 1: Cuerpo descendiendo en caída libre
 Experimento 2: Esfera pendular
Introducción
Para el estudio de la dinámica de un cuerpo, la física emplea fundamentalmente tres metodologías:



La segunda ley de Newton: a través de la relación fuerza y aceleración.
El principio del trabajo y la energía: a través de la relación fuerza, velocidad y posición (no es
necesario determinar la aceleración).
El principio del impulso y la cantidad de movimiento: a través de la relación fuerza, velocidad y
tiempo (no es necesario determinar la aceleración).
Hasta esta parte del curso se ha empleado el primer método. En este módulo se empleará el segundo
método.
I.
Aspecto teórico
Trabajo
Trabajo realizado por una fuerza constante
En la Figura 1 se ilustra un estudiante halando con una cuerda un bloque para desplazarlo desde una posición
A hasta una posición B. La fuerza que ejerce es F, su magnitud es constante y su dirección siempre forma
un ángulo  con la horizontal. En la Figura también se ilustra el sistema de coordenadas elegido y el
diagrama de fuerzas sobre el bloque. El marco de referencia elegido es el piso, y es inercial.
1
Figura 1
2
El trabajo W realizado por la fuerza F (que recalcando, es una fuerza constante) para desplazar el
bloque desde la posición A hasta la posición B se calcula mediante la siguiente expresión,
WAF B = FT d
[1a]
En donde FT es la componente de la fuerza F en la dirección del movimiento (en este caso será, Fx).
Equivalente se puede escribir,
WAF B = F d cosφ
[1b]
Es decir, para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante, simplemente se multiplica el valor
de la magnitud de la componente de la fuerza en dirección tangencial (o sea en la dirección del
movimiento) por la distancia que se mueve su punto de aplicación.
De la definición de trabajo se obtienen las siguientes conclusiones:
 El trabajo es una magnitud ESCALAR.
 La unidad de trabajo en el sistema internacional es N.m que recibe el nombre de Joule (J).
 Las fuerzas ortogonales al desplazamiento no realizan trabajo.
 El trabajo realizado por una fuerza puede ser positivo (Fx en el sentido del movimiento), negativo (Fx en
sentido opuesto al movimiento) o cero (F es ortogonal a la dirección del movimiento).
 El área bajo la curva Fx vs x es el trabajo realizado por la fuerza F , Figura 2.
3
Figura 2
Trabajo realizado por una fuerza variable
Una fuerza variable de mucha aplicación es la ejercida por un resorte, Figura 3. Para realizar bien este
análisis se ilustra también en la Figura, el eje coordenado elegido y el diagrama de fuerzas: N es la fuerza
normal, P es el peso del bloque, f la fuerza de rozamiento, Fr la fuerza que ejerce el resorte sobre el
bloque y Fs la fuerza que ejerce un señor sobre el bloque. La idea es calcular el trabajo realizado por la
fuerza del resorte para desplazar el bloque desde la posición A hasta la posición B.
Figura 3
La fuerza Fr obedece la ley de Hooke y por lo tanto se cumple que,
Fr = kx
El trabajo se puede obtener calculando el área bajo la recta Fr vs x, Figura 4
WAFrB =
1 2 1 2
kx A - kx B
2
2
[2]
4
Figura 4
Energía cinética y principio TE
En la Figura 5 se ilustra un estudiante halando con una cuerda un bloque para desplazarlo desde una
posición A hasta una posición B. La fuerza que ejerce es F, su magnitud es constante y su dirección siempre
forma un ángulo  con la horizontal. Como se observa adicionalmente actúan otras fuerzas sobre el bloque:
la fricción f la fuerza de gravedad P y la normal N. En la figura también se ilustra el sistema de
coordenadas elegido y el diagrama de fuerzas sobre el bloque. El marco de referencia elegido es el piso, y
es inercial.
Supóngase que Fneta es el resultado de la suma de TODAS las fuerzas que actúan sobre la partícula. En este
caso se aplica la segunda ley de Newton,
Figura 5
Fneta = ma
La idea es calcular el trabajo total ejercido por las fuerzas (todas) para desplazar el cuerpo desde la
posición A hasta la posición B. Para facilitar el análisis se supondrá que la fuerza neta F neta es contante y
por lo tanto la aceleración con que se desplaza el cuerpo también es constante (MUV), de esta forma se
cumple que,
5
Fneta = m a x
Total
WA®B
= Fneta d
VB2 = VA2 + 2a x d
Combinando estas tres ecuaciones se obtiene,
WTotal =
1
1
mVB2 - mVA2
2
2
[3]
Se define como energía cinética de una partícula a,
K=
1
mV 2
2
[4]
y por lo tanto,
WTotal = K B - K A
[5a]
WTotal = K
[5b]
Aunque la demostración se realizó bajo la suposición de fuerzas constantes, el resultado es de validez
general.
Es decir, dado un marco de referencia inercial el trabajo realizado por la fuerza total o resultante
de las fuerzas que actúan sobre una partícula (o sea el trabajo total), es igual al cambio en su
energía cinética. Este es el denominado principio del trabajo y la energía (principio TE).
Energía potencial y las denominadas fuerzas conservativas
Teorema de la energía potencial
Hay determinadas fuerzas para las cuales el trabajo realizado por ellas NO depende de la trayectoria
seguida por la partícula y éste SOLO depende de la posición inicial y de la posición final de ésta. Este tipo
de fuerzas se denomina FUERZAS CONSERVATIVAS y el trabajo realizado por éstas se puede expresar
como MENOS en el cambio de una función escalar entre la posición inicial y la posición final de la partícula.
A esta función escalar se le denomina ENERGÍA POTENCIAL U. Esto es,
conservativa
WAFuerza
= UA - UB
B
[6a]
o equivalente
conservativas
WAFzas.
= - ΔU
B
6
[6b]
Ejemplos de estas fuerzas son la fuerza elástica y la fuerza gravitacional. La energía potencial es la
energía asociada a la posición de la partícula y en general a la configuración de los sistemas. Se puede
interpretar como la energía almacenada, la cual fue obtenida del trabajo que una fuerza conservativa
realizó sobre la partícula.
Teorema de la energía potencial aplicado al PESO
Sea una partícula de masa m que se mueve desde una posición A hasta una posición B, Figura 6.
Figura 6
El trabajo realizado por el peso para desplazar la partícula desde la posición A hasta la posición B es,
WApeso
B =  mg  y2 - y1 
WApeso
B = mgy2  mgy1
[7]
Se define ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL mediante la siguiente expresión (ver Figura 7),
U=mgh
[8]
con el eje y vertical, positivo hacia arriba.
7
Figura 7
En donde h corresponde a la altura medida desde un nivel de referencia arbitrario. Escogiendo como nivel
de referencia en la situación de la Figura 6 al piso, la ecuación [7] se puede escribir así,
WApeso
B = mgh A - mgh B
[9]
que corrobora el teorema de la energía potencial, ecuación [6a] o [6b].
El resultado es de validez general y se cumple incluso para una trayectoria curvilínea como la situación de
de la Figura 8.
Figura 8
El trabajo realizado por el peso para desplazar la partícula desde la posición A hasta la posición B es,
Sobre la arbitrariedad del nivel de referencia:
Observar que el nivel de referencia no importa. Supóngase que se escoge otro nivel más bajo que el de la
Figura 2, por ejemplo una cantidad C por debajo. Aplicando de nuevo el teorema de la energía potencial se
obtiene,
WApeso
B = mg  h A + C  - mg  h B + C 
Expresión que se reduce de nuevo a,
WApeso
B = mgh A - mgh B
Observar que independientemente de la trayectoria elegida en la Figura 1 y desde que se mantengan las
mismas posiciones inicial y final el cálculo del trabajo del peso da igual. Adicionalmente si la trayectorias es
cerrada, es decir si la posición inicial y la final coinciden, el trabajo realizado por el peso es NULO.
En general:

El trabajo realizado por una fuerza conservativo es independiente de la trayectoria seguida y sólo
depende de la posición inicial y de la posición final.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa en una trayectoria cerrada es NULO.
Teorema de la energía potencial aplicado a la fuerza elástica
La ecuación [2] es el resultado del trabajo realizado por la fuerza elástica cuando un resorte se deforma
desde una elongación XA hasta una elongación XB.
WAFrB =
1 2 1 2
kx A - kx B
2
2
[2]
Con base en lo anterior, y siguiendo el enunciado del teorema de la energía potencial, se define ENERGÍA
POTENCIAL ELÁSTICA asociada a la fuerza elástica a,
Ue =
1 2
kx
2
[10]
siendo k la constante de rigidez del resorte y x la elongación de éste, la cual se mide desde su longitud
original.
Teorema de conservación de la energía mecánica
Según el principio del trabajo y la energía el trabajo total, es decir el trabajo de todas las fuerzas que
actúan sobre una partícula para desplazarla desde una posición inicial A hasta una posición final B es igual
al cambio en su energía cinética, ecuación [5b]
8
WATotal
 B = ΔK
[5b]
Adicionalmente el trabajo realizado por una fuerza conservativa para desplazar la partícula desde una
posición inicial A hasta una posición final B es igual a MENOS el cambio en su energía potencial asociada,
ecuación [6b],
conservativa
WAFuerza
= - ΔU
B
[6b]
9
Agrupando las fuerzas en conservativas y otras el trabajo total se puede escribir también como,
Fuerzas conservativas
WATotal
 WAOtras
 B = WA B
B
Combinando estas tres últimas ecuaciones se obtiene,
ΔK = - U + WAOtras
B
Otras
K B - K A = -  UB - UA  + WA®B
WAOtras
 B =  K B + UB  -  K A + UA 
Se define la ENERGÍA MECÁNICA E como la suma de la energía cinética con la energía potencial,
E=K+U
Por lo tanto,
WAOtras
 B = EB - EA
[11a]
o equivalente
WAOtras
 B = E
[11b]
Que en palabras dice,
El trabajo realizado por las fuerzas que no son agrupadas dentro de las conservativas es igual al cambio en
la energía mecánica de la partícula.
Este a veces es conocido como el TEOREMA DE LA ENERGÍA MECÁNICA.
Si todas las fuerzas que actúan sobre el sistema son conservativas, la energía mecánica del sistema se
mantiene constante,
EB = EA
[12]
A esta expresión se le conoce con el nombre de CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA.
Una discusión sobre el concepto de energía
Como lo dijo R. P. Feynman (1918-1988), premio Nobel de Física en 1965: “Es importante constatar que en
la física de hoy, no sabemos lo que es energía”
Realmente lo que quería decir Feynman es que el concepto de energía es tan básico que su definición es
esencialmente operacional: si se detalla en lo desarrollado en este módulo y en el anterior, las energías
cinética y potenciales se definen a través de fórmulas que salen de los resultados de la integral de trabajo
al aplicar tanto en el teorema del trabajo y la energía, como el teorema de la energía potencial; así se
definen: energía cinética como, K =
potencial elástica como, U e =
1
mV 2 , energía potencial gravitacional como, Ug = mgh y energía
2
1 2
kx . Sin embargo cuando se pide dar una definición que no sea la
2
operacional (o sea la propia fórmula) el reto ya es MUY complicado: lo mejor es conformarse con hacer una
descripción de la energía con base en sus manifestaciones así:

La energía cinética es la que poseen los cuerpos debido a su movimiento.

La energía potencial es la que poseen los cuerpos debido a su posición o configuración. Esta se
considera almacenada.
Pero el asunto se complica cuando se hace una lista de términos que
están asociados al concepto de
energía, como los siguientes (solo se citan algunos): energía química, energía térmica, trabajo, calor,
energía atómica, energía nuclear, energía molecular, energía magnética, energía eléctrica, energía
electromagnética, energía gravitacional, energía eólica, energía maremotriz, energía electrostática, energía
radiante, energía elástica, energía mecánica ¿Dónde ubicamos estos términos si en la esencia sólo hay
energía cinética y energía potencial?
Para ubicar estos términos que se refieren al concepto de energía es necesario indagar en el fondo del
fenómeno con cuál de los dos tipos base de energía se identifican más: si con la energía cinética (…
movimiento, y se dirá es de naturaleza de energía cinética) o con la energía potencial (… posición o
configuración y se dirá es de naturaleza de energía potencial), ver tabla 1. Esto significa que en su aspecto
primario o fundamental la energía sólo es cinética o potencial.
Tabla 1
Tipo de energía
Energía química
Energía térmica
Trabajo
Calor
Energía atómica
Energía nuclear
Energía molecular
Energía magnética (Energía debido al movimiento de las
cargas eléctricas)
Energía eléctrica
Naturaleza
Energía potencial (eléctrica)
Energía cinética
Ni la una, ni la otra
Ni la una ni la otra.
Energía potencial (eléctrica o nuclear)
Energía potencial (nuclear)
Energía potencial (eléctrica)
Energía cinética
Energía potencial (eléctrica)
10
Energía electromagnética
Energía gravitacional
Energía eólica (energía obtenida de los vientos)
Energía maremotriz (energía obtenida debido a las
mareas)
Energía electrostática
Energía
radiante
(es
la
misma
energía
electromagnética)
Energía elástica
Energía mecánica
Energía de los alimentos (es energía química)
Energía
Energía
Energía
Energía
cinética y energía potencial (eléctrica)
potencial (gravitacional)
cinética
cinética
Energía potencial (eléctrica)
Energía cinética y energía potencial (eléctrica)
11
Energía potencial (elástica)
Energía cinética y energía potencial.
Energía potencial eléctrica
Se observa que en la tabla 1 se dice que el calor y el trabajo no son ni energía cinética ni energía potencial.
Esto es cierto, es que el trabajo y el calor aunque se miden en unidades de energía no son energía. Estos
dos conceptos son realmente PROCESOS para intercambiar energía. Para intercambiar energía entre dos
sistemas lo pueden hacer sólo a través de dos procesos que son: o por TRABAJO o por CALOR. LOS
CUERPOS NO TIENEN CALOR NI TIENEN TRABAJO; ESTOS SOLO TIENEN ENERGÍA.
El TRABAJO es el intercambio de energía a través de desplazamientos macroscópicos que se pueden medir
individualmente. En cambio el CALOR es el intercambio de energía a través de innumerables
desplazamientos microscópicos y muy al azar (movimientos a escala atómica y molecular) que no es posible
medirlos individualmente: el CALOR es un concepto macroscópico que representa todos esos efectos
microscópicos, es decir, representa esos innumerable efectos de desplazamientos microscópicos generados
por los choques de los átomo y las moléculas de los sistemas que están intercambiando energía; es una suma
muy grande de “trabajitos microscópicos” que no son posibles de determinar individualmente.
No se entrará a detallar más sobre la diferencia de estos dos conceptos. Esto corresponde a la
TERMODINÁMICA que no es objeto de este curso.
De todas formas si es muy interesante saber que hay una equivalencia entre la unidad de calor (caloría) y la
unidad de energía (J): a esta equivalencia se le denomina EQUIVALENTE MEC’NICO DEL CALOR y fue
medida por J.P. Joule (1818-1889):
1 caloría = 4,186 J
Recordar que el J es la unidad de energía en el SI
Al que esté interesado en profundizar sobre esto se recomienda visitar este sitio:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/joule/joule.htm
II.
Experimentos
Experimento 1: Cuerpo descendiendo en caída libre
Objetivo general
Verificar el principio de conservación de la energía mecánica.
12
Objetivos específicos

Medir la rapidez de una regla en caída libre en dos instantes diferentes.

Comprobar la conservación de la energía mecánica para la regla en caída libre.
Fundamento teórico

Marco de referencia y sistema de coordenadas.

Energías cinética, potencial y mecánica.
Procedimiento
Trabajo analítico
En la Figura 9 se ilustra un cuerpo en caída. Despreciando la resistencia del aire la única fuerza que actúa
sobre el cuerpo es la fuerza de gravedad, la cual es conservativa y por lo tanto se conserva la energía
mecánica, ecuación [12].
Figura 9
EB = EA
[12]
es decir,
K A + UA = K B + UB
1
1
mVA2 + mgh A = mVB2 + mgh B
2
2
13
1
1
mVA2 + mg  h A -h B  = mVB2
2
2
1
1
mVA2 + mgh = mVB2
2
2
VB = VA2 +2gh
[E.1]
en donde
VA y VB corresponden a la rapidez del objeto en las posiciones A y B, g corresponde a la
aceleración de la gravedad y h a la distancia entre las posiciones A y B. Es decir, si se verifica la
expresión [E.1], se está verificando indirectamente la conservación de la energía mecánica del cuerpo
en caída libre.
Un análisis idéntico se puede hacer si se deja caer una regla rígida, en cuyo caso se hace referencia a la
velocidad de su centro de masa CM, ver Figura 10. En este caso
cuando pasa por una posición de registro, por ejemplo y1, y
VA corresponde a la rapidez del CM
VB corresponde a la rapidez del CM cuando
pasa por la misma posición de registro. Las ranuras permiten medir la rapidez del CM empleando una
fotocompuerta.
Figura 10
Trabajo práctico


Medir h para la regla.
Realizar el montaje ilustrado en la foto de la Figura 11. Observar que la fotocompuerta está acoplada
al teléfono celular.
14
Figura 11

Al dejar caer la regla a través de la fotocompuerta, en el sonoscopio virtual de PhysicsSensor para el
teléfono celular se desplegará una señal (ver Figura 12) que permitirá medir la velocidad de su centro
de masa en dos instantes diferentes correspondientes al recorrido del centro de masa una distancia
igual a h . Para esto se emplea la siguiente expresión:
V=
d
t
[E.2]
en donde
V corresponde a la velocidad “instantánea”, d la distancia entre las dos interrupciones próximas
y t el tiempo entre las mismas
15
Figura 12

Dejar caer la regla (señalar bien desde donde se suelta para garantizar repetibilidad en el
experimento) y observar la señal correspondiente en el sonoscopio. Mediante un análisis de ésta, medir
las rapideces VA y VB. Repetir la caída de la regla (garantizar que se deja descender desde la misma
posición) otras 4 veces y en cada caso obtener VA y VB. calcular el los promedios de VA y VB.

Utilizando los valores promedios de VA y VB verificar si se cumple la ecuación [E.1].
Experimento 2: Esfera pendular
Objetivo general
Verificar el principio de conservación de la energía mecánica.
Objetivos específicos

Medir la rapidez de una esfera pendular en el instante que atraviesa su posición de equilibrio.

Comprobar la conservación de la energía mecánica para la esfera pendular.
Fundamento teórico

Marco de referencia y sistema de coordenadas.

Energías cinética, potencial y mecánica.
Procedimiento
Trabajo analítico
Se tiene un péndulo simple (masa puntual atada a un hilo inextensible), Figura 13. Si la masa se suelta
desde una posición A una altura h respecto al nivel más bajo de la oscilación del péndulo, posición B, calcular
la rapidez con la cual pasa por ésta por B. Despreciar la resistencia del aire.
Figura 13
Solución:
En la Figura 13 se ilustra una representación de la escena física (izquierda). También se ilustra el diagrama
de fuerzas en situación general, las posiciones inicial A, la posición final B (derecha). El marco de
referencia elegido es el piso y es inercial.
Las fuerzas que actúan son el peso que es una fuerza conservativa y la fuerza de tensión F (esta última
está dentro de la lista de OTRAS). El trabajo de la fuerza F es nulo ya que en toda la trayectoria de la
masa pendular es perpendicular al desplazamiento (y obviamente a la velocidad), por lo tanto,
WAOtras
 B =  K + U
B
 K + U A
16
0 =  K + U B -
 K + U A
 K + U A
=  K + U B
K A + UA = K B + UB
Es decir se conserva la energía mecánica. Continuando,
0 + mgh =
1
mVB2 + 0
2
VB2 = 2gh
[E.3]
Es decir, si se verifica la expresión [E.3], se está verificando indirectamente la conservación de la
energía mecánica de la esfera pendular.
Trabajo práctico

Medir el diámetro
d de la esfera

Realizar el montaje ilustrado en la foto de la Figura 14. Observar que la fotocompuerta está acoplada
al teléfono celular.
Figura 14
17

Al soltar la esfera pendular, ésta interrumpirá el haz de luz de la fotocompuerta, el cual corresponderá
en el sonoscopio virtual de PhysicsSensor para el teléfono celular a una señal como la de la Figura 18.
Analizando este pico, se podrá obtener el tiempo τ que se demoró la esfera en pasar el haz; con este
dato y empleando la expresión [E.4] se puede calcular la rapidez media (que se considerará instantánea)
con la que pasa la esfera por su punto más bajo,
VB =
d
τ
en donde
18
[E.4]
d corresponde al diámetro de la esfera.
Figura 18

Medir la altura h desde donde se soltará la esfera (el nivel de referencia es respecto a la posición más
baja de su centro de masa), comenzando con h = 4 cm . Obtener la rapidez VB de la esfera al pasar su
centro de masa por su punto más bajo. Repetir este procedimiento dos veces más, soltando la esfera
desde la misma posición. Calcular la VB promedio para h = 4 cm .
Repetir el procedimiento anterior para h = 6 cm , h = 8 cm , h = 10 cm , h = 12 cm y h = 14 cm .

Usar PhysicsSensor para hacer una regresión lineal de VB vs h . Con base en la ecuación [E.3] se

2
concluye que la pendiente corresponde a 2g : calcular el valor de la aceleración de la gravedad y

obtener el porcentaje de error.
Con base en el resultado obtenido concluir si se verifica la conservación de la energía mecánica de la
esfera pendular.
FIN
19