modelo de respuestas examen diciembre 2006

Lógica I – modelo de examen (curso 2006-07)
Ejemplo de respuestas
1.
Para definir un lenguaje formal damos su alfabeto y sus reglas de formación:
Símbolos primitivos:
- Variables proposicionales: p, q, r…
- Conectivas: monádica N, diádicas C, K, A, E
Reglas de formación:
R1: Si a es una variable proposicional, a es una fbf de LL
R2: Si a es una fbf de LL, entonces Na es una fbf de LL. (Para que salgan como fbfs fórmulas
como Np. Es muy importante la cláusula "si a es una fbf", que garantiza que se puede volver a poner
una N delante de cualquier cosa que obtengamos como fbf.)
R3: si a y b son fbfs de LL y * es una conectiva diádica, entonces *ab es una fbf de LL. (Para que
salgan como fbfs fórmulas como Cpq. Es muy importante la cláusula "si a y b son fbfs", que garantiza
que se puede volver a poner una C delante de cualquier par de cosas que obtengamos como fbfs.)
R4. Ninguna otra secuencia de símbolos es una fbf de LL.
2. a) FALSO. La conclusión de un argumento deductivamente válido sí puede ser falsa. Lo que
hace deductivamente válido al argumento es la existencia de una relación de consecuencia entre
premisas y conclusión, no los valores de verdad que se dan de hecho. Lo que no puede ocurrir es
que un argumento deductivamente válido tenga premisas todas verdaderas y conclusión falsa
(porque la relación de consecuencia transmite necesariamente la verdad), pero si alguna premisa es
falsa puede ser también falsa la conclusión (lo importante es que si fueran todas verdaderas, sería
verdadera la conclusión).
b) VERDADERO. Si A es una tautología, entonces es verdadera en toda asignación. Si B es una
fórmula contingente, entonces hay alguna asignación que la hace verdadera (y alguna que la hace
falsa). Tomemos una asignación que haga verdadera a la fórmula B: en esa asignación también será
verdadera la fórmula A (puesto que es verdadera en todas). Por tanto, en esa asignación serán
verdaderas todas las fórmulas del conjunto {A, B}. Pero si existe una asignación en la que todas las
fórmulas del conjunto son verdaderas, entonces el conjunto es satisfacible.
3. Para saber si el enunciado es verdadero, de acuerdo con el significado de nuestra flecha,
tenemos que mirar a la tabla de verdad:
p
q
(p→q)
(hay una vocal)
(hay un número par)
(si hay vocal, entonces hay par)
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Tendremos que localizar a qué línea de la tabla de verdad corresponde cada carta ("los hechos del
mundo real" son los que nos dicen en qué asignación estamos, y cada carta es un "hecho del
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mundo": por ejemplo, una carta con un 2 y una A sería la asignación VV), y ver si en esa línea el
enunciado es verdadero. Pero, como hemos visto en clase, a veces no necesitamos conocer los
valores de verdad de las dos partes del condicional para saber su valor de verdad. Por eso no
necesitamos dar la vuelta a todas las cartas, basta con la cara que vemos para saber el valor de
verdad del condicional, independientemente de lo que haya en la otra cara.
Carta primera: en una cara hay un número par, es decir, el consecuente del condicional es verdadero
(líneas primera y tercera). Por la otra cara puede haber una vocal o una consonante, pero en
cualquiera de los dos casos el enunciado es verdadero, así que no tengo que darle la vuelta a la
carta.
Carta segunda: en una cara hay un número impar, es decir, el consecuente del condicional es falso
(líneas segunda y cuarta). Por la otra cara puede haber una vocal o una consonante. Si hay vocal, el
condicional tiene antecedente verdadero y consecuente falso (y por tanto es falso), pero si hay
consonante el condicional tiene antecedente falso y consecuente falso (y por tanto es verdadero).
Así que sí tengo que darle la vuelta a la carta.
Tercera carta: en una cara hay una vocal, es decir, el antecedente del condicional es verdadero
(líneas primera y segunda). Por la otra cara puede haber un número par o impar. Si hay número par,
el condicional tendrá antecedente verdadero y consecuente verdadero (y será por tanto verdadero),
pero si hay número impar, el condicional tendrá antecedente verdadero y consecuente falso (y será
por tanto falso). Así que sí tengo que darle la vuelta a la carta.
Cuarta carta: en una cara hay una consonante, es decir, el antecedente del condicional es falso
(líneas tercera y cuarta). Por la otra cara puede haber un número par o impar, pero en cualquiera de
los dos casos el enunciado es verdadero, así que no tengo que darle la vuelta a la carta.
En resumen: puedo conocer el valor de verdad del condicional sin darles la vuelta a todas las cartas,
porque a veces el valor de verdad de una de las partes ya basta para determinar el valor del
compuesto, independientemente del valor de la otra parte.
4.
Consejo: inventar la fórmula lo más sencilla que sea posible, cumpliendo las condiciones.
Inventar la fórmula: (¬((p←¬p)∨(p∧p))→¬p)
(tiene grado 7, al menos cinco conectivas distintas, su conectiva principal es la flecha y su
antecedente es negación de disyunción, y una de sus subfórmulas inmediatas es ¬p)
Árbol de formación:
(¬((p←¬p)∨(p∧p))→¬p)
¬p
¬((p←¬p)∨(p∧p))
((p←¬p)∨(p∧p))
(p←¬p)
p
(p∧p)
¬p
p
p
p
Asignación:
Para que la fórmula sea verdadera, basta con que su consecuente sea verdadero (no importa qué
valor de verdad tome el antecedente). Y para que ¬p sea verdadera, p tiene que ser falsa. Por
tanto, la asignación ν(p)=F hace verdadera a la fórmula.
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5. Es importante recordar que estamos en lógica proposicional: descomponemos los enunciados en
enunciados simples y nexos entre enunciados simples. No ponemos nexos entre cosas que no sean
enunciados, ni analizamos los enunciados simples "por dentro".
a) (p→q)
p=tú piensas mal q=tú aciertas (no es una conjunción, pues en una conjunción
afirmamos las dos partes, y aquí no afirmamos que estés pensando mal ni que estés acertando)
b) (p∧¬q)
p=Maui es un perro
q=Maui es un peluche (el nexo, que no aparece explícito, debe
ser una conjunción, pues estamos afirmando las dos cosas al mismo tiempo)
c) (p∧q)
p=el sida es mucho menos contagioso que la gripe
q=el sida es mucho más
peligroso que la gripe (en lógica proposicional no podemos analizar los enunciados comparativos "por
dentro")
d) (p←q)
p=las mariposas tienen las alas en buen estado
q=las mariposas pueden volar
(el antecedente del condicional, tanto directo como inverso, es siempre el enunciado que va con el nexo,
sea "si" o "solo si", y es lo que debe colocarse siempre delante de la flecha, sea normal o inversa)
e) (q←p)
p=Julia canta con alba
q=Julia tiene un público entusiasta
f) El enunciado es ambiguo, pero una posible lectura sería (r → ((p∧q)∨s)), que dice qué haré si
me toca la lotería; o también ((r → (p∧q))∨s), que parece sugerida por la coma que sigue a
“lotería”; o incluso (((p∧(r→q))∨s)
p=te regalo el cuadro que te gusta
q=viajamos juntos a
Ithamaracá r=me toca la lotería s=dejo de llamarme Ernesto
También se puede considerar el "cuando me toque la lotería" no como el antecedente de un
condicional "si me toca la lotería, entonces…" sino como un complemento temporal, y en ese caso
no lo analizamos, pues es una parte de un enunciado y no un enunciado: ((p∧q)∨s) p=te regalo el
cuadro que te gusta
q=viajamos juntos a Ithamaracá cuando me toca la lotería
r=dejo de
llamarme Ernesto
6. El silogismo disyuntivo tiene esta estructura: (p∨q), ¬p ∴q
Calculamos todas las asignaciones para las variables proposicionales del argumento (son cuatro,
porque hay dos variables), y aplicamos las definiciones de las conectvas para calcular el valor de
verdad de cada fórmula en esas asignaciones.
∴
p
q
(p∨q),
¬p
q
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
Como en ninguna asignación ocurre que todas las premisas son verdaderas y la conclusión es
falsa, quiere decir que hay relación de consecuencia y por tanto el argumento es válido.
7. Suponemos que no existe relación de implicación: entonces habrá una asignación en la que
todas las fórmulas del conjunto serán verdaderas y la otra fórmula falsa. Intentamos determinar cuál
sería esa asignación.
Importante: no sirve para nada una lista de Vs y Fs, quien corrige debe poder saber de dónde han
salido esos valores. Para eso usamos las rayas horizontales, que indican cuándo no sabemos los valores
(porque hay varias posibilidades y no podemos elegir sin más una de ellas) y tenemos que esperar a que
salga algún valor por otro lado para sustituirlo, y las indicaciones de qué estamos sustituyendo en cada
4
caso. (Para mayor claridad, en este modelo de respuestas indico con las flechas azules el orden en el
que he hecho las cosas.)
(p→q)
(¬q∨r)
¬(r∧¬s)
(s←p)
V
V
V
F
(r∧¬s)=F
sust p=V
s=F p=V
(V→q)=V
q=V
sust q=V
(F∨r)=V
r=V
sust r=V
(V∧¬s)=F
¬s=F
s=V
Supuestamente, la asignación que satisface al conjunto pero hace falsa a la fórmula (s←p) es la
asignación p=V, q= V, r=V, s=V/F. Como no es posible que en una asignación una misma variable
proposicional (s) tenga el valor V y F, la hipótesis que nos ha llevado a este absurdo es falsa, no
existe ninguna asignación que hace satisface al conjunto pero hace falsa a la fórmula, y por tanto sí
existe relación de implicación.
8. Consejo para las tablas analíticas: construir la tabla ordenada y limpia, que se vea bien por
dónde va ramificándose. Si es necesario, usar una página entera para cada tabla, lo importante es que
quede todo claro.
Tabla a)
1.
¬(((p∧q)→r)↔((p→r)∨(q→r)))
2.1
((p∧q)→r)
3.1
¬((p→r)∨(q→r))
4.1
¬(p→r)
de 3.1
5.1
¬(q→r)
de 3.1
6.1
p
7.1
¬r
8.1
q
9.1
¬r
.
.
.
.
.
.
.
.
10.1.1
cerrada
de 1
de 4.1
de 4.1
de 5.1
10.1.2
.
10.1.1.2¬q
cerrada
2.2.
¬((p∧q)→r)
3.2.
((p→r)∨(q→r))
4.2.
(p∧q)
5.2.
¬r
6.2.
p
de 4.2
7.2.
q
de 4.2
8.2.1.
(p→r)
9.211 ¬p
de 5.1
¬(p∧q)
10.1.1.1 ¬p
de 1
r
de 2.1
cerrada
cerrada
de 1
de 1
de 2.2
de 2.2
9.212
8.2.2.
r
cerrada
9.221
(q→r)de 3.2.
¬q
cerrada
9.222
r
cerrada
5
Nota sobre las ramas. Una rama es todo el conjunto de fórmulas que va desde la número 1 hasta
una de las fórmulas que no tienen otra debajo. Por ejemplo:
Rama 1.1.1: {¬(((p∧q)→r)↔((p→r)∨(q→r))), ((p∧q)→r), ¬((p→r)∨(q→r)), ¬(p→r), ¬(q→r), p, ¬r, q, ¬r,
¬(p∧q), ¬p} Esta rama está cerrada, porque contiene una fórmula y su negación: p, ¬p.
Rama 2.1.2: {¬(((p∧q)→r)↔((p→r)∨(q→r))), ¬((p∧q)→r), ((p→r)∨(q→r)), (p∧q), ¬r, p, q, (p→r), r} Esta
rama está cerrada, porque contiene una fórmula y su negación: r, ¬r.
Tabla b)
1. ((p→q) ∨¬(p∧q))
2. ¬¬(p∨r)
3. (p∨r) de 2
4.1.
(p→q) de 1
5.1.1.
p
6.111. ¬p
6.112. q de 41
6.121. ¬p
6.122. q de 41
Cerrada
abierta
abierta
abierta
5.1.2.
r
de 3
4.2.
¬(p∧q) de 1
5.2.1.
p
5.2.2.
6.211. ¬p
6.212 ¬q de 42
6.221 ¬p
6.222 ¬q de 42
cerrada
abierta
abierta
abierta
r de 3
Ejemplos de ramas:
Rama 1.2.2: {((p→q) ∨¬(p∧q)), ¬¬(p∨r), (p∨r), (p→q), r, q} Esta rama está abierta, porque no contiene
una fórmula y su negación.
Rama 2.1.1: {((p→q) ∨¬(p∧q)), ¬¬(p∨r), (p∨r), ¬(p∧q), p, ¬p} Esta rama está cerrada, porque contiene
una fórmula y su negación: p, ¬p.
9.
Formalización de los enunciados del anciano: (¬p→q)
((r∨¬p)→ ¬q)
Que el régimen pueda respetarse es que puedan ser verdaderos a la vez los enunciados del
anciano, es decir, que compongan un conjunto satisfacible. Para comprobar que lo es, hacemos su
tabla analítica y si queda alguna rama abierta, el conjunto será satisfacible.
1.
(¬p→q)
2.
((r∨¬p)→ ¬q)
3.1. ¬(r∨¬p)
3.2. ¬q
4.1. ¬r
4.2.1.
¬¬p
5.2.1.
p de 4.2.1.
de 3.1.
5.1. ¬¬p de 3.1.
8.1.1. p
7.1.2. q
de 7.1.1.
4.2.2.
q
de 1
rama cerrada
rama abierta
6.1. p de 5.1.
7.1.1. ¬¬p
de 2
de 1
rama abierta
rama abierta
Quedan tres ramas abiertas (solo se cierra la 2.2, que contiene q y ¬q): el conjunto es satisfacible,
y por tanto sí se puede respetar el régimen. El conjunto de literales de cada rama define maneras
posibles de hacer verdaderas a las fórmulas (asignaciones en las que las dos fórmulas son
verdaderas). Por ejemplo, en la rama 1.2 tenemos ¬r , p y q: es decir, se pueden cumplir las normas
del régimen con un menú que no contenga helado, sí contenga cerveza y también pescado. En la
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rama 2.1 tenemos ¬q y p: es decir, se pueden cumplir las normas del régimen con un menú que
contenga cerveza pero que no contenga pescado (y el helado, a elegir).
10.
Nota: es importante razonar las respuestas, no contestar con una sola palabra.
a) Una ley lógica es una fórmula que “cuenta siempre con el valor 1, al margen de cuáles puedan
ser los valores de p, q, r, etc.”, es decir, una tautología.
b) Por ejemplo, cuando habla de relaciones lógicas entre proposiciones, o cuando dice que p, q, r
representan proposiciones. También se ve en la tabla de verdad que el análisis es en proposiciones
simples y nexos entre proposiciones.
c) ((p→q) →(¬q→¬p)) Si hay duda sobre los paréntesis, la tabla de verdad debería bastar para
disolver la duda, pues en ella se reproduce el proceso de formación de la fórmula y queda claro qué es
subfórmula de qué.
d)Todas las combinaciones de valores veritativos (para las variables proposicionales) son 2n
(donde n es el número de variables proposicionales), porque cada variable puede tomar dos valores
(0 y 1), y estas posibilidades deben combinarse entre sí: cuando son dos variables 2 posibilidades
para la p x 2 posibilidades para la q=4; cuando hay tres variables 2 para la p x 2 para la q x 2 para la
r = 8; cuando hay cuatro variables 2 para la p x 2 para la q x 2 para la r x 2 para la s = 16.
e) B. Russell y A. N. Whitehead a principios del siglo XX.
f) No: el significado es lo que expresa la tabla de verdad correspondiente (es decir, “la relación
que esta función guarda con la verdad o falsedad de sus constituyentes p y q”). “P implica q” es una
traducción aproximada de eso en el lenguaje natural.
g) Sí: hacer semántica es dar un contenido cualquiera a los signos del lenguaje, por ejemplo, los
valores 0 y 1 para las variables proposicionales. Después, esos valores pueden interpretarse como
“verdadero” y “falso”, o no.
h) Intuitivamente asociamos la noción de “ley lógica” con la de “verdad universal”, pero las
leyes lógicas de un sistema son simplemente las fórmulas que tienen siempre el valor 1, y el valor
de una fórmula depende de los significados de las funciones que intervengan, y el significado de
cada función se establece dando su tabla de verdad: si elegimos significados distintos para las
funciones, tendremos como resultado leyes lógicas distintas.